Нобелевская премия по экономике 2012 Теория устойчивого распределения (размещения) и практика моделирования некоммерческих рынков Alvin Roth, Lloyd Shapley
Задачи размещения решаются как задачи максимизации прибыли или минимизации затрат • Наём работников - задача о назначениях • Строительство торговых центров – задача о p-медиане • Загрузка транспортных средств – задача о ранце, задача оптимальной упаковки • Нахождение экономного маршрута – задача коммивояжера • и т. д. Однако, некоторые задачи распределения имеют некоммерческую природу - Романтические знакомства и браки - Поступление учеников в учебные заведения (школы, Вузы) - Трансплантация органов
Задача об устойчивых браках (Gale, Shapley, 1962) Пусть есть две группы агентов (мужчины и женщины). Каждый агент хочет найти себе пару из другой группы. Для каждого агента задается строгий список предпочтения (список агентов в порядке убывания, с кем бы хотел образовать пару больше, чем оставаться один). Список агентов противоположной группы может быть неполным. Matching (Сопоставление, парасочетание) – двудольный граф, заданный на множестве агентов. Каждая вершина имеет степень 0 или 1 (разрешены только моногамные и гетеро- связи). Можно быть ни с кем не связанным.
Пример 1. Мужчины: Коля, Петя, Вася, Миша Женщины: Ира, Аня, Яна, Ева Списки предпочтений: Коля – (Ира, Аня, Яна) Петя – (Яна, Ева) Вася – (Яна, Ира) Миша – (Аня, Ева, Яна) Ира – (Вася, Коля) Аня – (Коля, Петя, Миша) Яна – (Коля, Миша, Петя, Вася) Ева – (Петя, Миша) (m(i), w(j)) называется блокирующей парой, если оба агента предпочитают данный союз своим текущим связям. Пример: рассмотрим паросочетание Коля-Яна, Миша-Аня, Петя-Ева, Вася-Ира. Пара Коля-Аня блокирующая. Коля бросает Яну, а Аня Мишу. Образовывается пара Коля-Аня. Оба улучшают свое положение.
Парасочетание называется устойчивым, если 1) Никто не связан с агентом, не входящим в свой список предпочтений 2) Множество связей не содержит блокирующих пар Было доказано, что для любого набора списков предпочтения существует устойчивое паросочетание.
Deffered acceptance algorithm Алгоритм Гейла-Шепли (гарантированно находит устойчивое парасочетание) 1) Каждый мужчина делает предложение женщине, стоящей во главе своего списка. 2) Если женщине было сделано одно предложение, она соглашается, если этот мужчина есть в ее списке (возможно соглашается временно, т. е. говорит “может быть”). Если женщине было сделано несколько предложений, то она выбирает наиболее предпочтительного мужчину (“может быть”), остальных отвергает (“нет”) 3) В следующем туре: отвергнутые мужчины вычеркивают отвергнувших их женщин из своего списка и делают предложение следующей кандидатуре. Мужчины, помолвленные в предыдущем туре, делают предложение той же женщине. Женщины, получившие несколько предложений вновь выбирают наилучшее и отвергают остальные. 4) И т. д. до тех пор, пока все мужчины либо не будут иметь стабильные помолвки, либо не дойдут до конца списка.
1 -й тур Коля (И, А, Я) Ира (В, К) Петя (Я, Е) Аня (К, П, М) Вася (Я, И) Яна (К, М, П, В) Миша (А, Е, Я) Ева (П, М) Ира принимает Колю, Аня принимает Мишу, Яна принимает Петю и отвергает Васю. Вася вычеркивает Яну из списка
2 -й тур Коля (И, А, Я) Ира (В, К) Петя (Я, Е) Аня (К, П, М) Вася (Я, И) Яна (К, М, П, В) Миша (А, Е, Я) Ева (П, М) Делается три повторных предложения из предыдущего тура. В делает предложение И, Она соглашается, и отвергает К. Коля вычеркивает Иру из списка
3 -й тур Коля (И, А, Я) Ира (В, К) Петя (Я, Е) Аня (К, П, М) Вася (Я, И) Яна (К, М, П, В) Миша (А, Е, Я) Ева (П, М) Делается три повторных предложения из предыдущего тура. К делает предложение А, Она соглашается, и отвергает М. Миша вычеркивает Аню из списка
4 -й тур Коля (И, А, Я) Ира (В, К) Петя (Я, Е) Аня (К, П, М) Вася (Я, И) Яна (К, М, П, В) Миша (А, Е, Я) Ева (П, М) Делается три повторных предложения из предыдущего тура. М делает предложение Е, она соглашается. В результате достигнуты устойчивые связи
Результат работы алгоритма – паросочетание Коля (И, А, Я) - Аня (К, П, М) Петя (Я, Е) - Яна (К, М, П, В) Вася (Я, И) - Ира (В, К) Миша (А, Е, Я) - Ева (П, М) Нет блокирующих пар
Теоремы о паросочетаниях Т 1. Порядок предложений не влияет на нахождение стабильного паросочетания. Т 2. Построенное паросочетание из всех возможных стабильных паросочетаний является наилучшим для каждого мужчины и наихудшим для каждой женщины (т. е. доминирует по Парето для мужчин и доминируется по Парето для женщин). Описанный алгоритм и полученное в результате его применения паросочетание называется Man-optimal (Мужской) Т 3. Во всех стабильных паросочетаниях множество одиноких агентов не меняется.
Иллюстрация теоремы 2. Для списка предпочтений примера 1 применим “Женский” алгоритм (т. е. женщины делают предложение первыми). В результате получим другое паросочетание Коля-Аня, Петя-Ева, Вася-Ира, Миша-Яна (тоже стабильное). Сравним набор рангов для Man-optimal и Woman-optimal алгоритмов. Man-optimal Коля -2 Ира -1 Петя -1 Аня -1 Вася -2 Яна -3 Миша -3 Ева -2 Woman-optimal Коля -3 Ира -1 Петя -2 Аня -1 Вася – 2 Яна -2 Миша -3 Ева -1
Может быть, в отдельных случаях выгодно обманывать остальных (т. е. заявлять список предпочтения, отличный от истинного? ) Ответ – Да, иногда выгодно. Обман может быть двух типов – перестановка кандидатов в списке предпочтения или вычеркивание из списка.
Предыдущий пример - списки предпочтений: Коля – (Ира, Аня, Яна) Петя – (Яна, Ева) Вася – (Яна, Ира) Миша – (Аня, Ева, Яна) Ира – (Вася, Коля) Аня – (Коля, Петя, Миша) Яна – (Коля, Миша, Петя, Вася) Ева – (Петя, Миша) Пусть реализуется мужской алгоритм, а Яна вычеркнула из своего списка Петю и Васю. Man-optimal, правда Коля -2 Ира -1 Петя -1 Аня -1 Вася -2 Яна -3 Миша -3 Ева -2 Man-optimal, Яна соврала Коля -3 Ира -1 Петя -2 Аня -1 Вася – 2 Яна -1 Миша -3 Ева -3 Яна, соврав, улучшила свое положение (при этом ухудшив положение Евы, Пети и Коли)
Пример 2. Обман путем перестановки кандидатов в списке. Списки предпочтений: Коля – (Ира, Аня, Яна, Ева) Петя – (Ева, Аня, Яна, Ира) Вася – (Ева, Яна, Ира, Аня) Миша – (Ира, Ева, Яна, Аня) Саша – (Ира, Аня, Ева) Ира – (Петя, Вася, Коля, Миша, Саша) Аня – (Вася, Коля, Петя, Миша, Саша) Яна – (Саша, Миша, Коля, Петя, Вася) Ева – (Коля, Миша, Саша, Петя, Вася) Пусть реализуется мужской алгоритм Рассмотрим два случая. Пусть в первом случае все подали правдивые списки предпочтения. Пусть во втором случае Ира соврала, переставила кандидатов в списке, и представила список (Петя, Вася, Миша, Саша, Коля), а все остальные представили правдивые списки
Ира улучшила свой выбор
Теоремы “о механизмах вранья” • Roth (1982). В общем случае не существует алгоритма нахождения устойчивого парасочетания, для которого правдивое составление списков является доминирующей стратегией. • Roth (1990). Если списки предпочтений строгие и на множестве предпочтений устойчивое паросочетание не единственно, то по крайней мере одному агенту выгодно соврать, при условии, что остальные будут правдивыми. • Roth (1982). Если реализуется “Man-optimal” алгоритм, то для мужчин говорить правду является доминирующей стратегией.
Вероятностные теоремы “о механизмах вранья” • Knuth (1990). Если у всех мужчин одинаковые списки предпочтения, то все (М и Ж) имеют по одному стабильному партнеру. Если списки сгенерированы как случайные равновероятные независимые перестановки, то почти у всех будет более одного стабильного партнера. • Roth (1999). Пусть мужчины составляют списки предпочтения, как случайные независимые перестановки максимум из k женщин. Пусть k фиксировано, n→∞. Тогда независимо от способа составления списков предпочтения женщин, доля женщин, имеющих более одного стабильного мужчину, стремится к нулю.
Статистические данные о “вранье” NRMP – National Residency Matching Program Если даже каким-то образом знать, что ты тот, кому выгодно соврать, то еще непонятно каким образом это сделать (как изменить свой список предпочтения, каких именно кандидатов вычеркнуть или переставить). Вывод: если не знать списки предпочтения остальных агентов и не проводить их анализ, то с вероятностно-статистической точки зрения врать либо бессмысленно, либо невыгодно.
Обобщение задачи двустороннего выбора Требование двудольности графа (гетеросексуальности) явлется принципиальным, иначе может не существовать устойчивого паросочетания Пример – расселение по комнатам. 4 человека надо поселить по 2 в комнату, учитывая их предпочтения. Коля (Петя, Вася, Миша) Петя (Вася, Коля, Миша) Вася (Коля, Петя, Миша) Миша (Коля, Петя, Вася) При расселении Коля-Петя, Вася-Миша возражают Петя и Вася При расселении Коля- Вася, Петя -Миша возражают Коля и Петя При расселении Коля –Миша, Петя-Вася возражают Коля и Вася. Нет устойчивого расселения
2) Требование моногамности не явлется принципиальным. Рассматриваются задачи, в которых одна из групп, может быть полигамной (студенты. ВУЗ ы). Каждый студент учится в одном ВУЗе, в каждом ВУЗе учится много студентов. Алгоритм Гейла –Шепли модифицируется, но принципиально не меняется.
Применение модифицированного алгоритма Гейла-Шепли • Набор учеников в школы и ВУЗы в Нью-Йорке, Бостоне, Будапеште, Сингапуре • Распределение выпускников мед. вузов в больницы И организации, и абитуриенты составляют списки предпочтения. Их централизованно обрабатывают организации (Clearinghouses) Clearinghouses подчинены национальной программе распределения абитуриентов – National Residence Matching Program (NRMP) Ранее реализовался Man-optimal алгоритм. Организации выступали в роли (полигамных) мужчин, абитуриенты – в роли женщин.
Возникли возражения, что алгоритм действует в интересах организаций, за счет интересов абитуриентов Стали внедряться алгоритмы, в большей степени учитывающие интересы абитуриентов Для школ раньше (до 2005 г. ) действовал “Бостонский алгоритм” – Принять как можно больше абитуриентов так, чтобы было удовлетворено их первое пожелание (из списка предпочтения), затем – второе и т. д. При таком алгоритме абитуриенты могут манипулировать списками предпочтения. Более слабым абитуриентам нужно высказывать не истинные, а “реалистичные” пожелания. Сейчас реализуется модифицированный Man-optimal алгоритм, где абитуриенты выступают в роли мужчин, но действуют дополнительные оговорки в пользу организаций. В ряде случаев реализуется классический Man-optimal алгоритм для абитуриентов.
Задачи одностороннего выбора и обмена Применяется в случае, когда одна из групп является неодушевленными предметами и им все равно, кто ими будет владеть Например, жители-дома, коллекционеры- картины, больные- трансплантаты Shapley and Scarf (1974) предложили housing market model. На рынке распределения и обмена нет денег Пусть имеется n человек и n домов. Каждый человек владеет одним домом. Он составляет строгий список предпочтения всех n домов, включая свой собственный. Каждый человек хочет выменять другой дом, стоящий как можно выше в списке предпочтения. Критерий стабильного распределения: никакое подмножество людей не может образовать блокирующую коалицию
Top Trading Cycles algorithm – ТТС Строим граф обмена домами. 1) 2) 3) Каждый агент указывает на агента, чей дом ему нравится больше всех. В построенном ориентированном графе обязательно есть цикл или петля. Производим обмен домами в найденном цикле (или петле) Удаляем из рассмотрения агентов и дома, которые участвовали в циклическом обмене, вычеркиваем их из списков оставшихся агентов и переходим к п. 1.
Пример: агенты 1, 2, 3, 4; дома A, B, C, D Списки предпочтений домов агентами:
Если у агентов нет прав на дом Дома без владельцев (комнаты общежития). n людей, n домов a) Random Serial Dictatorship (RSD) mechanism (широко распространен на практике для решения подобных задач) Агенты случайным образом упорядочиваются (равномерное распределение). Первый агент получает свой top choice house, второй агент получает свой top choice house среди оставшихся и т. д. b) Core from Random Endowments (CRE) mechanism Случайным образом приписываются дома агентам (из равновероятного распределения) и применяется алгоритм TTC. (Abdulkadiroğlu and Sönmez 1998): Для любой задачи распределения домов без прав агентов алгоритмы RSD и CRE порождают одну и ту же лотерею и следовательно, являются эквивалентными.
Если у одних агентов есть права на дом, а у других –нет YRMH-IGYT mechanism (you request my house, I get your turn) Агенты случайным образом упорядочиваются (равномерное распределение). Сначала на рынке только свободные дома. 1) Если есть владельцы домов, у которых свой дом стоит первым в списке, то такие владельцы и дома удаляются из рассмотрения 2) Первый человек в очереди называет свою лучшую альтернативу. Если этот дом доступный на рынке, то он мэтчится с этим домом Если у него был свой дом, но он выбрал другой, то его дом становится "свободным" Если этот дом занят, то агенты переупорядочиваются так, что владелец занятого дома становится вперед (и делает запрос) В результате образуется цикл, аналогичный алгоритму TTC.
Трансплантация органов (почек) National Organ Transplant Act (NOTA) of 1984 prohibits "any person to knowingly acquire, receive, or otherwise transfer any human organ for valuable consideration for use in human transplantation. . . « - Категорически запрещено торговать органами Источники донорских почек – 1) Изъятие у умерших (на операционном столе) 2) Пожертвование родных и близких Проблемы: Почек, полученных из п. 1 в несколько раз меньше, чем нуждающихся Почка, которую готовы пожертвовать родственники, может быть здоровой, однако не подходить больному по медицинским показателям (группа крови и др. )
Статистика в США (2005 год) • Прошло 9, 900 (от умерших) операций по трансплантации почек. • Более 60, 000 пациентов ожидают такую трансплантацию в (среднее время ожидания 3 года) • Более 4, 000 пациентов умирают в процессе ожидания • Более 1, 000 удаляются из листа ожидания, потому что становятся "слишком больны для пересадки" • Так же 6, 563 операций от живых доноров
Механизмы обмена 1) Практикуется циклический обмен почек, пожертвованных родными, (с использованием алгоритма TCC) 2) Roth, Sönmez and Ünver (2004) разработали модифицированный алгоритм обмена, аналогичный ТСС, использующий список ожидания. Донор может пожертвовать почку, если она подходит кому-либо из списка ожидания в обмен на то, что их родственник получает приоритет в списке “cadaver kidney queue”
Спасибо за внимание. Вопросы?
Скачать презентацию Нобелевская премия по экономике 2012 Теория устойчивого распределения
Нобелевская премия по экономике 2012.ppt