НУМЕРАЦИЯ И СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ лекция Один из

НУМЕРАЦИЯ И СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ лекция

Один из основных вопросов школьного курса математики начальных классов - изучение нумерации и четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления)

При изучении нумерации n n рассматриваются вопросы наименования (чтения) и записи чисел. Сначала дети усваивают знание печатной и прописной цифры и их названия, потом учатся их писать. Умение читать и записывать числа формируются по концентрам: десяток, сотня, тысяча и многозначные числа. В основе усвоения учащимися нумерации лежит усвоение понятий: число, цифра, разряд, класс.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: n n n Системой счисления называется способ записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических действий над ними. Таким образом, термин «нумерация» не тождественен термину «система счисления» . Система счисления включает изучение вопросов нумерации и арифметических действий

ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ n Их различают по способу записи одних и тех же чисел.

Непозиционные системы счисления n n Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее черточки, полосы, насечки. Большие числа изображать так было неудобно. Стали группировать эти черточки. В древности чаще всего считали на пальцах, поэтому предметы группировали по 5 или по 10. Позже они получили особые названия. Десяток десятков в русском языке назвали сотня и т. д. Для удобства записи эти числа обозначали особыми знаками (цифрами). Цифры – условные знаки для обозначения чисел.

Непозиционные системы счисления n n Первоначально в записи чисел расположение знаков (иначе, их позиция) роли не играло. Система счисления называется непозиционной, если каждая цифра этой системы обозначает одно и то же число независимо от места (позиции) этой цифры в записи числа. Непозиционных систем в истории развития записи чисел можно указать несколько: древнейшая, римская, египетская, греческая, древнерусская и др. Непозиционные системы счисления неудобны для выполнения арифметических действий, особенно умножения и деления.

Позиционные системы счисления n n n n Первой позиционной системой счисления была Вавилонская шестидесятеричная. (В настоящее время она используется при измерении времени: 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с). Десятичная система счисления появилась в III веке до нашей эры в Индии. В позиционной системе счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места, т. е. позиции, занимаемой этим знаком в записи числа. НАПРИМЕР: 5 5 5 пятьсот пятьдесят пять числа (пятьсот, пятьдесят, пять) разные, знак (5) один.

РИМСКАЯ n n n НУМЕРАЦИЯ Римские цифры используются для записи номеров месяцев, номеров томов и глав книг, обозначения времени на циферблатах часов и др. В римской нумерации используется 7 цифр: I – один, V – пять, X – десять, L – пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысяча. Одни ученые полагают, что V – обозначает раскрытую ладонь, а X - две ладони или скрещенные руки. Другие же считают, что знак X ведет свое происхождение от двух линий, которыми перечеркивали десяток черточек, а V означает половину от X. От римлян эта нумерация пришла в Европу и многие азиатские страны.

Для записи числа в римской нумерации n n n используется принцип сложения и вычитания. Значение цифры не меняется от ее местоположения. Например, в записях IV и VI знак I обозначает число один, а знак V– число пять.

РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n Если меньшая (по значению) цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей. Если меньшая (по значению) цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей. Например, IV обозначает число четыре: 5 – 1 = 4, VI обозначает число шесть: 5 + 1 = 6. После большей (по значению) цифры можно писать не больше трех меньших одинаковых цифр, а перед большей цифрой – не более одной меньшей цифры. Например, VIII (8), СХХ (120), СVI (106), XL (40), XC (90), CM (900).

РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ n n В случае использования при записи числа повторения одной и той же цифры применяется действие сложения. Например, II- два, III – три, ХХ – двадцать, XXX – тридцать, MM – две тысячи и т. д. Большое число, например, 29635 записывается следующим образом XXIXm. DCXXXV. Маленькая буква m означает слово «тысяча» (от латинского слова mille). Обычно записывается снизу, как индекс. В записи чисел руководствуются принципом: количество использованных цифр должно быть возможно минимальным.

ПРИМЕРЫ УПРАЖНЕНИЙ ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ n n n n n арабскими цифрами XXVI – 26 (10 + 5 + 1) XXXIV – 34 (10 + 5 - 1) XLIV – 44 (50 - 10 + 5 - 1) LXXI – 71 (50 + 10 + 1) LXVI – 66 (50 + 10 + 5 + 1 ) XCV – 95 (100 – 10 + 5) DXIV – 514 (500 + 10 + 5 – 1) CXL – 140 (100 + 50 – 10) CLXI – 161 (100 + 50 + 1) CDXI - 423 (500 – 100 + 1) MCD – 1400 (1000 + 500 – 100) MDC – 1600 (1000 + 500 + 100) MXIX -1019 (1000 + 10 – 1) DCCC – 800 (500+100+100) Dm. IX – 500009 (500 тысяч + 10– 1) MCIL – 1149 (1000 + 100 + 50 - 1) n n n n НА римскими цифрами 2003 – две тысячи три две тысячи - MM три – III 2003 - MMIII 1998 - MCMXCVIII 133842 – сто тридцать три тысячи восемьсот сорок два сто - C тридцать - XXX три - III тысячи - m восемьсот - DCCC сорок - XL два - II CXXXIIIm. DCCCXLII

ПРИМЕРЫ УПРАЖНЕНИЙ НА ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ n 1). Из спичек составлено неверное равенство VI– IV=XI. Запишите верное равенство, которое получится, если переложить одну спичку. Ответ: VI + V = XI VI + IV = X. n 2). Переложить в неверном равенстве n n n = II две спички так, чтобы получилось верное равенство. n Задача имеет 4 решения.

ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ АЛФАВИТНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. В VI–III вв. до н. э. для обозначения единицы в аттической системе использовалась вертикальная черта - |, а для обозначения чисел 5, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий: Γ «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п» , а не «г» ), Δ «дека» (десять), Η ( «гекатон» ), Χ ( «хилиои» ), Μ ( «мириада» ). НАПРИМЕР: число 25 записывалось Δ Δ Γ или Γ Δ Δ , число 1015 - Χ Δ Γ или Γ Δ Х и т. п.

В более поздней ионической системе счисления n n n n для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические (устаревшие) буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку. α/ - один, β / - два, γ / - три, δ / - четыре, ε / - пять, … ι / - десять, κ / - двадцать, λ / - тридцать, μ / -сорок, ν / - пятьдесят, … ρ / - сто, σ / - двести, τ / - триста, … Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась черта. / α - тысяча, / β – две тысячи, / γ – три тысячи, / δ - четыре тысячи, / ε пять тысяч, … Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч. НАПРИМЕР: число 25 записывалось κ / ε /, число 234 - σ / λ / δ / , число 1015 - / α ι / ε /.

ДРЕВНЕРУССКАЯ АЛФАВИТНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n Обозначение чисел в Древней Руси было сходным с их обозначением в Древней Греции. Славянская нумерация была создана в Х веке на основе кириллицы и использовалась до XVIII века. После чего в России стала распространяться десятичная система счисления.

ДРЕВНЕРУССКАЯ АЛФАВИТНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n n Для написания чисел 1, 2, … 9, 10, 20, …, 90, 100, 200, … 900 над буквами ставили особый значок – титло. Тысячи обозначали теми же буквами алфавита, что и единицы, которые сопровождались расположенной перед буквой перечеркнутой чертой ≠. Для единиц более высоких разрядов применялись специальные названия и обозначения: 10000 – тьма – обозначали той же буквой, что и 1, но без титла и ее обводили кружком. 100000 – легион – обозначали буквой а без титла и вокруг нее был кружок из точек. 1000000 – леодр – обозначали буквой а без титла и вокруг нее был кружок из черточек. 10000000 – ворон (вран) – обозначали буквой а без титла и вокруг кружок из крестиков 10000 – колода - обозначали буквой а и сверху и снизу нее квадратные скобки.

ДРЕВНЕРУССКАЯ АЛФАВИТНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n Существовало две системы. В системе, называвшейся «малым числом» тысяча обозначала 103, тьма – 104, легион – 105, леодр – 106, ворон (вран) – 107, колода 108. В системе «великое число» тьма обозначала – 106, легион – 1012, леодр – 1024, ворон (вран) – 1048, колода 1049. Промежуточные разряды составлялись из соответствующих основных разрядов. Например, 1023 – это сто тысяч тем легионов: 100 · 103 · 106 · 1012.

ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ НУМЕРАЦИЯ n n n n Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой. Числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек. | - один, | | - два, | | | - три, …, - девять. Для обозначения десяти использовался знак. Возможно, это символ дуги, которую ставили над группой из 9 черточек. Число 100 знаком , символизирующим измерительную веревку. Число тысяча обозначалась символом, похожим на «цветок лотоса» . Десять тысяч – «указательный палец» . Сто тысяч – «головастик» . Миллион – «удивленный человек» . Десять миллионов – «солнце» . Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. При этом одинаковые знаки объединялись в группу. Например, число 124 можно было записать следующим образом: |||| или | |, или | |. Располагать эти цифры можно было не только в строку. Например, или и т. п.

ВАВИЛОНСКАЯ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n Вавилоняне для записи чисел использовали только два клинописных знака – прямой клин ▼– число 1 и лежащий клин ◄– число 10. Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Например, число 32 записывалось так: ◄◄◄▼▼. Число 60 снова обозначалось знаком ▼. Например, число 92 записывалось так: ▼◄◄◄▼▼. Знаком ▼обозначали и 1, и 600, и 6000, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 1000, и в числе 1111.

ВАВИЛОНСКАЯ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ НУМЕРАЦИЯ n n Первоначально в этой системе отсутствовал знак (эквивалент нуля), обозначающий пустую позицию в записи числа. Эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60.

ДЕСЯТИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ n n n Десятичная позиционная система счисления берет свое начало от счета на пальцах. Она изобретена в Индии, заимствована арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В России стала распространяться благодаря книге Леонтия Филипповича Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная» , изданная в 1703 году.

В десятичной системе счисления n n n для записи любого числа используется лишь 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемых цифрами. Любая конечная последовательность цифр обозначает число. Например, 3785 обозначает число, полученное в результате выполнения всех операций в выражении 3 · 103 + 7 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число 10 называют основанием системы счисления, а саму систему счисления десятичной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: n n Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде х = ап · 10 п + ап - 1 · 10 п - 1 +. . . + а 0 · 100 = = где ап, ап – 1, …, а 0 принимают одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ап ≠ 0.

n n n Каждое натуральное число разбивается на разряды, которые читаются справа налево: единицы, десятки, сотни и т. д. Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Четвертый, пятый и шестой разряды образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Далее класс миллионов, миллиардов (биллионов), триллионов, квадриллионов и т. д. 106 – миллион, 109 – миллиард (биллион), 1012 – триллион, 1015 – квадриллион и т. д.

ТАБЛИЦА РАЗРЯДОВ И КЛАССОВ 3 класс – класс миллионов сотни милли онов десятки милли онов 2 класс – класс тысяч единицы милли онов 3 1 класс – класс единиц сотни десятки единицы т тыся ы яч ч ся ч 7 2 1 9 0 5 НАПРИМЕР: В числе 3721905 – три миллиона семьсот двадцать одна тысяча девятьсот пять в разряде единиц стоит цифра 5. Всего единиц в этом числе 3721905. В разряде сотен числа стоит цифра 9. В числе 3721905 всего сотен 37219. 0 в числе 3721905 показывает отсутствие единиц разряда десятков (а не разряда!).

Задача. n n n Сколько потребуется различных слов-числительных, чтобы назвать все числа в пределах миллиарда? Решение. Чтобы назвать числа первого десятка понадобится 10 различных слов. Это слова: один и два, три и четыре, пять и шесть, семь и восемь, девять и десять. Названия слов одиннадцать (двенадцать, тринадцать, …, двадцать, тридцать, …) не новые. Они состоят из двух уже знакомых слов один, два, … и десять (кратко дцать). Новыми словами для обозначения чисел концентра сотня будут: сорок, девяносто, сто. Аналогично происходят названия слов в других концентрах: пятьсот и т. д. Далее новыми словами будут тысяча, миллион и миллиард. Ответ: 16 слов.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ ДЕСЯТИЧНОЙ n n n Вместе с десятичной системой счисления параллельно используются и другие системы счисления: двенадцатеричная – счет дюжинами. (Столовые приборы в сервизе, стулья в мебельном гарнитуре, год – 12 месяцев, ночь и день по 12 часов и т. п. ); шестидесятеричная – 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с; двадцатеричная – в центральной Америке и в настоящее время во Франции; пятеричная – в древнем Китае, у африканских племен; двоичная и восьмеричная – в работе ЭВМ.

Принцип записи чисел в любой позиционной системе n n такой же, как и в десятичной системе. Каждое натуральное число разбивается на разряды, которые читаются справа налево. Но они имеют другие названия. НАПРИМЕР: в пятеричной системе при переходе из разряда в разряд мы считаем не десятками, а пятерками. В троичной системе – не десятками – а тройками. Поэтому названия разрядов в пятеричной системе не единицы, десятки, сотни и т. д. , а единицы, (условно): «пятерки» , «двадцатипятерки» и т. д. Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, Четвертый, пятый и шестой разряды образуют второй класс и т. д.

ПРИМЕР: n n n Пусть имеется некоторое множество, численность которого надо выразить числом, записанным в пятеричной системе счисления. Пусть это | | | |. Легко увидеть, что данная совокупность черточек состоит в десятичной системе счисления из одного десятка и трех единиц, а в пятеричной системе - из двух «пятерок» и трех единиц. ||||| ||| Значит, 13 = 235.

ТАБЛИЦА РАЗРЯДОВ И КЛАССОВ 3 класс 2 класс 1 класс «двадцатипятерки» «пятерки» ||||| 2 Единицы ||| 3

В троичной системе n n рассматриваемая совокупность черточек будет состоять из трех «троек» , т. е. одной «девятки» , одной «тройки» и одной единицы. Значит, 13 = 1113. ||| ||| | ТАБЛИЦА РАЗРЯДОВ И КЛАССОВ 3 класс 2 класс 1 класс «девятки» ||| ||| «тройки» ||| Единицы | 1 1 1

В восьмеричной системе n n n рассматриваемая совокупность черточек будет состоять из одной «восьмерки» и пяти единиц. Значит, 13 = 158. |||||