НОД элементов кольца главных идеалов Определение Элемент d

НОД элементов кольца главных идеалов Определение. Элемент d K называется НОД элементов а и b K, если: 1) 2) любой общий делитель а и b является делителем d.

Т. Для любых элементов a и b кольца главных идеалов К сущест-вует их наибольший общий делитель НОД(a, b) = d, который представим в виде: d = a u+b v, u, v K. Доказательство. Построим идеал = (a, b)={a u+b v / u, v K}. a, b (u=0, v=1 или u=1, v=0). Т. к. все идеалы в К – главные, то d K, такой, что = (d). Покажем, что d = НОД(a, b). a (d), b (d), т. е. a = a 1 d; b = b 1 d. Значит, d – общий делитель. (d) = d d = a u+b v. Пусть d – произвольный общий делитель элементов a и b. Тогда d = a u + b v d d Следовательно, d = НОД(a, b) и d = a u+b v.

Факториальность кольца главных идеалов Определение. Кольцо К называется факториальным, если 1. К – область целостности; 2. любой отличный от делителя единицы элемент К представим в виде произведения неразложимых множителей. Пример. : 1). Z – область целостности; 2). a Z, a 1 Лемма 1. Если то Доказательство. Пусть х (a) х = at = (bs)t = b(st) (b). ч. и т. д.

Лемма 2. В кольце главных идеалов цепочка элементов а 1, а 2, …аm, …, (1) в которой каждый следующий является нетривиальным делителем предыдущего, конечна. Доказательство. По лемме 1: т. к. (2) Рассмотрим Покажем, что I – идеал кольца К. Для этого требуется проверить условия: 1. a, b I, a – b I; 2. a I, t K, at I.

1. Пусть a, b I. Тогда номера i 1 и i 2 такие, что Если i 2>i 1, то и Аналогично, если i 1>i 2. 2. Пусть a I. Тогда a (ai) и t K, по определению идеала, at (ai) at I. 1, 2 I – идеал кольца К. Т. к. К – кольцо главных идеалов, то I – главный идеал и d K, такой, что I = (d). d (d) d I номер s такой, что d (аs). Покажем, что I = (аs), т. е. и аs – последний элемент в цепочке (1). 1) d (аs) d = аs u (d) (аs); 2) аs (аs) аs I аs (d) и аs = d v (аs) (d); это возможно, если u, v – делители единицы, тогда (d) = (аs). Т. к. I = (d), то I = (аs) аs – неразложимый элемент, не имеет собственных делителей, т. е. цепочка закончится на элементе аs.

Пример. • 60, 30, 10, 5; • 60, 30, 15, 5; • 60, 20, 10, 2 и т. д.

Т. Любое кольцо главных идеалов является факториальным. Доказательство: 1. К – область целостности по определению кольца главных идеалов. 2. Пусть а – разложимый элемент кольца К, тогда а= а 1 а 2. а 1 и а 2 неразложимы а 2 разложим, то а 2= а 3 а 4, а = а 1 а 3 а 4. по лемме 2 такая цепочка конечна. Обратное утверждение неверно, т. е. существуют факториальные кольца не являющиеся кольцами главных идеалов.

Т. Если К – факториальное кольцо, то кольцо К[x] также факториальное. (без доказательства) Ранее было доказано, что кольцо Z – кольцо главных идеалов, а Z[x] не является кольцом главных идеалов. С другой стороны Z – факториальное кольцо и, согласно теореме, Z[x] – факториальное кольцо. Таким образом, Z[x] – факториальное, но не является кольцом главных идеалов. А значит справедливо соотношение: {Кольца главных идеалов} {Факториальные кольца}.

Евклидовы кольца Определение. Кольцо K называется Евклидовым, если: 1. К – область целостности; 2. а К, а ơ ставится в соответствие целое неотрицательное число N(a), называемое нормой элемента a; 3. в К выполняется теорема о делении с остатком, т. е. a, b К, b ơ, ! q, r К, a = bq+r, N(r): 1) Z – область целостности; 2) а Z, N(a)= а ; 3) a = bq+r, r < а. 2. : 1) P[x] – область целостности; 2) f(x) P[x], N(f(x)) = n – степень многочлена; 3) f(x) = g(x)q(x)+r(x), N(r(x))

3. , Z[i] = {a+bi / a, b Z } – числа Гаусса: 1) Z[i] – область целостности; 2) N(a+bi)=a 2+b 2; 3) покажем, что в этом кольце выполняется теорема о делении с остатком. = a+bi; = c+di. Обозначим Заменим частное k+ti числом k 0+t 0 i Z[i] так, чтобы k 0 и t 0 были ближайшими целыми числами к k и t. Пусть k 0+t 0 i = .

Имеем: Обозначим, – = , тогда = + и N( – ) = N( ) < N( ). Z[i], т. к. , , Z[i]. Таким образом, Z[i] – Евклидово кольцо.

Поделим в этом кольце = 7+3 i на = 1+3 i: = 2 -2 i; = – = 7+3 i – (1+3 i)(2 -2 i) = – 1–i. N( ) = N(– 1–i) = 2. N( ) = N(1+3 i) = 10. N( ) < N( ).

Т. Любое Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов Доказательство. Пусть К – Евклидово кольцо. – идеал К. 1) Если = {ơ} – нулевой, то = (ơ) – главный. 2) Пусть {ơ}, тогда а К, а ơ, что а . Т. к. N(а) – целое неотрицательное число, то среди этих чисел всегда можно выбрать наименьшее. Обозначим: а 0 – элемент, имеющий наименьшую норму. N(а 0) = min{N(аi) / аi }. Покажем, что (а 0)=. а) с (а 0) с = а 0 t, t К, но т. к. а 0 , то с = а 0 t (а 0) .

Т. Любое Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов б) с применим к элементам с и а 0 теорему о делении с остатком: с = а 0 q + r, N(r) < N(а 0). r = с – а 0 q r . Т. к. N(r) < N(а 0) и N(а 0) = min{N(аi) / аi }, то это возможно лишь при r = 0, т. е. с = а 0 q (а 0). а), б) (а 0) =. Обратное утверждение не является верным. Например, кольцо главных идеалов не является Евклидовым. Т. о. , получаем цепочку включений:

Пример: = 11+29 i, = 12+2 i, k 0 = 1; t 0 = 2 q 0 = 1+2 i. = q 0+r 1, r 1 = – q 0 = 11+29 i – (12+2 i)(1+2 i) = 3+3 i, N(r 1) = 18 < N( ) = 148, k 1 = 2; t 1 = – 2 q 1 = 2 – 2 i. = r 1 q 1 +r 2, r 2 = – r 1 q 1 = 12+2 i – (3+3 i)(2– 2 i) =2 i, N(r 2) = 4 < N(r 1) = 18,

= 11+29 i, = 12+2 i k 2 = 1; t 2 = – 1 q 2 = 1 – i. r 3 = r 1 – r 2 q 2 = 3+3 i – (2 i)(1–i) =1+i, N(r 3) = 2 < N(r 2) = 4, r 2 = r 3 q 3; q 3 = 1+i Z[i] НОД( , ) = 1+i.