Новое – это хорошо забытое старое. СКОЛЬКО СТОИТ ВРЕМЯ? Ю. Соколовский, Известия, ноябрь 1973, рубрика "Вуз 70 -х годов" … Создание учебника или курса лекций нередко включает в себя и онтодидактические открытия. Однако не каждый новатор в этой области становится автором, а новинки лекционного курса крайне редко выходят за стены одного вуза. Подобно изобретениям, они вообще даются не так-то легко. А чтобы привести в современный вид учебную дисциплину, их нужно гораздо больше, чем может предложить в одиночку автор (или даже авторский коллектив)…. Да и не всякая новинка укладывается в программу, составленную до этого. Поэтому … при разработке программ и учебных планов надо … иметь в поле зрения широкий ассортимент подобных предложений. При конструировании самолета нужны облегченные детали. И все специалисты думают об этом. Такова же примерно и роль "облегчения" трактовок в преподавании. Поэтому важен широкий фронт исследований, результаты которых должны оперативно публиковаться и обсуждаться, чтобы постепенно накапливался своего рода "онтодидактический фонд" – насущно необходимая основа для творческой разработки учебных планов, программ, учебников. Примеры, включенные в эту главу, находятся русле идей автора приведенной цитаты. Часть из них заимствована из труднодоступных изданий. Современные возможности позволяют реализовать эти идеи без особых бюрократических осложнений.
Пример 1. Эллиптическая зубчатая передача Г. М. Фихтенгольц. Математика для инженеров. Передача состоит из двух одинаковых зубчатых колес эллиптической формы с отверстиями для валов в одном из фокусов. Валы разнесены на расстояние, равное большой оси эллипса. Если первоначально привести колеса в зацепление в положении, когда их большие оси образуют одну линию, то при последующем вращении зацепление будет сохраняться. Само по себе устройство – техническое решение для превращения равномерного вращения в неравномерное: ведомый вал будет вращаться то быстрее, то медленнее ведущего. Но рассказ о нем при изучении свойств эллипса оказывает сильное эмоциональное воздействие, ибо первая реакция неподготовленного слушателя: "этого не может быть!". И дело не в этом конкретном примере (механизм достаточно редкий), а в осознании масштаба возможностей математики.
Пример 2. Присоединенный момент Слышан от проф. С. М. Тарга Если взять палку рукой за конец и удерживать горизонтально, то сразу почувствуется сила, которая выворачивает руку. Если держать за середину, то никакого момента не будет: почувствуется только вес. Так сразу, без всяких формул, можно прочувствовать содержание теоремы о присоединенном моменте.
Пример 3. Кориолисовы сила и ускорение возникают при окружном переносном движении Их существование доказывается абстрактными теоретическими построениями, но наглядное представление о их физической природе можно получить, рассматривая предельные случаи 1. Если относительное движение радиальное равномерное: Абсолютная скорость при движении от центра к периферии возрастает из-за увеличения радиуса вращения. Это и есть кориолисово ускорение, и с ним связана сила от стенок жолоба, по которому движется тело. Именно эта сила подмывает берега рек, неравномерно изнашивает рельсы и формирует ураганы.
Кориолисовы сила и ускорение – продолжение 2. Если относительное движение окружное при равных линейных скоростях окружного и переносного движений: Центробежная сила от переносного движения Кориолисова сила здесь тело в абсолютной системе координат неподвижно, между тем центробежные силы от обоих движений направлены в одну и ту же сторону. Чтобы результирующая сила была нулевой, должно быть еще одно слагаемое, направленное противоположно. Это опять кориолисова сила. Центробежная сила от относительного движения
Пример 4. Энтропия – характеристическая функция в термодинамике, одно из наиболее абстрактных понятий в науке. Характеризует направление самопроизвольных процессов в изолированной системе. Считается весьма труднодоступной для понимания, ей даже приписывают мистические свойства.
(См. следующий кадр) >>>
q 1 2 T 1 > T 2
Пример 5. Обоснование способа получения второго независимого решения дифференциального уравнения при равных корнях характеристического уравнения. Взято из статьи Пак В. В. , Казакова Е. И. , и др. Инженер и математика. Конференция «Методы совершенствования фундаментального образования в школах и вузах» Севастополь 1998 приведено с незначительной редакционной правкой.
Рассмотрим решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В случае неравных корней характеристического уравнения все просто: имеем два независимых решения и Для случая k 1=k 2 рекомендуют искать решение в виде где – неизвестная функция, подлежащая определению.
Можно сделать иначе. Пусть корни характеристического уравнения отличаются друг от друга на малую величину Dk. Линейная комбинация будет естественным решением, так же, как и результат ее деления на Dk. Переходя к пределу, получим Полученное выражение является решением – проверку можно дать в качестве упражнения. Этот способ лучше традиционного в нескольких отношениях: 1) Исключается немотивированное действие: не навязываем заранее вида решения, а находим его. 2) Работают доказанные ранее теоремы и доказывается их необходимость.
Пример 6.
Известен дискомфорт у начинающих от понятия мнимого (и комплексного) числа. Он проходит не от понимания, а от привыкания. Проф. Ю. В. Линник вводил его способом, свободным от всякого дискомфорта. Будучи студентом, я слышал его лекции по ТФКП для аспирантов ЛПИ в 1948 г. Комплексное число - это плоский, то есть двухкоординатный вектор, а сама ТФКП средство упростить решение плоской задачи: обтекание воздухом крыла самолета, фильтрация воды через грунт под плотиной, электрическое и магнитное поля вокруг линии электропередачи.
Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали откладывают обычную единицу, а по вертикали – единицу той же длины, называемую i – и никаких упоминаний о ее мнимости. Складывают комплексные числа по общим правилам сложения векторов: покомпонентно. Также, для описания векторов (и комплексных чисел) используют полярные координаты, задавая длину вектора (модуль) и угол наклона (аргумент), отсчитываемый против часовой стрелки от горизонтальной оси.
Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком виде: произведение c получается из множимого a тем же путем, каким множитель b получается из единицы. А именно: для получения b единицу растягивают в b раз; для получения c то же проделывают с множимым a. Чтобы распространить это правило на комплексные числа, нужно его дополнить: ведь чтобы получить b, единицу не только растянули, но и повернули на угол a - аргумент множителя. Поступая так же и с множимым, приходим к правилу: при умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают.
– 1 Согласно этому правилу, для получения i повернули о i единичный вектор на 90 против часовой стрелки. Для умножения i на i его нужно 1 еще раз повернуть на тот же угол, при этом получаем – 1. Отсюда сразу следует: , или Этот определение здесь получено естественно, как результат обобщения на векторы правил умножения обычных чисел, а не принято изначально. И никакой мистики!
Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как мнимая единица уже названа так и введена, как – 1. Линник, начав с векторов, пришел к тому же корню как к следствию, то есть, усилил мотивировку, сделав ее более содержательной. Кто не видит разницы, тот лишен педагогического чувства. За прошедшие с тех пор 60 лет я ни разу не встречал этого вывода ни в учебниках, ни в лекционных курсах математики. По-прежнему начинают с мнимой единицы, а потом (неизвестно почему!) откладывают ее на графике по вертикали, правило умножения выводят чисто алгебраически, а геометрия уже вытекает из него, и т. д. Особенно досадно, что исключением не стала и книга Я. Б. Зельдовича и А. Д. Мышкиса "Элементы прикладной математики". Но обнаружил его в неожиданном месте – в книге Р. В. Поля "Оптика". Физик, притом в специальной монографии, отвлекся на чисто математический вопрос. Значит, он не был удовлетворен его изложением профессионалами, и не мог смолчать.
Скачать презентацию Новое это хорошо забытое старое СКОЛЬКО СТОИТ
0a53ae7d7cc256cda4d8442f265f19b3.ppt