Нетранзитивность предпочтений в матрицах парных сравнений 1 Понятие

Нетранзитивность предпочтений в матрицах парных сравнений. 1. Понятие нетранзитивности предпочтений. 2. Оценка транзитивности предпочтений.

Оценка транзитивности предпочтений. Коэффициент совместности оценок: где d – число циклов в орграфе, определяемое относительно всех троек вершин графа доминирования; dmax – нормирующий показатель, максимальное количество циклов в орграфе.

Оценка транзитивности предпочтений. Число циклов в орграфе определяется по формуле: где n – количество элементов в множестве предъявления; aij – оценка предпочтения i-го элемента над j-ым элементом. Максимальное количество циклов в орграфе определяется по формуле: а) для нечетного количества элементов: б) для четного количества элементов:

Пример 1. Дана матрица парных предпочтений. Требуется найти коэффициент совместности оценок η и сделать вывод о транзитивности предпочтений. A B C D E F A 0 1 1 4 16 B 0 0 0 1 1 0 2 4 C 0 1 1 1 4 16 D 1 0 0 0 1 1 E 0 0 0 1 2 4 F 0 1 0 0 2 4

Число циклов в орграфе: Максимальное количество циклов: Коэффициент совместности оценок:

Условие непротиворечивости для метода парных сравнений где элементы матрицы парных сравнений, полученные в результате идеально согласованного эксперимента.

Показатели согласованности мнений эксперта 1. Индекс согласованности: где λmax максимальное собственное число матрицы парных сравнений n размер матрицы 2. Случайный индекс: Порядок матрицы Случайный индекс Isl 1 2 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0, 58 0, 9 1, 12 1, 24 1, 32 1, 41 1, 45 1, 49 согласованности отношение индекса согласованности к случайному индексу для матрицы того же порядка. 3. Отношение 10

Максимальное собственное число матрицы Способы определения максимального собственного числа матрицы: 1. Использование степенного метода. 2. Построение и решение характеристического уравнения. Пример 1: Дана следующая матрица парных сравнений с учетом интенсивности предпочтений. Требуется найти максимальное собственное число матрицы.

Решение: Вычтем по главной диагонали матрицы : Разложив определитель матрицы по элементам второй строки, получим характеристический многочлен: Приравняв характеристический многочлен к нулю, получим характеристическое уравнение:

Алгоритм нахождения максимального собственного числа матрицы 1. Находим первую производную характеристического уравнения: 2. Приравниваем производную к нулю и находим корни полученного уравнения: 3. Исследуем функцию на интервалах (- ; 0) (0; 2) (2; + ) с использованием MS Excel.

Нетранзитивность групповых предпочтений. Алгоритм действий: 1. Получение от экспертов индивидуальных матриц парных сравнений. 2. Оценка транзитивности индивидуальных оценок. 3. Совмещение индивидуальных оценок.

Пример 2. Три эксперта оценили 3 объекта с применением интенсивности предпочтений. Э 1 A B C A 1 3 6 Э 2 A B C 1 2 A 1 7 4 Э 3 A B C 1 B 1/7 1 1/2 A 1 5 6 C 1/4 2 1 B 1/5 1 1 C 1/6 1 1 B 1/3 C 1/6 1/2 max=3, 000 Is=0 max=3, 002 Is=0, 001 max=3, 004 Is=0, 002

Результирующая матрица парных сравнений A B C A 1 0, 212 0, 191 B 4, 718 1 1 C 5, 241 1 1 max=3, 002 Is=0, 001 Проверка матрицы на корректность: 1. Для всех пар {xi, xj} должно выполняться условие aij *aji = 1. 2. Значения по главной диагонали равны 1.

Пример 3. Три эксперта оценили 3 объекта с применением интенсивности предпочтений. Э 1 A B C A 1 3 6 Э 2 A B C 1 2 A 1 7 4 Э 3 A B C 1 B 1/7 1 1/2 A 1 1/5 6 C 1/4 2 1 B 5 1 1 C 1/6 1 1 B 1/3 C 1/6 1/2 max=3, 000 Is=0 max=3, 002 Is=0, 001 max=4, 429 Is=0, 715

Результирующая матрица парных сравнений A B C A 1 0, 620 0, 191 B 1, 613 1 1 C 5, 241 1 1 max=3, 157 Is=0, 079 Проверка матрицы на корректность: 1. Для всех пар {xi, xj} должно выполняться условие aij *aji = 1. 2. Значения по главной диагонали равны 1.