Скачать презентацию Нормальные делители группы Определение Подгруппа Н группы G Скачать презентацию Нормальные делители группы Определение Подгруппа Н группы G

3_Нормальные делители.ppt

  • Количество слайдов: 14

Нормальные делители группы Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальной подгруппой или нормальным делителем Нормальные делители группы Определение. Подгруппа Н группы G называется нормальной подгруппой или нормальным делителем группы G, если a G правые и левые смежные классы по этой подгруппе совпадают. Обозн. H G, если a G a. H = Ha, т. е. h 1 H h 2 H, ah 1=h 2 a

Т 1. В абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем. Дано: G – абелева Т 1. В абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем. Дано: G – абелева группа, H G Доказать: Н – нормальный делитель G. Доказательство: a G a. H = Ha, т. к. для ah=ha в абелевой группе h.

Т 2. В любой группе G единичная подгруппа и сама группа G являются нормальными Т 2. В любой группе G единичная подгруппа и сама группа G являются нормальными делителями. Доказательство. 1) E={e} G. a G a. E = ae = ea =Ea по определению нейтрального элемента E G. 2)G G a. G = G, Ga=G a. G = Ga G G. Если в группе нет нормальных делителей, отличных от E и G, то группа называется простой.

Теорема Лагранжа Т. Порядок подгруппы любой конечной группы является делителем порядка группы. Пусть G Теорема Лагранжа Т. Порядок подгруппы любой конечной группы является делителем порядка группы. Пусть G – группа и H G, |G|=n; |H|=k. Требуется доказать: . Доказательство: (1) G=H+a 1 H+a 2 H+…+as-1 H. Ранее было отмечено, что |H|=|a 1 H|=|a 2 H|=…=|as-1 H|, т. к. смежные классы не пересекаются, количество элементов в правой части (1) совпадает с количеством элементов в группе. Следовательно, n=k·s . Замечание. G=H+Ha 1+Ha 2+…+ H ar-1 |H|=|Ha 1|=|Ha 2|=…=|Har-1|=k n=k·r r=s Определение. Количество смежных классов по подгруппе Н называется индексом подгруппы и обозн. |G H|. Т. е. теорема Лагранжа может быть записана в виде: |G|=|Н|·|G H|.

Следствия из теоремы Лагранжа Сл-е 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка Следствия из теоремы Лагранжа Сл-е 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. Дано. |G|=n, a G |a|=k. Доказать: Доказательство. Возможны случаи: 1) Может ли порядок какого - либо элемента быть равен ? |а| , т. к. в противном случае все целочисленные степени элемента а были бы различными, а группа G была бы бесконечной. 2) а=е, |а| = 1 и. 3) |а| = k 1. |<а>| = |а| = k, a 0, a 1, …, ak-1 – различны и m Z, am {a 0, a 1, …, ak-1}. = {a 0, a 1, …, ak-1}, т. е. |<а>| = |а| = k. По теореме Лагранжа |G|=|<а>|·|G <а>| . n k

Сл-е 2. Группа G простого порядка не содержит подгрупп, отличных от Е и G Сл-е 2. Группа G простого порядка не содержит подгрупп, отличных от Е и G (от единичной и самой себя). Доказательство: |G|=р – простое число. По теореме Лагранжа |G|=|Н|·|G H| . 1) |Н| = 1 Н = Е. 2) |Н| = р Н = G. По следствию 1 в этом случае все элементы группы G могут иметь порядки 1 или р. Если |а| = 1, то а=е, если |а| = р, то <а> G. Т. к. |<а>| = p и |<а>| = |G|. Т. е. G = <а>. Таким образом, любая группа простого порядка циклическая.

Факторгруппа Пусть G – группа и H G (нормальный делитель), т. е. a G Факторгруппа Пусть G – группа и H G (нормальный делитель), т. е. a G a. H=Ha. Построим разложение группы G на смежные классы и обозначим множество этих классов G/H = {H, a 1 H, a 2 H, …}. a. H b. H=ab. H. Покажем, что это возможно: асс. H G асс. a. H b. H = a(Hb)H = a(b. H)H = (ab)(HH) = ab. H. H H=H и =Hk=H – проверяется непосредственно.

Покажем, что <G/H, > – группа 1) Операция выполнима по определению a. H b. Покажем, что – группа 1) Операция выполнима по определению a. H b. H=ab. H G/H. 2) Операция ассоциативна (a. H b. H)c. H = ab. H c. H =…= (ab)c. H. a. H(b. H c. H) =…= a(bc)H. Т. к. a, b, c G, то (ab)c=a(bc). 3) Единичный элемент: Н – единичный элемент G/H, т. к. a. H H = a. H. 4) Обратный элемент: a-1 H – обратный к a. H G/H – группа. Определение. G/H называется факторгруппой группы G по подгруппе Н. Hb b. H

Примеры: 1. G = <Z, +>; H = <{2 n}, +>. (1+i)H G/H = Примеры: 1. G = ; H = <{2 n}, +>. (1+i)H G/H = {H, 1+H} |G/H| = 2 (2+i)H 1+H = {2 n+1} H = {2 n}. H 2. G = , H = 1+i G (1+i)H = {k+ki|k R+} (2+i)H = {2 k+ki|k R+} В тригонометрической форме классы имели бы вид: z. H=r(cos +i sin )H={r k(cos +i sin )} Arg(z. H) = = const модуль (z. H) = r k, k R+. |G/H| = , элементами факторгруппы будут лучи, исходящие из начала системы координат. Произведению смежных классов a. H b. H=ab. H будет соответствовать луч, угол наклона которого к оси абсцисс 1+ 2, где 1 = Arg(a. H), 2 = Arg(b. H).

3. G=<C*, >, H = <z G, |z| =1, > |G/H| = . a. 3. G=, H = |G/H| = . a. H – все числа, лежащие на окружности, радиус которой равен |а|. a. H b. H – числа, лежащие на окружности, радиус которой равен произведению радиусов окружностей, соответствующих классам a. H и b. H.

Т 1. Любая факторгруппа абелевой группы абелева. Дано: G – абелева, H G Доказать: Т 1. Любая факторгруппа абелевой группы абелева. Дано: G – абелева, H G Доказать: G/H – абелева Доказательство: a. H b. H = ab. H, b. H a. H = ba. H. ab=ba, т. к. G – абелева, то ab. H = ba. H. Т 2. Любая факторгруппа циклической группы – циклическая. Дано: G – циклическая, H G Доказать: G/H – циклическая. Доказательство: Пусть b. H G/H, b G b = ak. Тогда b. H = ak. Hk = a a. . . a H H … H = a a. . . a (a. H) H H … H = a a. . . a (Ha) H H … H = (a. H)k. Следовательно, G/H=

Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 и G 2 называются гомоморфными, если Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 и G 2 называются гомоморфными, если существует отображение : G 1 G 2, сохраняющее операции, определенные в G 1 и G 2. Т. е. , для и имеем: a, b G 1, (a b) = (a) (b). Если – взаимно-однозначное отображение, то группы называются изоморфными.

Примеры. 1) G 1 = <Z, +>, G 2 = <{ 1}, > : Примеры. 1) G 1 = , G 2 = <{ 1}, > : G 1 G 2 так, что (2 n) = 1; (2 n+1) = -1. Проверим сохранение операции: (2 n+2 k) = (2(n+k)) = 1 (2 n) (2 k) = 1 1=1 ((2 n+1)+(2 k+1)) = (2(n+k+1)) = 1 (2 n+1) (2 k+1) = (-1) = 1 1=1 (2 n+(2 k+1)) = (2(n+k)+1) = -1 (2 n) (2 k+1) = 1 (-1) = -1 – гомоморфизм. -1 = -1

2)G 1 = <R*, >, G 2 = <R+, > : G 1 G 2)G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a R* (a)=a 2. не является взаимно-однозначным ( (-2) = (2)), (ab) = (ab)2 = a 2 b 2 = (a) (b) – гомоморфизм. 3) G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a G 1 (a)=lna. - взаимно-однозначное, это следует из свойств функции y = lnx (ab) = lna+lnb = (a)+ (b), – изоморфизм.