Новосибирский Государственный Архитектурно Строительный Университет Сибстрин Лекция 3

Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекция 3. Система параллельных сил. Теория пар сил Из того, что пересекающиеся силы имеют равнодействующую, следует, что параллельные имеют ее тоже, поскольку последние являются частным случаем пересекающихся. Николай Егорович Жуковский Кафедра теоретической механики 2

Николай Егорович Жуковский 1847 -1921, Москва 2

На предыдущей лекции • Изучили систему сходящихся сил • Показали, что ССС имеет равнодействующую • Установили уравнения равновесия ССС • Познакомились с алгоритмом решения задач статики • Ввели понятие момента силы относительно точки и оси 3

Цель лекции • Решение задач статики для тел, на которые действует система параллельных сил • Ввести понятие пары сил План лекции 3. 1. Определение системы параллельных сил (СПС) 3. 2. Параллельные силы, направленные в одну сторону 3. 3. Центр параллельных сил. Распределенные силы 3. 4. Параллельные силы, направленные противоположно 3. 5. Условия равновесия СПС 3. 6. Теория пар сил 3. 7. Заключение 4

3. 1. Определение СПС 5

3. 1. 1. Определение и примеры Система сил, линии действия которых параллельны, называются системой параллельных сил (СПС) 3. 1. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СПС 6

3. 2. Параллельные силы, направленные в одну сторону 7

3. 2. 1. Теорема о равнодействующей двух сил Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, равную по модулю сумме их модулей, параллельна им и направленную в ту же сторону. Линия действия равнодействующей делит отрезок между точками приложения данных сил обратно пропорционально их величине 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. ПС, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ 8

3. 2. 1. Теорема о равнодействующей двух сил Доказательство Даны силы и • Соединим точки приложения сил • Добавим систему сил • Эти силы не параллельны • Перенесем их до точки пересечения линий действия и разложим на составляющие: где Первая часть теоремы доказана 2. 1. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. ПС, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ 9 8

3. 2. 1. Теоремаравнодействующей двух сил Теорема о о равнодействующей двух сил Доказательство второй части теоремы Определим положение точки D Рассмотрим треугольники Вторая часть теоремы доказана 2. 1. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ОДНУ СТОРОНУ 3. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 2. СПС, НАПРАВЛЕННЫЕ ВДВУХ СИЛ 10 9

3. 3. Центр параллельных сил 10

3. 3. 1. СПС, направленные в одну сторону Равнодействующая СПС Дана СПС • Равнодействующая сил и . . . • Введем систему координат • Тогда для радиус-векторов точек приложения сил имеем • Далее по индукции можно доказать, что 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 3. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 12 11

3. 3. 2. Распределенные силы Сосредоточенная сила Распределенная нагрузка … Сила, действующая на единицу длины линии, называется интенсивностью нагрузки q 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 3. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 13 13

3. 3. 3. Распределенные силы. Два примера Равномерно распределенные нагрузки 2. 1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 3. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 3. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 14 14

3. 4. Параллельные силы, направленные противоположно 15

3. 4. 1. Теорема о равнодействующей двух сил Система двух не равных по модулю сил, линии действия которых параллельны, но силы направлены противоположно, имеет равнодействующую, которая равна по модулю разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая лежит на продолжении отрезка АВ и делит этот отрезок внешним образом на части, обратно пропорциональные силам. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 3. СПС, НАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО 16

3. 3. 1. Теорема о равнодействующей двух сил Доказательство Дано тело, на которое действует система двух противоположно направленных параллельных сил • Разложим бóльшую силу на две ей параллельные • Пусть, кроме того, • Эта сила приложена в точке А A C B • Таким образом, Теорема доказана 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС Сложение параллельных сил, направленных в разные 3. 3. СПС, НАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО стороны 17

3. 5. Теория пар сил 18

3. 5. 1. Определение Рассмотрим случай, когда P = Q • Из доказанной теоремы следует, что и A • Такая система сил не имеет равнодействующей и называется парой сил В • Под действием пары сил тело вращается и это вращение характеризуется моментом пары 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПАРА СИЛ 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 19

3. 5. 2. Момент пары Пусть дана пара сил M • Плоскость, проходящая через линии действия сил, называется А плоскостью действия пары B • Расстояние между линиями действия сил называется плечом пары Моментом пары сил называется вектор , модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары: M=Fd. Направлен этот вектор перпендикулярно плоскости действия пары в сторону, откуда вращение пары видно происходящим против часовой стрелки. Для пар сил, расположенных в одной плоскости можно использовать понятие алгебраического момента пары: M = ±Fd. Знак "плюс" берется, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, "минус" – по ходу. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПАРА СИЛ 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 20

3. 5. 3. Связь момента пары с моментами ее сил Момент пары сил z А B O равен • Введем систему координат Оxyz = y x Сумма моментов сил пары относительно любой точки О равна моменту пары этих сил. Поскольку момент пары сил перпендикулярен плоскости пары, а его модуль равен то момент пары не зависит от точек приложения сил пары. Он определяется лишь плечом пары. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ПАРА СИЛ 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 21

3. 5. 4. Теорема об эквивалентности пар сил Доказательство Все пары сил, имеющие один и тот же момент, эквивалентны. Доказательство Дана пара сил с моментом m = Fh • Разложим каждую из них по двум направлениям на силы но A C d h B • Момент пары Так как равен то Теорема доказана для пар, лежащих в одной плоскости 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР СИЛ 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 22

3. 5. 5. Теорема об эквивалентности пар сил Почти аналогично доказывается теорема для пар, лежащих в параллельных плоскостях Дано • Добавим уравновешенные системы сил C • Заметим, что D По построению Теорема доказана ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР СИЛ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 23

3. 5. 6. Теорема об эквивалентности пар сил • Таким образом, действие на тело пары сил целиком определяется ее моментом • Действие всех пар, имеющих одинаковые моменты эквивалентны • Располагать пару сил в пространстве можно в любом месте. Момент пары сил поэтому называют свободным вектором • Если пары сил лежат в одной плоскости, то их моменты перпендикулярны этой плоскости и можно использовать понятие алгебраического момента пары ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР СИЛ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ m 2 m 1 m 3 23

3. 5. 7. Теорема об сложении пар сил Доказательство Действие на тело системы пар с моментами Эквивалентно действию одной пары с моментом A B • Докажем сначала теорему для двух пар сил • Из теоремы об эквивалентности пар следует, что для доказательства достаточно рассмотреть две пары, точки приложения сил которых A и B совпадают • Рассмотри две пары сил • Действие рассматриваемых двух пар эквивалентно с моментом действию одной пары Для N пар доказательство получается по индукции. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР СИЛ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 3. 5. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ 24

3. 6. Условия равновесия тела под действием системы пар сил 8

3. 6. 1. Уравнения равновесия тела под действием системы пар • Действие на тело произвольной системы пар сил с моментами эквивалентно действию одной пары с моментом • Для того чтобы тело под действием системы пар тело находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы Уравнения равновесия Для плоской системы сил 3. 6. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 2. 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 27

3. 6. 2. Задача 3. 1 Условия равновесия тела под В плоскости Оxy расположены три пар сил действием системы пары сил. Определить момент пары m 3, при котором эта система пар находится в равновесии, если m 1 = 510 Н·м, m 2 = 120 Н·м Решение Уравнение равновесия данной системы пар имеет вид m 1 + m 2 – m 3 = 0 3. 6. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ Условия равновесия тела под действием системы пар сил 2. 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ 28

3. 7. Жесткая заделка 29

3. 7. 1. Еще один тип связи • Жесткая заделка – это вид связи, полностью запрещающей движение тела • Пример – балка, один конец которой защемлен • Реакция жёсткой заделки представляет собой совокупность силы и пары сил, которые образуют плоскую или пространственную систему сил в зависимости от того, какими являются активные силы. Графическое представление Реакция жесткой заделки y А m. A 3. 7. ЖЕСТКАЯ ЗАДЕЛКА 2. 5. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ 2. 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ x 30

3. 8. 1. Основные выводы • Две сонаправленные силы, линии действия которых параллельны имеют равнодействующую • Две параллельные, не равные по модулю силы, направленные противоположно, имеют равнодействующую • Введено понятие пары сил, действие которой характеризуется ее моментом • Равновесие тела под действием системы пар описывается тремя уравнениями равновесия 3. 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ 31

3. 8. 2. Тема следующей лекции УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ И МОДЕЛИ 3. 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 32