Новосибирский Государственный Архитектурно Строительный Университет Сибстрин Лекция 4

Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекция 4. Основная теорема статики Ни в коем случае нельзя считать, что наука заканчивается, если ее удалось свести к аналитическим формулам. Луи Пуансо Кафедра теоретической механики 1

Луи Пуансо 1777 -1859, Париж 2

На предыдущей лекции • Изучили систему параллельных сил • Показали, что две параллельные силы сводятся к равнодействующей, если только они не равны по модулю • Ввели понятие пары сил • Показали, что все пары, имеющие равные моменты, эквивалентны • Установили условия равновесия тела под действием системы пар сил 3

Цель лекции Решение задач статики для тел, на которые действует произвольная система сил План лекции 4. 1. Теорема о параллельном переносе силы 4. 2. Главный вектор и главный момент 4. 3. Основная теорема статики (теорема Пуансо) 4. 4. Условия равновесия произвольной системы сил 4. 5. Статические инварианты 4. 6. Заключение 4

4. 1. Теорема о параллельном переносе силы 5

Лемма о параллельном переносе силы Действие на твердое тело силы , приложенной в точке A, эквивалентно действию силы , равной исходной по модулю, параллельной ей и приложенной в точке В, и паре сил с моментом равным моменту данной силы относительно точки В В A Доказательство • Добавим к силе уравновешенную систему сил в точке В • Но силы образуют пару сил с моментом Теорема доказана 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 1. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ 6

Иллюстрация А B m А B Чтобы удержать однородный брусок весом P за его середину, брусок весом P в равновесии за нужно просто тянуть его вверх конец А, необходимо не только с силой Q = P тянуть его вверх с силой Q = P, но и создавать момент m = P·AB/2 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 1. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ 7

4. 2. Главный вектор и главный момент 8

Главный вектор Главным вектором данной системы сил называется вектор , равный сумме всех сил системы Замечание • Главный вектор определен для любой системы, а равнодействующая в ряде случаев просто не существует • Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 2. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ 9

Главный момент Главным моментом данной системы сил относительно точки А называется вектор , равный сумме моментов всех сил системы относительно той же точки Замечание • Главный момент меняется при смене центра приведения Действительно, , а К А B 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 2. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ 9

4. 3. Основная теорема статики 11

Теорема о равнодействующей двух сил Теорема Пуансо (1804 г. ) Произвольную систему сил можно заменить одной силы, приложенной в произвольно выбранной точке (центре приведения) и равной главному вектору системы сил, и парой сил с моментом, равным главному моменту системы относительно этой точки Доказательство ~ А ~ … A • Пользуясь леммой о параллельном переноса силы, перенесем их все параллельно в точку А Теорема доказана 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ 4. 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ 12 8

Теорема о равнодействующей двух сил Критерий эквивалентности Для того чтобы две системы сил, приложенные к твердому телу, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые главные векторы и главные моменты Основная теорема статики является конструктивной, она дает простой способ аналитического определения главного вектора и главного момента любой системы сил 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ 4. 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ 13 8

Теорема о равнодействующей двух сил Задача 6 Привести к центру О систему сил , действующих на пластину длиной 2 b, если Р = 30 Н, F 1 = F 2 = F 3 = 20 Н, а = 0, 3 м, b = 0, 5 м, = 60°. Решение O a y x • Введем систему координат с началом в точке О • Найдем главный вектор данной системы сил • Найдем теперь главный момент данной системы сил. Эта система плоская, поэтому момент имеет единственную составляющую, перпендикулярную плоскости чертежа 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ 4. 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ 14 8

4. 4. Условия равновесия произвольной системы сил 15

Уравнения равновесия Равнодействующая СПС Пусть дана произвольная система сил . Тело под действием этой системы сил находится в равновесии, если она эквивалента нулю Но В координатной форме эти уравнения равновесия имеют вид 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 4. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 16 11

Уравнения равновесия СПС Равнодействующая СПС Пусть дана параллельных сил в пространстве (линии действия параллельны оси Oz. Главный вектор в этом случае имеет единственную составляющую, параллельную этой оси, поэтому Моменты же всех сил относительно оси Oz равны нулю, и следовательно, 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 4. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 17 11

Уравнения равновесия ПСС Равнодействующая СПС Пусть все силы находятся в плоскости Oxy. В этом случае проекция главного вектора на ось Oz равна нулю, а главный момент направлен параллельно этой оси. Т. о. , имеем три уравнения равновесия. Основная форма уравнений равновесия ПСС Вторая форма уравнений равновесия ПСС (АВ Ox) Третья форма уравнений равновесия ПСС (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой) 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 4. 4. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 18 11

4. 5. Статические инварианты 19

Приведение к простейшему виду Инварианты – величины, неизменные при некотором преобразовании. Статические инварианты – величины, не зависящие от выбора центра приведения. • I статический инвариант – главный вектор системы сил • II статический инвариант – скалярное произведение главного вектора и главного момента системы Действительно, поскольку 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТЫ 4. 5. СТАТИЧЕСКИЕ ССС 20

Частные случаи приведения • – уравновешенная система сил • – система сил приводится к равнодействующей, проходящей через точку А • – система сил приводится к паре с моментом, равным . Главные моменты относительно всех точек в этом случае равны: поскольку • , но – в этом случае система сил приводится к равнодействующей. Действительно, 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТЫ 4. 5. СТАТИЧЕСКИЕ ССС 21

Частные случаи приведения • , но – в этом случае система сил приводится к силе и паре сил , лежащей в плоскости, перпендикулярной к . Такая совокупность силы и пары сил называется динамой, а прямая, вдоль которой направлен главный вектор, – осью динамы А ~ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТЫ 4. 5. СТАТИЧЕСКИЕ ССС 22

Основные выводы • При параллельном переноса точки приложения силы она заменяется силой и парой • Действие на тело произвольной системы сил всегда можно заменить действием одной силы равной главному вектору и одной парой с моментом, равным главному моменту • Для произвольной системы сил в общем случае можно составить 6 уравнений равновесия 4. 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. 2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23

Тема следующей лекции РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ 3. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 24

Тема следующей лекции 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ 3. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 24