Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Научно-исследовательская лаборатория цифровой обработки сигналов Теоретические основы цифровой обработки сигналов Иллюстративный материал к конспекту лекций Великий Новгород 2010
Литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Солонина А. И. , Улахович Д. Л. и др. Основы ЦОС. Курс лекций. Изд. 2 -е СПб. : Питер, 2005 А. Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. – СПб. : Питер, 2003 г. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. пер. с англ. под ред. Бритова А. А. – М. : Бином, 2006. Айфичер Э. С, Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2 -е издание. Пер. с англ. – М. : Издательский дом «Вильямс» , 2004 Куприянов М. С. , Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. – СПб. : Политехника, 1998 Гольденберг К. Н. , Матюшкин Б. Ю. , Поляк Н. Н. , Цифровая обработка сигналов. – М. : Радио и связь, 1990 Рабинер Л. , Гоулд Б. . Теория и применение цифровой обработки сигналов. /пер. с англ. – Мир, 1978 Каппелини В. , Константиниос А. Д. , Эмилиани П. , Цифровые фильтры и их применение. – М. : Энергоавтомиздат, 1983 Введение в цифровую фильтрацию. Под ред. Богнера Г. Пер. с англ. – М. : Мир, 1976 Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов. Справочник. – М. : Радио и связь, 1985 Применение цифровой обработки сигналов под ред. Оппенгейма. – М. : Мир, 1980 Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов, М. , Мир, 1989 Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. – М. : Высшая школа, 1982 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 2
Основные области применения ЦОС Связь Кодирование речи Военная техника Распознавание речи Спектральный анализ Синтезаторы музыки диктора Верификация Компенсаторы эхо связь Ультразвуковое оборудование Засекреченная Генерация функций Игрушки и игры Цифровая фильтрация Повышение качества речи Обработка Радиолокация связь Видео-конференц. Диагностический инструментарий Анализ сейсмограмм Робототехника Общетехнические Цифровое вещание и телевидение Свертка Модемы Синтез речи изображений Обработка изображений Мониторинг. Цифровое управление больных Цифровая фильтрация ………………………. . “речь - текст” Космическаярадио фотосъемка Зрение роботов Цифровое Системы Корреляция Слуховые Синтез моделей доступ Навигация приборы Засекреченный Компрессия данных Преобразование Гильберта и передача Трансмультиплексоры Протезирование Компрессия Радиомодемы аппаратура для ЛЭП Временной анализ Контрольная изображений Анализ измерений космических преобразование Фурье Сотовая телефония Быстрое зондов Управление ракетами вибраций Обработка речи Анализ Распознавание образов Медицина Радиотелескопы Интеллектуальные мультиплексоры Радиоразведка Адаптивная фильтрация Фазовая синхронизация Повышение Адаптивные корректоры качества изображения Гидроакустика Генерация сигналов Трехмерные вращения Кодирование - декодирование Интерполяция Космонавтика Шифрование данных Инструментарий Работа с цифровыми картами Промышленность ЦОС Пакетная коммутация Другие Широкополосная связь Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 3
Элементная база ЦОС Цифровые ИС МИС БИС ПЛИС Програм. СИС СБИС БМК Репрогр. Дискретноаналоговые ИС Универсальные ЦВМ Специализ. ЦВМ Микро. ЭВМ Сигнальные процессоры ЦАП ПЭВМ Графические процессоры ПЗС-ППЗ Большие ЭВМ Специализ. процессоры Супер ЭВМ Специализ. ЦВМ АЦП УКК Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 4
Примеры устройств ЦОС Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 5
Примеры устройств ЦОС Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 6
Средства разработки системы ЦОС Ассемблер MOV A, B 1101010001 Языки высокого уровня (C, C++, VHDL, Abel, Verilog, HDL, …. ) САПР Отладочный комплект (EZ-Kit) Эмулятор Система ЦОС Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 7
Пример аналогового и цифрового устройств Аналоговое устройство + Цифровое устройство ФНЧ ЦАП АЦП 1010 1001 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 8
Сравнительная характеристика цифровой и аналоговой обработки Преимущества • Повторяемость (малочувствительны к старению, к допускам точности компонентов, к изменениям температуры) • Высокая помехоустойчивость • Большой динамический диапазон • Высокая точность • Универсальность методов и аппаратуры • Гибкость (Возможность программной перестройки) Недостатки • Большие требования к быстродействию (ширине полосы частот) • Сложность методов и аппаратуры • Большая мощность потребления энергии • Наличие погрешностей дискретизации и шумов квантования • Высокая скорость морального старения • Высокая степень интеграции Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 9
Вопросы для самостоятельной работы по Введению 1. Основные области применения цифровой обработки сигналов 2. Общая характеристика, типы и основные параметры программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) (CPLD, FPGA фирм Xilinx, Altera и др. ) 3. Основные типы и характеристики аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразователей, в том числе на основе технологии Σ-Δ. 4. Общая характеристика графических процессорных устройств для высокопроизводительных вычислений. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 10
Раздел 1. Теория дискретных систем Непрерывные, дискретные и цифровые сигналы Представление сигналов Графически y(t) В, y(n), ý(n) 1000, 8 0111, 7 0110, 6 Цифровой сигнал (квантование по уровню и дискретизация по времени) Непрерывный (аналоговый) сигнал Дискретный сигнал (дискретизация по времени) q 1. 0011, 3 0010, 2 0001, 1 T 0. 1 0. 2 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 t, сек 1 2 5 6 7 8 9 n T=1/fd – шаг дискретизации, fd- частота дискретизации, q –шаг квантования 0 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 11
Непрерывные, дискретные и цифровые сигналы 2. 3. Набор чисел: 0, 0. 5, 0. 25, 0. 125. . Аналитически: x(n)=1/2 n, n=0, 1, 2. . 4. Рекуррентно: x(n)=x(n-1)/2, x(0)=1, n=0, 1, 2. . Примеры последовательностей: u 0(n) 1 -2 -1 0 1 u-1(n-nu) (n) 0 -1 u 0(n-n 0) 1 2 n единичный импульс 1 0 n единичный импульс, задержанный на n 0 отсчетов 1 0 n 00 единичный скачок задержанный на n 0 отсчетов если задана a(n), n , то Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 12 n
![Линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП) x(n) Ф[x(n)] y(n) Дискретная ЛПП Свойства ЛПП Линейность](https://present5.com/presentation/216073813_329429148/image-13.jpg "Линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП) x(n) Ф[x(n)] y(n) Дискретная ЛПП Свойства ЛПП Линейность")
Линейные системы с постоянными параметрами (ЛПП) x(n) Ф[x(n)] y(n) Дискретная ЛПП Свойства ЛПП Линейность Если x 1(n) и Ф x 2(n) Ф то a 1 x 1(n) +a 2 x 2(n) Ф Инвариантность задержки y 1(n) y 2(n) a 1 y 1(n) +a 2 y 2(n) Если x(n) то x(n-n 0) Ф Ф n 0 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 13 y(n) y(n-n 0) n 0
Свойства ЛПП Коммутативность (перестановка): Если x(n) Ф 1 Ф 2 y(n) то x(n) Ф 2 Ф 1 y(n) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 14
Суперпозиция x 1(n) + Синтез x 2(n) x (n) Разложение + x 3(n) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 15
Импульсная характеристика h(n) – импульсная характеристика – отклик системы на единичный импульс u 0(n) Дискретная ЛПП h(n) Характеристики ЛПП полностью определяются ее импульсной характеристикой Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 16
Фундаментальная концепция ЦОС x(n) h(n) разложение (декомпозиция) синтез y(n)=y 1(n)+y 2(n)+y 3(n) x(n)=x 1(n)+x 2(n)+x 3(n) x 1(n) y(n) h(n) y 1(n) + x 2(n) x 3(n) + h(n) + y 2(n) y 3(n) + h(n) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 17
Свертка h( ) – импульсная характеристика, – оператор свертки. где h(n), x(m) 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 h(n-m), x(m) 0 0 1 0 0304 0 0 0 02 00 0 0 00 0 1034 0 0 0 2 0 0202 0 0 0 02 00 0 0 00 0 2022 0 0 0 n = -1 n=7 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y(n) 8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y(n) 9 6 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 18
Физическая реализуемость ЛПП Если h(n)=0 при n<0 h(n) 0 нереализуемая 0 реализуемая Условие устойчивости ЛПП y 1(n), y 2(n), y 3(n) 1 y 1(n)=0. 1 2 0. 25 n u-1(n) - не устойчивая n y 2(n)=0. 8 u-1(n) y 3(n)=1/n u-1(n) -2 0 2 4 6 8 10 12 14 - устойчивая -? n Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 19
Разностные уравнения Назначение: • временной анализ дискретных систем; • способ построения системы; • порядок, нули, собственные частоты. Разностное уравнение М-го порядка: Пример ЛПП 2 -го порядка x(n-2) x(n-1) b 2 b 1 x(n) b 0 y(n) + -a 1 -a 2 y(n-1) y(n-2) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 20
Частотная характеристика ЛПП j n Пусть x(n)=e – дискретный комплексный гармонический сигнал. Тогда при прохождении его через ЛПП с ИХ h(n) Частотная характеристика ЛПП: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 21
Преобразование Фурье для дискретных сигналов Для непрерывных сигналов: Для дискретных сигналов: т. к. X(ej )=X(ej +2 k), k=0, 1, 2… X(ej ) непрерывная и периодичная (период 2 ) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 22
Свойства ПФ для дискретных сигналов Последовательность x(n) y(n) Преобразование Фурье X(ej ) Y(ej ) a x(n)+b y(n) a X(ej )+ b Y(ej ) x(n-n 0) ej n 0 X(ej ) 3. Частотный сдвиг ej 0 n x(n) X(ej( - 0)) 4. Свертка x(n) y(n) X(ej ) Y(ej ) 5. Произведение x(n) y(n) Свойство 1. Линейность 2. Задержка Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 23
Соотношение между ПФ дискретных и непрерывных сигналов |Xн(j )|, |X(ej T)| /T 2 /T- 0 2 /T 0+2 /T 3 /T fд/2 fд 3 fд/2 0 0 - /T -fд/2 Re[xн(t)]=xн(t) 4 /T 2 fд x(n, 0), x(n, 0+2 /T), x(n, 2 /T- 0), x(n. T, 0) 1 0. 5 0 T 2 T 3 T -0. 5 -1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 24 4 T t
Эффект наложения спектров (aliasing) max= д – без наложения |Xн(j )|, |X(ej T)| 0 д/2 д 3 д/2 2 д 5 д/2 6 д max > д – наложения |Xн(j )|, |X(ej T)| ФНЧ 0 д/2 д д/2 2 д 5 д/2 6 д max = д – без наложения |Xн(j )|, |X(ej T)| 0 3 д/2 д 3 д/2 2 д 5 д/2 6 д Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 25
Z-преобразование Применяется для описания, синтеза и анализа ЛПП Преобразование Лапласа Z-преобразование Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 26
Z-плоскость r-радиус, -угол, ej - единичная окружность Im(Z) 1 r 0 1 ЛПП устойчива, если все полюса находятся внутри единичной окружности: rp<1 Re(Z) Для любой ЛПП X(z) можно представить в виде: где zi – нули; pi – полюса. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 27
![Примеры Z-преобразования x(n) Z[x(n)] u 0(n) 1 ej n 1/(1 -ej z-1) u-1(n) 1/(1](https://present5.com/presentation/216073813_329429148/image-28.jpg "Примеры Z-преобразования x(n) Z[x(n)] u 0(n) 1 ej n 1/(1 -ej z-1) u-1(n) 1/(1")
Примеры Z-преобразования x(n) Z[x(n)] u 0(n) 1 ej n 1/(1 -ej z-1) u-1(n) 1/(1 -z-1) nan-1 z-1/(1 -az-1)2 (-1)n 1/(1+z-1) n z-1/(1+z-1)2 n 2 (z-1 -z-2)/(1+z-1)3 an 1/(1 -az-1) ansin(n ) ancos(n ) Связь Z-преобразования и преобразования Фурье Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 28
Пример Z 1=e j /4 = 0. 707 + j 0. 707 Z 2=e -j /4 = 0. 707 - j 0. 707 p 1=0. 9 e j /4 = 0. 636 + j 0. 636 p 2=0. 9 e -j /4 = 0. 636 - j 0. 636 1 |H(z)| |H(ej 0. 6 )| |H(ej )| 0. 9 0. 8 1 Im(Z) 0. 4 0. 2 0 0. 8 /4 0. 6 -0. 2 -0. 4 -0. 6 0. 2 -0. 8 -1 0 0 -1 1 2 -0. 5 3 0 4 0. 5 5 6 1 Re(Z) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 29
Основные свойства Z-преобразования Последовательность x(n) y(n) Z-преобразование X(z) Y(z) a x(n)+b y(n) a X(z)+ b Y(z) 2. Задержка x(n-n 0) z-n 0 X(z) 3. Частотный сдвиг an x(n) X(z/a) 4. Свертка x(n) y(n) X(z) Y(z) 5. Произведение x(n) y(n) Свойство 1. Линейность Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 30
Обратное Z-преобразование Способы вычисления: 1. Деление числителя на знаменатель 2. Разложение на простые дроби 3. Использование теоремы о вычетах 4. Таблица Z-преобразований Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 31
Одностороннее Z-преобразование Предназначено для анализа физически реализуемых систем Основное отличие – в свойстве задержки где - начальные условия При нулевых начальных условиях: - аналогично двустороннему Z-преобразованию Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 32
Решение РУ с помощью Z-преобразования Пример: решить РУ Решение: - Z-преобразование от обеих частей Общий случай решения РУ порядка L Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 33
Пример вычисления обратного Z-преобразования 2. Разложение на простые дроби: 1. Деление числителя на знаменатель: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 34
Дискретное преобразование Фурье размерностью N: Xp(k) – периодическая последовательность с периодом N Обратное дискретное преобразование Фурье: xp(n) – периодическая последовательность с периодом N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 35
Связь Z-преобразования и ДПФ Пусть – конечная последовательность Тогда Полагая Im(Z) N=8 Re(Z) 0 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 36
Связь ДПФ и ПФ где: Ф(0)=1 : X(ej 2 k/N)=X(k) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 37
Связь ПФ и ДПФ (пример) x (n) xp(n) 0 |X (ej )| 0 n 4 2 N (k) |Xp(k)| 2 N arg[X (ej )] 0 2 N N arg[Xp(k)] 2 N 4 2 N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 38 (k)
Дополнение нулями x(n) – конечная последовательность длины N, X(ej ), X 9(k), X 16(k) -0. 5 0 -0. 5 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 39
Основные свойства ДПФ Свойство 1. Линейность 2. Задержка Последовательности с периодом N x. N(n), y. N(n) N-точечное ДПФ XN(k) YN(k) a x. N(n)+b y. N(n) a XN(k)+ b YN (k) x. N(n-n 0) 3. Частотный сдвиг XN(k-n 0) 4. Свертка x. N(n) y. N(n) 5. Произведение XN(k) YN(k) x. N(n) y. N(n) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 40
Основные свойства ДПФ Циклический сдвиг конечной последовательности x 6(n) x 6(n+2)=x 6(n-4) 0 5 n Если x. N(n), y. N(n) -действительные 6. Симметрия: Пусть z. N(n)=x. N(n)+jy. N(n) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 41
Примеры ДПФ x 1(n)=u 0(n), x 2(n)=u 0(n -4), x 3(n)=u 0(n-8) 2 arg[X 1(k)], arg[X 2(k)], arg[X 3(k)] |X 1(k)|=|X 2(k)|=|X 3(k)| 1 1 1 0 0 - 0 10 20 30 40 50 60 0 -0. 5 0 0. 5 -0. 5 Re[X 1(k)], Re[X 2(k)], Re[X 3(k)] 0 0. 5 Im[X 1(k)], Im[X 2(k)], Im[X 3(k)] 1 1 0 0 -1 -1 -0. 5 0 0. 5 -0. 5 0 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 42 0. 5
Примеры ДПФ |X(k)| x(n)=u-1(n), 16 1 10 0 0 100 200 300 400 500 x(n) 0 -0. 5 0 0. 5 |X(k)| 16 1 10 0 100 200 300 400 500 0 -0. 5 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 43
Свертка последовательностей 1. Циклическая (периодическая, круговая); 2. Линейная (апериодическая); 3. Секционированная; 4. Быстрая (на основе БПФ, на основе разложения на короткие, на основе структурных свойств, на основе ТЧП) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 44
Циклическая свертка hp(n) n 0 N=9 2 N=18 xp(n) N=9 0 n 2 N=18 N=9 l 2 N=18 xp(l), hp(3 -l) (1 -l) (2 -l) (7 -l) (6 -l) (0 -l) (5 -l) p(4 -l) yp(n) 0 N=9 2 N=18 n Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 45
Быстрая свертка на основе БПФ x(n) Дополнение нулями (опционально) xp(n) БПФ Xp(k) Yp(k) h(n) Дополнение нулями hp(n) БПФ ОБПФ y(n) Hp(k) (опционально) Для БПФ по основанию 2 выигрыш в кол. операций умножения Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 46
Линейная свертка hp(n) 0 N 1=4 3 n 12 xp(n) M N 1+N 2 -1 N 2=8 12 7 n 12 0 n yp(n) N 1+N 2 -1=11 0 10 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 47
Секционированные свертки Для свертки последовательностей значительно различающихся по длине 1. Метод перекрытия с суммированием N>>L x(n) M h(n) y 0(n) 2 M n L + y 1(n) y 2(n) y(n) N=3 M n n L+M-1 M + M M L+2 M-1 n L+3 M-1 2 M L+M-1 2 M n L+2 M-1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 48 n L+3 M-1
Секционированные свертки 2. Метод перекрытия с накоплением h(n) x 0(n) y y x 1(n) x y 2(n) n L M M M 2 M N=3 M n M+L-1 2 M 2 M y 3(n) x n 3 M 3 M+L-1 n 3 M 3 M y(n) M 2 M n 3 M 4 M L+3 M-1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 49 n n
Раздел 2. Цифровые фильтры Классификация По импульсной характеристике: • С конечной импульсной характеристикой (КИХ, КИО) • С бесконечной импульсной характеристикой (БИХ, БИО) По реализации: • рекурсивные • нерекурсивные По назначению: • Фильтрация во временной области (Сглаживание, удаление постоянной составляющей, изменение формы, …) • Фильтрация в частотной области (фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ), режекторные (РФ), многочастотные, фазовые (всепропускающие), …) По свойству адаптации: • Неадаптивные • Адаптивные По скорости дискретизации: • Неизменяющие частоту дискретизации • Изменяющие частоту дискретизации (дециматоры, интерполяторы) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 50
Структурные схемы цифровых фильтров Рекурсивные фильтры Прямая форма 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 51
Структурные схемы рекурсивных фильтров Прямая форма 2 (каноническая) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 52
Структурные схемы рекурсивных фильтров Каскадная форма где либо Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 53
Структурные схемы рекурсивных фильтров Параллельная форма Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 54
Структурные схемы нерекурсивных фильтров Прямая форма Фильтр с многоотводной линией задержки (трансверсальный фильтр) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 55
Инверсная форма ЦФ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 56
КИХ фильтр на основе интерполяционной формулы Лагранжа где Для N=3: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 57
Фильтр с частотной выборкой Получается из ЦФ на основе формулы Лагранжа при: При этом - отсчет ЧХ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 58
Лестничные (решетчатые) фильтры Применение: • анализ и синтез речи; • компрессия и декомпрессия данных; • адаптивная фильтрация. Физическая модель: каскадное соединение цилиндров разного диаметра. Коэффициенты фильтра представляют часть энергии волны, отраженной от границ раздела цилиндров разного диаметра. Преимущества • нечувствительны к погрешностям коэффициентов • при увеличении порядка фильтра не требуется перерасчет коэффициентов имеющихся звеньев • легко обеспечивается устойчивость БИХ-структур Недостатки больше вычислительные затраты по сравнению со структурами прямой формы Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 59
Нерекурсивный решетчатый фильтр для первого звена: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 60
Рекурсивный решетчатый фильтр Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 61
Лестнично-решетчатый фильтр Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 62
Фильтры скользящего среднего Преимущества: оптимальный фильтр для подавления случайного шума, простота реализации Недостаток: плохие фильтрующие свойства в частотной области Для M=4: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 63
Фильтры скользящего среднего Импульсная характеристика: Переходная характеристика: Для M=4: 1 0. 25 0 исходный сигнал n 0 после фильтра M=11 M=51 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 64 n
Фильтры скользящего среднего Частотная характеристика: |H 5(f)|, |H 11(f)|, |H 31(f)|, д. Б 0 -10 -20 -30 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 f Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 65
Фильтры скользящего среднего Рекурсивная форма реализации фильтра: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 66
Фильтры скользящего среднего Каскадное соединение фильтров: Частотная характеристика: h 7, 1, h 7, 2, h 7, 4 0. 2 H 7, 1, H 7, 2, H 7, 4 , д. Б 0 -20 -40 0. 1 -60 0 5 10 15 20 n 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 67 f
Общая характеристика КИХ-фильтров Преимущества: • абсолютно устойчивы; • физически реализуемы; • линейные ФЧХ, произвольные АЧХ; • простой расчет шумов дискретизации; • возможность использования БПФ. Недостатки: • большой порядок при высоких требованиях к скатам АЧХ. • возможна некратная шагу дискретизации задержка в фильтре Основные методы расчета: • взвешивание; • частотная выборка; • оптимизация по Чебышеву. Порядок расчета: • аппроксимация АЧХ, расчет коэффициентов, выбор порядка; • выбор схемы построения; • расчет шумов квантования, выбор разрядности данных и коэф-тов; • проверка моделированием. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 68
КИХ-фильтры с линейной фазой h(n), 0 n N-1 - отсчеты ИХ фильтра (действительные). - ЧХ фильтра - ЛФХ фильтра - фазовая задержка ( ) * Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 69
КИХ-фильтры с линейной фазой 1. =0 2. 0 Откуда: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 70
КИХ-фильтры с линейной фазой h(n) центр симметрии N=11 =5 5 n a) Фильтр вида 1: четная симметрия, N-нечетное центр симметрии h(n) 5 6 б) Фильтр вида 2: нечетная симметрия, N-четное Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 71 N=12 =5. 5 n
КИХ-фильтры с линейной фазой h(n), 0 n N-1 - отсчеты ИХ фильтра (действительные). - ЧХ фильтра - фазовая задержка 1. =0 2. 0 Для нечетных N: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 72
КИХ-фильтры с линейной фазой h(n) центр антисимметрии N=11 =5 n 5 a) Фильтр вида 3: четная антисимметрия, N-нечетное h(n) центр антисимметрии N=10 =4. 5 4 5 б) Фильтр вида 4: нечетная антисимметрия, N-четное Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 73 n
Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 1. N-нечетное, h(n)-симметричная N=9 N=19 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 74
Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 2. N-четное, h(n)-симметричная N=9 N=18 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 75
Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 3. N-нечетное, h(n)-антисимметричная Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 76
Импульсные и частотные характеристики КИХ-фильтров c ЛФХ Вид 4. N-четное, h(n)-антисимметричная Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 77
Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания Задача проектирования Заданы требования к АЧХ: 1 – неравномерность в полосе пропускания (ПП); 2 – неравномерность в полосе заграждения (ПЗ); p – граничная частота полосы пропускания; s – граничная частота полосы заграждения. Определить: N-порядок фильтра, h(n), n=0, 1. . . N-1 – коэффициенты фильтра Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 78
Явление Гиббса Поскольку: то: Если H(ej ) идеальная, то имеются два затруднения: 1. h(n) – бесконечная усечение до N/2 2. Физически нереализуемая сдвиг на N/2 вправо Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 79
Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания Операции метода взвешивания Способ 1 Способ 2 1. выбрать N и w(n) 2. вычислить 2. 3. 4. проверка 1, 2, wp, ws 5. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 80
Проектирование КИХ-фильтров методом взвешивания в частотной области во временной области Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 81
Основные виды оконных функций Требования к окнам: - минимальный уровень боковых лепестков (min пульсаций АЧХ фильтра); - минимальная ширина главного лепестка АЧХ окна (min ширина переходной полосы фильтра). 1. Прямоугольное окно Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 82
Основные виды оконных функций 2. Обобщенное окно Хемминга Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 83
Основные виды оконных функция 3. Окно Кайзера 4. Окно Ланцоша Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 84
Весовые функции окон и их ЧХ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 85
Основные характеристики некоторых окон Вид окна Максимальный уровень бокового лепестка, д. Б Асимтотическая скорость спадания бокового лепестка, д. Б/октава Эквивалент ширины полосы 1. Прямоугольное -13. 3 -6 1. 00 2. Треугольное -26. 5 -12 1. 33 3. Ханна -31. 5 -18 1. 50 4. Хемминга -43 -6 1. 36 5. Наттола -98 -6 1. 80 6. Гауссовское -42 -6 1. 39 7. Чебышёва -50 0 1. 39 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 86
Проектирование методом частотной выборки ДПФ ОДПФ 1. Произвести дискретизацию в N равноотстоящих точках на единичной окружности 2. По этим точкам интерполировать непрерывную ЧХ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 87
Проектирование методом частотной выборки 1+ 1 Ĥ(ej ), H(ej ) 1 - 1 1+ 2 1 - 0 2 s 2 p Ĥ(ej ) T 1 0 ПП T 2 T 3 переходная полоса ПЗ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 88
Проектирование оптимальных КИХ-фильтров Критерий оптимальности: Вид аппроксимации ЧХ: Процедура оптимизации: Min. max. ошибки аппроксимации Чебышевская Итерационный алгоритм замены Аппроксимация ЧХ фильтра Вид фильтра Q(ejw) Вид 1 1 Вид 2 cos ( /2) Вид 3 sin Вид 4 P(ejw) sin ( /2) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 89
Постановка задачи проектирования - заданная ЧХ фильтра (идеальная); - весовая функция ошибки аппроксимации. Взвешенная функция ошибки аппроксимации т. к. Обозначая: то: и Получим: - критерий оптимальности Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 90
Графическая интерпретация задачи проектирования Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 91
Теорема Чебышева Если , то необходимое и достаточное условие, что P(ej ) наилучшая аппроксимация по минимальному критерию функции , состоит в наличии не менее r+1 экстремума функции E(ej ) в области А т. е. для 1< 2< 3. . . < r+1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 92
Решение задачи оптимизации Сущность итерационного алгоритма : Избежать решения системы нелинейных уравнений относительно экстремальных частот путем итерационной процедуры их уточнения и решения системы из r+1 линейных уравнений относительно r коэффициентов и погрешности . Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 93
Процедура проектирования оптимальных фильтров 1. Задание D(ej ), W(ej ) и N Задать r+1 экстремумов 3. Решение задачи аппроксимации 4. Расчет ИХ фильтра h(n) Рассчитать 1, 2 Интерполировать P(ej ) 1+ 1 1 1 - 1 Рассчитать E(ej ), найти экстремумы |E(ej )|> Да Экстремумы изменились? Нет 2 - 2 Наилучшая аппроксимация Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 94
Свойства оптимальных ФНЧ Параметры оптимального ФНЧ: N, Fp, Fs, K Ширина переходной полосы: F=Fs-Fp Оценка качества фильтра нормированная ширина переходной полосы D=(N-1) F При N (>50) D не зависит от N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 95
Сравнение КИХ ФНЧ, спроектированных разными методами Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 96
БИХ-фильтры с линейной ФЧХ Метод 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 97
БИХ-фильтры с линейной ФЧХ Метод 2 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 98
Всепропускающие фильтры Назначение: линеаризация ФЧХ. Необходимое условие: должен существовать нуль для каждого полюса Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 99
Классификация методов расчета БИХ-фильтров Задача аппроксимации АЧХ, ФЧХ, ГЗ или ИХ за счет выбора коэффициентов фильтра. 3 группы методов расчета: • расчет ЦФ по фильтрам непрерывного времени; • прямые методы расчета разложения и количества нулей и полюсов в Z-плоскости; • оптимизация при наличии ограничений. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 100
Расчет ЦФ по фильтрам непрерывного времени Аналоговые фильтры-прототипы: Баттерворта, Чебышева I и II рода, Кауэра-Золотарева (эллиптические). Системная функция: дифференциальное уравнение: 1. 2. 3. 4. Методы дискретизации аналоговых фильтров: Отображение дифференциалов; Инвариантного преобразования ИХ; Билинейного преобразования; Согласованного Z-преобразования. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 101
Метод билинейного преобразования Условия однозначного преобразования аналоговых фильтров в цифровые 1. 2. Ось j должна отображаться в единичную окружность в Z-плоскости (сохранение частотно-избирательных свойств). Левая полуплоскость S-плоскости должна отображаться внутрь единичной окружности (сохранение устойчивости) Условия 1 и 2 удовлетворяются отображением: - билинейное преобразование Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 102
Метод билинейного преобразования При S=j - частотная ось S-плоскости: - 1 ое условие выполняется Полагая S= +j : - 2 ое условие выполняется Аналоговый фильтр с H(S) преобразуется в цифровой с H(z): Порядок знаменателя сохраняется, а порядок числителя может возрастать Нуль H(S) при S отображается в z=-1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 103
Метод билинейного преобразования Нелинейное соотношение частот: - для фильтров с почти ступенчатой ЧХ нелинейная связь частотных шкал может быть скомпенсирована; - ни ФЧХ, ни импульсная характеристики аналогового и цифрового фильтра не совпадают Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 104
Частотные преобразования Метод 1 Метод 2 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 105
Частотные преобразования Преобразование полосы частот по методу 1 L - нижняя частота среза; U - верхняя частота среза. Вид преобразования Замена переменной 1. ФНЧ 2. ФНЧ ФВЧ 3. ФНЧ ПФ 4. ФНЧ РФ Уровень пульсаций в полосе пропускания и полосе задержки не изменяется; С теоретической и расчетной точки зрения оба метода равноценны. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 106
Сравнение КИХ и БИХ-фильтров Оптимальные КИХ-фильтры - эллиптические БИХ. На обработку 1 отсчета требуется MAC операций (мин. ): - операций MAC для КИХ-фильтра N-го порядка - операций MAC для БИХ-фильтра n-го порядка Для фильтров одинаковой вычислительной сложности: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 107
Сравнение КИХ и БИХ-фильтров 1. 2. 3. 4. При Fp>0. 3 БИХ-фильтр лучше при любых 1, 2, n. При n 7 БИХ-фильтр лучше при любых 1, 2, Fp. КИХ-фильтр лучше при большой 1 и малой 2. КИХ-фильтр лучше при линейной ФЧХ. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 108
Фильтры изменяющие частоту дискретизации Характерная особенность: различная скорость потока данных на входе и выходе. Применения: • преобразование частоты дискретизации между цифровыми аудиосистемами; • узкополосные ФНЧ и полосовые фильтры; • сжатие полосы частот при цифровой обработке речевых сигналов; • трансмультиплексоры (преобразование ВРК-ЧРК); • квадратурная модуляция; • восстанавливающие и ограничивающие фильтры в цифровых аудиосистемах; • узкополосный анализ спектра в сонарных системах и вибрационном анализе. Основные операции: прореживание (децимация) и интерполяция. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 109
Фильтры изменяющие частоту дискретизации |X(f)| x(n. T) t T y 0(n. T/2) y(n. T/2) 1 Интерполяция 2 x(n. T) T/2 3 T/2 fs 2 fs/2 2 fs f |Y 1(f)| |Y(f)| 0 t y(n. T/2) z 0(3 n. T/2) fs/2 fs/4 fs/2 fs f Децимация 3 y(n. T/2) |Z 0(f)| |Y(f)| t fs/3 s/2 s/3 f 2 f Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 110 fss f f
Фильтры изменяющие частоту дискретизации Для устранения наложения при прореживании и для снижения искаженией в спектре при интерполяции необходимо выполнять низкочастотную фильтрацию, согласованную с коэффициентом изменения частоты дискретизации. |X(f)| АЧХ ФНЧ дециматора f fs fs/2 Прореживание сигнала в 2 раза |Y 1(f)| |Y 2(f)| f fs 1/2 fs 1=fs/2 3 fs 1/2 2 fs 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 111
Фильтры изменяющие частоту дискретизации L H(z) Интерполятор H(z) M Дециматор Интерполирующий фильтр Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 112
Фильтры изменяющие частоту дискретизации Прореживающий фильтр В отличие от рекурсивных, нерекурсивные структуры дециматоров обеспечивают возможность работы умножителей на частоте выходного сигнала. При больших частотах дискретизации, в дециматорах часто используют гребенчатые фильтры. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 113
Спектральный анализ Методы цифрового спектрального анализа Основные приложения: • • • радиолокация, радионавигация, радиоастрономия; гидроакустика, гидролокация; системы распознавания речи; сжатие полосы речевых сигналов; вибрационный анализ. Спектральный анализ – это измерение, которое дает точные или приближенные значения Z - преобразования дискретного сигнала в заданном множестве точек Z - плоскости. Различают “мгновенный” спектр и оценку спектральной плотности мощности. Разновидности спектрального анализа: • вычисление “мгновенного” спектра с использованием окон; • оценивание СПМ классическими методами; • оценивание СПМ параметрическими методами: • оценивание блочных данных; • рекурсивное оценивание; • многомерный спектральный анализ. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 114
Алгоритмы БПФ Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – метод вычисления ДПФ {x(n)}, 0 n N-1 – комплексный сигнал. ДПФ: где - множитель вращения {Wnk} периодична по n и k с периодом N: W(n+m. N)(k+l. N) = (WN)nk , где m, l = 0, 1, 2…, WN – множитель вращ-я с периодом N. Количество операций для ДПФ размерности N: (N-1)2 – комплексных умножений, N(N-1) – комплексных сложений. Основная идея БПФ – разбиение длинной последовательности на короткие. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 115
Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Пусть N – степень 2. Разобьем {x(n)} на {x 1(n)} – четные отсчеты, {x 2(n)} – нечетные отсчеты. x 1(n) = x(2 n), x 2(n) = x(2 n+1), для то Поскольку Тогда Вычисление X 1(k) и X 2(k) – 2 N 2/4 MAC + объединение X 1(k) и X 2(k) – N MAC Всего N 2/2+N N 2/2 при больших N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 116
Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Доопределение X(k) для k N/2 на основании периодичности N/2 точечных ДПФ: Из-за Т. к. - период X(k) не равен периоду X 1(k). то Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 117
Пример алгоритма БПФ размерности 8 по основанию 2 с прореживанием по времени Разложение ДПФ размерности 8 на два ДПФ размерности 4. Этап 3 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 118
Пример алгоритма БПФ размерности 8 по основанию 2 с прореживанием по времени Этап 2 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 119
Направленный граф алгоритма БПФ размерности N = 8 по основанию 2 с прореживанием по времени и с замещением (алгоритм Кули-Тьюки). Этап 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 120
Свойства алгоритма БПФ по основанию 2 1. Алгоритм состоит из этапов. На каждом этапе происходит изменение размерности БПФ вдвое по сравнению с предыдущим. Kэт = log 2 N 2. На каждом этапе необходимо выполнить N/2 операций “бабочка”. K A B X = A + B WN W K N 2 операции комплексного сложения и 1 операция комплексного умножения Y = A - B WNK 3. Общее число базовых операций "бабочка": 4. Для вычисления базовой операции достаточно иметь одну дополнительную ячейку для хранения произведения. Остальные результаты размещаются в освободившиеся ячейки. Это алгоритм с замещением. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 121
Сравнение вычислительных затрат KДПФ/БПФ 2 2500 КДПФ/БПФ 2 2000 70 1500 50 30 10 0 5 10 15 20 25 30 N 1000 500 0 2 16 64 256 1024 4096 16384 N Выигрыш в количестве операций алгоритма БПФ 2 по сравнению с ДПФ в зависимости от размерности N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 122
Перестановка данных и двоичная инверсия Для алгоритма по основанию 2 и прореживанием по времени закон чередования входных отсчетов описывается двоично-инверсным порядком. Пример: N = 8 L = log 2 8 = 3 Способы получения поворачивающих множителей 1. Табличный – требует много памяти, но имеет наибольшее быстродействие 2. Последовательный – не требует много памяти, но имеет низкое быстродейст. 3. Рекуррентный с изменением шага от этапа к этапу и на каждом этапе с начальным условием Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 123
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте Входная последовательность разбивается на 2 половины: Тогда N-точечное ДПФ последовательности {x(n)}: Т. к. то Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 124
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте Поскольку то X(k) для четных и нечетных k: X(2 k) получаются из N/2 -точечных ДПФ последовательности: f(n) = x 1(n) + x 2(n) ; n = 0, 1, 2…N/2 – 1 X(2 k+1) получаются из N/2 -точечных ДПФ последовательности: g(n) = [x 1(n) - x 2(n)]WNn n = 0, 1, 2…N/2 – 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 125
Пример построения алгоритма БПФ размерности 8 с прореживанием по частоте Этап 1 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 126
Алгоритмы БПФ по основанию 2 Направленный граф алгоритма БПФ по основанию 2 с прореживанием по частоте. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 127
Различия алгоритмов БПФ с прореживанием по времени и по частоте по времени по частоте 1. Порядок следования входных отсчетов: прямой двоично-инверсный 2. Порядок следования выходных отсчетов: прямой двоично-инверсный 3. Базовая операция “бабочка” K A X = A + B WN A X=A+B K Y = A - B WNK WN B WN Y = (A – B) WK N Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 128
Вычисление обратного ДПФ по алгоритму прямого Обратное ДПФ {x(n)} для последовательности {X(k)}, k=0, 1, …, N-1 - обратное ДПФ * - знак комплексного сопряжения Тогда: Т. о. можно использовать алгоритмы БПФ для вычисления ДПФ и ОДПФ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 129
Алгоритмы БПФ по основанию 4 По аналогии с основанием 2 можно построить алгоритмы БПФ по основанию 4. ДПФ размерности 4 не требует операций комплексного умножения, так как умножение на мнимой компонент выполняется перестановкой реальной и 3 комплексных умножения 12 комплексных сложений Операция «бабочка» по основанию 4 с прореживанием по времени Выигрыш по количеству операций комплексного умножения по сравнению с алгоритмом БПФ по основанию 2 около 25%. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 130
Алгоритм БПФ по основанию 4 размерности 16 0 4 8 0 0 1 0 0 2 3 12 0 1 5 9 0 0 0 13 6 10 6 3 2 7 8 4 9 6 10 11 0 3 3 11 5 2 0 0 0 14 7 1 0 2 4 0 0 0 12 6 13 9 14 15 15 Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 131
Принцип построения алгоритма БПФ с произвольным основанием Если N – составное число, то одномерный массив отсчетов можно записать в виде матрицы размерности N=Mx. L. Алгоритм вычисления ДПФ размерности N: v Преобразовать одномерный массив в матрицу (заполнение по строкам!) v Вычислить ДПФ каждого столбца v Умножить элементы матрицы v Вычислить ДПФ каждой строки v Преобразовать матрицу в одномерный массив (считывание по строкам!). Если размерность строки или столбца - составное число, разбиение можно повторить. Для произвольных составных N наиболее быстрый алгоритм со смешанным основанием – АВПФ (алгоритм Винограда преобразования Фурье). Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 132
Сравнение БПФ и гребенки фильтров. Гребенка фильтров: + Z-1 W 0 + - Z-1 W 1 Z-N + Z-1 Wk + üвыдает N спектральных отсчетов в каждый момент времени; üТребует N операций умножениянакопления на 1 отсчет сигнала. БПФ без перекрытия: üВыдает N спектральных отсчетов через N отсчетов сигнала; üТребует операций умножения-накопления на 1 отсчет сигнала. БПФ с перекрытием: Z-1 WN-1 Анализатор спектра в виде гребенки фильтров üВыдает N отсчетов через отсчетов сигнала; üТребует в K раз больше операций Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 133
Использование «окон» при спектральном анализе Импульсная характеристика одного из гребенки фильтров: Частотная характеристика (без фазового множителя): Проблема: маскировка слабых спектральных компонент сильными из-за высоких боковых лепестков АЧХ фильтра. д. Б Амплитуды сигналов: А 1 – 1 (0 д. Б) А 2 – 0. 01 (-40 д. Б) А 3 – 0. 001(-60 д. Б) Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 134
Использование «окон» при спектральном анализе Во временной области – умножение сигнала на весовую функцию «окна» . В спектральной области – свертка спектра сигнала с частотной характеристикой «окна» . Временные отсчеты Умножение на весовую функцию Анализатор спектра (БПФ) Свертка с ЧХ «окна» (сглаживание спектра) Спектральные отсчеты 1 умножение на отсчет для всех видов окон Спектральные отсчеты Для окна Ханна порядок фильтра -3 ( окно Хэмминга – без умножений). Для окна Блэкмана порядок фильтра - 5. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 135
Использование «окон» при спектральном анализе д. Б Амплитуды сигналов: А 1 – 1 (0 д. Б) А 2 – 0. 01 (-40 д. Б) А 3 – 0. 001(-60 д. Б) Стратегия выбора «окна» по одному из параметров: Øпо скорости спадания БЛ – при большой разнице амплитуд и частот; Øпо максимальному уровню БЛ – при разных амплитудах и неизвестных (распределенных в большом диапазоне) частотах; Øпо ширине основного лепестка АЧХ – при сопоставимых амплитудах и близко расположенных частотах. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 136
Классические методы спектрального оценивания Задача: получить оценку спектральной плотности мощности сигнала с минимальной среднеквадратической ошибкой по зашумленной реализации конечной длительности. Основные характеристики: ü Диапазон анализируемых частот Определяется частотой дискретизации Fs: § от 0 до ½ Fs для действительных сигналов; § от - ½ Fs до + ½ Fs для комплексных сигналов. ü Разрешающая способность по частоте Определяется эффективной шириной главного лепестка ЧХ окна Be: ü Достоверность Определяется относительной среднеквадратической ошибкой Q оценки СПМ Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 137
Классические методы спектрального оценивания Особенность оценки СПМ при наличии шума: При увеличении размерности БПФ ошибка оценки СПМ не уменьшается, так как определяется спектральной плотностью шума. Для ее снижения необходимо усреднение спектральных оценок. При ограниченной длине реализации случайного процесса: ü Повышение достоверности оценки приводит к ухудшению разрешающей способности; ü Повышение разрешающей способности приводит к потере достоверности оценки. Если влияние шума пренебрежимо мало, то - эффективная длительность реализации. Если необходимо усреднение оценок СПМ для повышения достоверности, то - статистическая ширина полосы «окна» Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 138
Периодограммный метод оценки СПМ Последовательность операций: 1. Реализация процесса длиной L отсчетов разбивается на M сегментов размером N отсчетов каждый 2. Вычисляется БПФ от каждого сегмента 3. Усредняется оценка СПМ Для снижения потерь из-за взвешивания функцией «окна» применяется перекрытие сегментов на ½ или ¼. Увеличение длины сегмента соответствует улучшению разрешающей способности и снижению достоверности (возрастанию ошибки), и наоборот. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 139
Коррелограммный метод оценки СПМ Основан на дискретном аналоге теоремы Винера-Хинчина. Последовательность операций: 1. Вычислить АКФ реализации процесса в диапазоне [0, N-1] дискретных задержек: 2. Вычислить ДПФ размерности N от АКФ c использованием «окна» : Увеличение диапазона задержек АКФ соответствует улучшению разрешающей способности, и снижению достоверности (возрастанию ошибки), и наоборот. Рекомендуется: начинать оценку СПМ с высокой достоверности, продвигаясь в направлении более высокого разрешения по частоте. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 140
Параметрические методы спектрального оценивания Основные недостатки классических методов: • низкое разрешение, ограниченное длительностью сигнала; • маскировка слабых сигналов боковыми лепестками «окон» . Возможность устранения этих недостатков – в использовании априорной информации об оцениваемом процессе. Задача оценки СПМ сводится к оценке небольшого числа параметров модели. Источник «белого» шума Линейная система (фильтр) порядка P Оцениваемые параметры: • Коэффициенты фильтра; • Мощность шума. + Оцениваемый процесс Источник «белого» шума Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 141
Параметрические методы спектрального оценивания Модели авторегрессии (АР) и скользящего среднего (СС): b 0 Z-1 + + b 1 a 1 Z-1 Z-1 bq ap СС: Z-1 АР: АР СС АРСС Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 142
Параметрические методы спектрального оценивания Связь параметров АР – модели и значений АКФ процесса Записываем эти уравнения для в матричной форме: Нормальное уравнение Юла-Уолкера для АР – процесса Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 143
Параметрические методы спектрального оценивания Методика построения оценки СПМ для АР- процесса: • Рассчитываются значения АКФ : ; • Решается уравнение Юла-Уолкера относительно параметров АР- модели и спектральной плотности • Вычисляется оценка СПМ: Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 144 ;
Параметрические методы спектрального оценивания Взаимосвязь классических и параметрических методов оценки СПМ. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 145
Параметрические методы спектрального оценивания Преимущества параметрических методов: • высокое разрешение, что соответствует «длинной» АКФ; • отсутствие боковых лепестков весовой функции «окна» . Недостатки параметрических методов: • неопределен выбор порядка модели; • зависимость разрешения от отношения сигнал/шум Формула Марпла ; • возможная потеря устойчивости. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 146
Параметрические методы спектрального оценивания Сводная таблица Общие свойства методов оценки параметрических Недостатки Условия несингулярности Преимущества СПМ Ковариаци. Модифиц. Ковариационн Модифиц. Юла. Метод Берга Ковариаци. Модифиц. Юлаонный ковариац. Метод Берга Ковариаци- Характеристики Модифици. Уолкера Юла. Метод Берга онный ковариац. Уолкера онный рованный Уолкера Не использует Использует Расположение Может Работает Берга ковариаци- взвешивание Высокое Разрешение Высокое Для длинных взвешивание Общие свойства взвешивание пиков сильно приводить к относительно разрешение онный данных неустойчивым плохо для Преимуществаблоков для короткой данных функцией моделям коротких Порядок должен Порядок блока данных длины блока «окна» блоков Модифицированныйпри коротких должен быть такое же, как у Недостаткиразрешение быть меньше, блоках данных либо равен меньше, либо других ковариационный Минимальная Подвержен Смещение Расположение Смещение Минимальная половине равен 2/3 методов расщеплению частот оценок пиков слегка СКО Условия. СКОкадра частот оценок СКО размера кадра Юла-Уолкера Работоспособен размера несингулярности Всегда Работоспосо- предсказания Всегда в спектральных синусоид в зависит от синусоид предсказания данных устойчивые для P чистых бен для P устойчивые линий при и шуме начальных шуме «вперед» и «вперед» модели гармоник в чистых модели высоком порядке фаз «назад» с «назад» . шуме гармоник в модели ограничением шуме алгоритма Смещение частот Наименьшее Дурбина. Не подвержен оценок синусоид смещение Левинсона расщеплению в шуме частот оценок спектральных синусоид в линий шуме разрешение для выше, чем у данных зависит от Ковариационный неустойчивым короткой «окна» Юла-Уолкера функциейдлины функцией начальных фаз моделям Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 147
Скачать презентацию Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Научно-исследовательская лаборатория
636370.ppt