Норма вектора Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение Например, вектор с координатами (1, -2, 2) норма этого вектора равна Вектор единичной длины (||x|| = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор (x ≠ 0) можно нормировать, разделив его на длину, т. е. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Здесь e = x/||x|| — нормированный вектор. Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина определяет квадрат длины вектора x.
Скалярное произведение Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов. Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними = , где -- угол между векторами a и b. Замечание. Если один из векторов нулевой, то угол не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю. Скалярное произведение обозначается , или Скалярное произведение вектора на себя, aa, обозначается .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами: Теорема. Для любых векторов a и b выполнены следующие соотношения: 1) , свойство коммутативности; 2) (aа, b) = a(а, b), (a — скаляр) 3) (a, b + c)= (a, b) + (а, с), , свойство дистрибутивности; 4) 5) 6) (a, a) > 0 при и (а, а) = 0, если а = 0; 7) 8) Если 9) 10) -- угол между векторами a и b, то , если тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.
Длина вектора а равна. Если (а, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ^ b. Если а = (a 1 , a 2, a 3 ) и b = (b 1 , b 2 , b 3 ), то (а, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие "С. п. " обобщают на n-мерные векторные пространства, где равенство (а, b) = принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство, в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы , называют гильбертовым пространством. Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике.
Задача. Даны вершины треугольника: Решение. Ответ: . Найдите длину стороны и
Евклидовы пространства Определение 1. Линейное пространство операция, ставящая в соответствие паре векторов произведением векторов , и обозначаемое 1. 2. 3. 4. 5. называется евклидовым, если в этом пространстве определена и вещественное число, называемое скалярным ; при этом операция подчиняется аксиомам: (x, y) = (y , x) ; (x + y, z) = ((x, z) + (y, z)); (α x, y) = (x, α y) =α (x , y) ; (x, x ) >0 для всех x≠ 0 ; (x, x) = 0 , если x = 0. Из аксиом 1 и 2 вытекает свойство линейности скалярного произведения и по второму вектору: 2'. для Определение 2. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нём задана положительно определённая квадратичная форма. В произвольном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определённых квадратичных форм. Во втором определении слово “задана” означает, что одна из квадратичных форм выделена и играет особую роль (играет роль выбора масштаба измерения). Будем называть эту выделенную положительно определенную квадратичную форму основной квадратичной формой. Любое подпространство E’ - также является евклидовым пространством, так как для его элементов определено то же самое скалярное умножение.
Примеры евклидовых пространств. Пример 1. Геометрические векторы на плоскости E 2 и в пространстве E 3 с заданным скалярным произведением Образуют, соответствующие евклидовы пространства. П 2. В арифметическом пространстве Rn мы можем ввести для элементов Число Используя свойства умножения матриц легко можно проверить выполнение всех аксиом из определения. Иначе можно сказать, что в качестве основной квадратичной формы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (состоящем из столбцов единичной матрицы порядка n ) имеет канонический вид. Пример 3. В пространстве функций, непрерывных на отрезке [a, b], можно ввести скалярное произведение по формуле Аксиомы 1 -5 вытекают из известных свойств определённых интегралов.
Определение. Длиной вектора x в евклидовом пространстве E мы будем называть величину В арифметическом пространстве Rn длина элемента ξ определена как В пространстве функций, непрерывных на отрезке [a, b], длина элемента f (t) равна Чтобы избежать выражения “длина функции” отрезке [a, b]. часто называют нормой функции f (t) на
Пример 4 Пространство здесь векторы рассматриваются как столбцы, а означает транспонирование. Легко проверить выполнимость аксиом 1 - 4. Однако определение скалярного произведения последней формулой вовсе не является единственно допустимым; формально скалярное произведение можно ввести и другим способом. Рассмотрим (пока произвольную) вещественную квадратную матрицу А порядка n : (Здесь векторы и из снова рассматриваются как столбцы. ) Если матрица A является положительно определенной, то все аксиомы скалярного произведения будут удовлетворены. Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0, справедливо (A*X)*XT > 0. Если A — это квадратная матрица , а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида XT Ay называется билинейной формой , определяемой матрицей A. При x = y выражение XT Ax называется квадратичной формой.
Пример 5. Линейное пространство квадратных матриц порядка n с вещественными элементами. Скалярное произведение введем формулой Здесь означает след матрицы, т. е. сумму элементов ее главной диагонали. На основании аксиом скалярного произведения, его вычисление для произвольных векторов Х и Y может быть сведено к вычислению скалярных произведений векторов произвольного базиса. В самом деле, если система составляет базис пространства , то, разложив оба вектора по этому базису получаем:
Итак, при изменении векторов X и Y в последней формуле изменятся лишь строка и столбец координат, а промежуточная матрица останется неизменной. Задание этой матрицы, следовательно, полностью определит скалярное произведение в. Фактически задание скалярного произведения в разобранном выше примере пространства по формуле можно рассматривать именно как частный случай этого при подходящем подборе базисных векторов. Согласно рассуждениям из примера , матрица должна обладать некоторыми принципиальными свойствами. Так оно и окажется.
Матрицей Грама системы векторов Называется квадратная матрица Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов С помощью матрицы Грама формула скалярного произведения записывается в виде
Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. . Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т. е. Обозначение – векторы Определение. Тройка векторов другу, т. е. , . Определение. Тройка векторов и ортогональны. называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной. Три вектора называются некомпланарными, если концы равных им векторов, отложенных от одной точки, не лежат в одной плоскости с их общим началом. Векторы являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. являются некомпланарными, если их смешанное произведение не равно нулю. Смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов. Найдём смешанное произведение векторов. Следовательно, векторы некомпланарные.
Ортогональной проекцией вектора на ось, задаваемую вектором, называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. : Ортогональную проекцию вектора на ось, задаваемую вектором будем обозначать. Ортогональную проекцию вектора на прямую будем обозначать. Ортогональную проекцию вектора на плоскость будем обозначать. — ортогональная составляющая вектора относительно вектора ; — ортогональная составляющая вектора относительно прямой ; — ортогональная составляющая вектора относительно плоскости; На рис. 1. 23 изображены ортогональные проекции вектора
Изображены ортогональные проекции вектора — на прямую (или на ось задаваемую вектором : ) вдоль прямой — на прямую ( или на ось задаваемую вектором ) вдоль плоскости — на плоскость вдоль прямой (рис. 1. 23, в). На рис. 1. 23 изображены ортогональные составляющие вектора — относительно оси (вектора — относительно плоскости ): (рис. 1. 23, а); (рис. 1. 23, в). (рис. 1. 23, а); (рис. 1. 23, б);
Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс Грама ― Шмидта, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор bi линейно выражается через то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ― верхнетреугольная матрица. Алгоритм ортогонализации Грама - Шмидта Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе a 1, a 2, . . . , ak строится ортогональная система b 1, b 2, . . . , bk такая, что каждый вектор bi линейно выражается через a 1, a 2, . . . , ai, то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ― верхнетреугольная матрица. Этот процесс применим также и к счётной системе векторов. Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.
Классический процесс Грама — Шмидта Алгоритм Пусть имеются линейно независимые векторы Определим оператор проекции следующим образом: где b. — скалярное произведение векторов a и b. Этот оператор проецирует вектор а ортогонально на вектор Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом: На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор: (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).
Результаты процесса Грама — Шмидта: — система ортогональных векторов либо — система ортонормированных векторов. Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а — ортонормализации Грама — Шмидта.
Геометрическая интерпретация — вариант 1 Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1: 1 — получение проекции вектора на. 2 — вычисление то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на. Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор. 3 — перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (2). На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору так как является перпендикуляром, по которому проецируется на
Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте: Её геометрическое представление изображено на рис. 2: 1 — получение проекции вектора на 2 — получение проекции вектора на 3 — вычисление суммы то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом; 4 — вычисление то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на плоскость, образуемую векторами и Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор
5 — перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6). На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость, формируемую векторами Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть — это перпендикуляр от конца к гиперплоскости, формируемой векторами Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.
Геометрическая интерпретация — вариант 2 Рассмотрим проекции некоторого вектора и (рис. 3) на вектора и как компоненты вектора в направлениях
Если удалить из компоненту в направлении то станет ортогонален (рис. 4):
Если из (рис. 5): удалить компоненты в направлениях и то станет ортогонален и , и В формуле (2) из вектора удаляется компонента в направлении вектора. Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору. В формуле (3) из вектора удаляются компоненты в направлениях и (формуле 3 соответствует переход от рис. 3 к рис. 5; рис. 4 не соответствует формуле 3). Получаемый вектор ортогонален векторам и В формуле (4) из вектора удаляются компоненты в направлениях Получаемый вектор ортогонален векторам Таким образом, по формулам (1) — (4) на основе векторов получается набор ортогональных векторов. Численная неустойчивость При вычислении на ЭВМ по формулам (1) — (5) вектора часто не точно ортогональны из-за ошибок округления. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама — Шмидта называют численно неустойчивым.
Модифицированный процесс Грама — Шмидта Процесс Грама — Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Вместо вычисления как этот вектор вычисляется следующим образом:
Геометрическая интерпретация Рассмотрим получение по формулам (8) — (11): Геометрически это показано на рис 6: На рис. 6 вектор обозначен как 1 — получение проекции вектора на для формулы (12), то есть компоненты в направлении. . 2 — вычитание по формуле (12), то есть удаление из компоненты в направлении Получаемый вектор ортогонален так как не имеет компоненты в направлении 3 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (12). 4 — получение проекции вектора на для формулы (13), то есть компоненты в направлении 5 — вычитание по формуле (13), то есть удаление из компоненты в направлении Получаемый вектор ортогонален так как не имеет компоненты в направлении При вычитании из компоненты в направлении в результирующем векторе не появляется компонента в направлении 6 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (13).
Особые случаи Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов. Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j, если является линейной комбинацией векторов Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые вектора и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т. е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов). Реализация для пакета Mathematica Данный скрипт, предназначенный для пакета Mathematica, проводит процесс ортогонализации Грама ― Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках предпоследней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы , , . Projection[v 1_, v 2_] : = (v 1. v 2*v 2)/v 2. v 2 Multiple. Projection[v 1_, vecs_] : = Plus @@ (Projection[v 1, #1] &) /@ vecs Gram. Schmidt[mat_] : = Fold[Join[#1, {#2 - Multiple. Projection[#2, #1]}] &, {}, mat] Gram. Schmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0. 5, -1, 1}}]
Пример. Ортогонализовать систему векторов. Решение. Имеем: Ответ.
Скачать презентацию Норма вектора Для обозначения длины называемой также нормой
Алгебра .ppt