Нормальные алгоритмы Маркова LOGO Теория нормальных алгоритмов

Нормальные алгоритмы Маркова LOGO

Теория нормальных алгоритмов была разработана советским математиком Андреевичем Марковым в конце 1940 -х годов. При изучении разрешимости некоторых задач алгебры, он предложил новую модель вычислений, которую назвал нормальными алгорифмами. Андрей Андреевич Марков (младший) (22. 09. 190311. 10. 1979) – советский математик, сын известного русского математика А. А. Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики, автор понятия нормального алгоритма (1947 г. )

Нормальные алгорифмы Маркова (НАМ) — это строгая математическая форма записи алгоритмов обработки символьных строк, которую можно использовать для доказательства разрешимости или неразрешимости различных задач. Эти алгоритмы представляют собой некоторые правила по переработке слов в каком-либо алфавите. При этом исходные данные и результат работы алгоритма являются словами в этом алфавите.

Марков предположил, что любой алгоритм можно записать как НАМ. В отличие от машин Тьюринга НАМ — это "чистый” алгоритм, который не связан ни с каким "аппаратным обеспечением” (лентой, кареткой и т. п. ). НАМ преобразует одно слово (цепочку символов некоторого алфавита) в другое и задается алфавитом и системой подстановок.

Алфавитом будем называть любое непустое множество. Его элементы называются буквами, а любая последовательность букв – словами в данном алфавите Для удобства рассуждений допускается пустое слово, которые обозначим Слова будем обозначать буквами Р, Q, R и с индексами

Формулой подстановки называется запись вида α→β (читается «α заменить на β» ), где α и β – любые слова (возможно, и пустые). При этом α называется левой частью формулы, а β – правой частью. Сама подстановка (как действие) задается формулой подстановки и применяется к некоторому слову Р. Суть операции сводится к тому, что в слове Р отыскивается часть, совпадающая с левой частью этой формулы (т. е. с α), и она заменяется на правую часть формулы (т. е. на β). При этом остальные части слова Р (слева и справа от α) не меняются. Получившееся слово R называют результатом подстановки. Условно это можно изобразить так:

Правила выполнения НАМ Прежде всего, задается некоторое входное слово Р. Работа НАМ сводится к выполнению последовательности шагов. На каждом шаге входящие в НАМ формулы подстановки просматриваются сверху вниз и выбирается первая из формул, применимых к входному слову Р, т. е. самая верхняя из тех, левая часть которых входит в Р. Далее выполняется подстановка согласно найденной формуле. Получается новое слово Р′. На следующем шаге это слово Р′ берется за исходное и к нему применяется та же самая процедура, т. е. формулы снова просматриваются сверху вниз начиная с самой верхней и ищется первая формула, применимая к слову Р′, после чего выполняется соответствующая подстановка и получается новое слово Р′′. И так далее: Р → Р′′ → … Следует обратить особое внимание на тот факт, что на каждом шаге формулы в НАМ всегда просматриваются начиная с самой первой. Необходимые уточнения: 1. Если на очередном шаге была применена обычная формула (α→β), то работа НАМ продолжается. 2. Если же на очередном шаге была применена заключительная формула (α ו β), то после её применения работа НАМ прекращается. То слово, которое получилось в этот момент, и есть выходное слово, т. е. результат применения НАМ к входному слову.

Рассмотрим упорядоченную пару слов (Р, Q) Марковской подстановкой (Р, Q) называется следующая операция над словами: в заданном слове R находят первое вхождение слова Р и, не изменяя остальных частей слова R, заменяют в нем это вхождение словом Q

Замечание: 1) Полученное слово называется результатом применения марковской подстановки (Р, Q) к слову R 2) Если первого вхождения слова Р в слово R нет (и, следовательно, вообще нет ни одного вхождения Р в R), то считается что марковская подстановка (Р, Q) не применима к слову R

Частными случаями марковских подстановок являются подстановки с пустыми словами: ( , Q), (P, ), ( , )

Для обозначения марковской подстановки (Р, Q) используют запись Р Q Эту запись называют формулой подстановки (Р, Q) Различают простые подстановки Р Q и заключительные подстановки Р ו Q

Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 21 3 Результат подстановки: 5343

Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 21 ו Результат подстановки: 5421

Пример Данное слово: 521421 Подстановка: 25 7 Результат подстановки: Не применима

Создавать - лучше, чем уничтожать, а дарить - лучше, чем принимать