Новосибирский Государственный Архитектурно. Строительный Университет (Сибстрин) Лекция 12. СВОБОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Времена меняются, и мы меняемся вместе с ними. Гораций Кафедра теоретической механики 1
Гораций (Quintus Horatius Flaccus), 65 – 8 г. г. до н. э. , Венузия (совр. Веноза), Рим 2
Цель лекции • Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами • Изучить свободные колебания точки План лекции 12. 1. Уравнение свободных колебаний точки 12. 2. Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка 12. 3. Свободные колебания линейного осциллятора 12. 4. Свободные колебания линейного осциллятора при наличии постоянной силы 12. 5. Заключение 4
12. 1. Уравнение свободных колебаний точки 5
12. 1. 1. Определение и примеры Колебаниями называются такие движения точки, которые характеризуются определенной повторяемостью по времени Только два примера 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 6
12. 1. 2. Всеобщий характер колебаний Физические явления • механические колебания (вибрация, волны на воде) • электромагнитные волны (оптические, радио, инфракрасные…) • акустические волны (звук) Природные явления • суточное вращение Земли • землетрясение и цунами • приливы и отливы Биологические системы • сердечно-сосудистая система • ухо + голосовые связки • эволюция биологического мира Общество • промышленно-технологические циклы • экономические циклы КОЛЕБАНИЕ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ 12. 1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 7
12. 1. 3. Сила, вызывающая колебания • Колебательные движения возникают под действием силы, зависящей от координат материальной точки • Сила упругости пружины имеет вид Линейный осциллятор Нелинейный осциллятор 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 8
12. 1. 4. Уравнение колебаний линейного осциллятора c m • Рассмотрим прямолинейное движение точки массой m, подвешенной на пружине • Действие на точку пружины характеризуется силой • Эта сила обусловлена действие упругой силы, возникающей в пружине и равна где с – жесткость пружины, ее размерность Н/м • Выберем начало координат в положении статического равновесия пружины • Силу будем называть восстанавливающей силой, она всегда направлена к началу отсчета O • Движение точки описывается вторым законом Ньютона x Н. У. 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 9
12. 1. 4. Колебания математического маятника • В естественной системе координат • Будем считать колебания малыми 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 10
12. 2. Решение ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 11
12. 2. 1. Характеристическое уравнение ДУ c m x • Это ДУ имеет два частных решения х1, х2, а общее решение определяется их суперпозицией • Частные решения ищем в форме, предложенной Эйлером • Для нахождения собственных значений решения в исходное ДУ , подставим эти • Характеристическое уравнение данного ДУ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12
12. 2. 2. Частные решения в форме Эйлера c • Это ДУ имеет два частных решения • Общее решение имеет вид m x • Далее используем формулы Эйлера 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА 13
13. 2. 3. Общее решение ДУ c • Общее решение данного ДУ имеет вид m x • Можно получить другую форму этого решения, если ввести две другие постоянные 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 12. 2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА 14
12. 3. Характеристики свободных колебаний точки 15
12. 3. 1. Амплитуда и фаза колебаний c m • Общее решение данного ДУ имеет вид • Воспользуемся тригонометрической формулой x А – амплитуда колебаний точки [м] α – начальная фаза [радиан] Движение точки, описываемое этим законом называется гармоническими колебаниями 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 12. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЯ 16
12. 3. 2. Период колебаний c x T A m x t 0 –A Т – период колебаний, [c] 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 12. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЯ 17
12. 3. 3. Определение постоянных по НУ c • Подставим начальные условия m x • Найдем постоянные интегрирования 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЧКИ 12. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЯ 19
12. 4. Свободные колебания ЛО при наличии постоянной силы 19
Свободные колебания при наличии 12. 4. 1. Статическое удлинение пружины постоянной силы • Рассмотрим прямолинейное движение c l 0 l O x’ m x’ точки массой m под действием восстанавливающей силы F и силы тяжести • Под действием силы тяжести пружина растягивается на , которое будем называть статическим удлинением пружины • Если груз вывести из положения равновесия, то на него действует две силы • Выберем начало отсчета О в положении статического равновесия пружины 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС (F=const) ПРИ 12. 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ КОЛЕБАНИЯ 20
Уравнение свободных колебаний (F=const) 12. 4. 2. Уравнение движения • С учетом условия равновесия Это и есть ДУ свободных колебаний ЛО при наличии постоянной силы Н. У. : Постоянная сила, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС (F=const) ПРИ 12. 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ КОЛЕБАНИЯ 21
Свободные колебания при наличии 12. 4. 3. Неоднородное ДУ постоянной силы • Рассматрим прямолинейное движение точки массой m под действием восстанавливающей силы F и силы тяжести • Выберем начало координат в положении нерастянутой пружины • На груз действует две силы O x • В этой системе координат уравнение Ньютона имеет вид Т. о. , в этой системе координат движение осциллятора описывается неоднородным ДУ 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС (F=const) ПРИ 12. 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ КОЛЕБАНИЯ 22
Свободные колебания при наличии 12. 4. 4. Решение неоднородного ДУ постоянной силы • Общее решение неоднородного ДУ складывается из общего решения однородно ДУ xh и частного решения неоднородного ДУ xn O • Общее решение ОДУ нам известно x • Частное решение будем искать в виде B = const 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС (F=const) ПРИ 12. 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ КОЛЕБАНИЯ 23
12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ 24
12. 5. 1. Свободные затухающие колебания Сила сопротивления • Выберем начало координат в положении статического равновесия пружины • Второй закон Ньютона c • ДУ свободных затухающих колебаний m x • Характеристическое уравнение данного ДУ Н. У. • В зависимости от соотношения b и ω возможны три различных случая движения точки с массой m 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ 25
12. 5. 2. Апериодические движение. I 1. Случай большого сопротивления, b > ω, оба решения 2. характеристического уравнения действительные Это апериодическое движение точки, движение x достаточно быстро (почти экспоненциально) затухает по x x времени x 0 t 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ 26
12. 5. 3. Апериодические движение. II 2. Случай умеренного сопротивления, b= ω, оба решения характеристического уравнения одинаковы, оно имеет вырожденные корни Это движение точки также апериодическое. На малых временах координата растет линейно, а затем почти экспоненциально затухает x x 0 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ t 27
12. 5. 4. Свободные затухающие колебания 3. Случай малого сопротивления, b < ω, оба. Корни характеристического уравнения комплексные Н. У. Частота колебаний Период колебаний 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ 28
12. 5. 5. Декремент затухания – декремент затухания T – логарифмический декремент затухания x 3 x 1 t 1 x 2 t 3 t Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за один период 2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС 12. 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛО ПРИ СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ 29
12. 6. Заключение 30
12. 6. 1. Основные выводы < Колебания могут быть линейными и нелинейными < Свободные колебания ЛО описываются однородным ДУ второго порядка < Наличие постоянно действующей силы не меняет характера колебаний < При наличии силы сопротивления пропорциональной скорости возможны как периодические затухающие колебания, так и апериодическое движение Домашнее задание: Изучить колебательное движение ЛО в случае, когда на него действует постоянная сила трения 12. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ 31
12. 6. 2. Тема следующей лекции Лекция 13 Вынужденные колебания ЛО 1. 3. АКСИОМЫ СТАТИКИ 12. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И МОДЕЛИ 1. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 32
Скачать презентацию Новосибирский Государственный Архитектурно Строительный Университет Сибстрин Лекция 12
L13_Oscilations_091912.ppt