Нет ничего более практичного чем хорошая теория Л

"Нет ничего более практичного, чем хорошая теория". Л. Больцман ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

Раздел 2. Методологические основы оптимизации Тема 3 Классификация оптимизационных задач. Основные подходы к решению многокритериальных задач

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Вещественнозначная функция f(x) N–мерного векторного аргумента x = (x 1, x 2, … , xn ), компоненты которого удовлетворяют системе уравнений hk (x)=0 ; удовлетворяют набору неравенств gj (x)≥ 0 ; ограничены сверху и снизу xi (U) ≥ xi (L) , называется целевой функцией. hk (x)=0 — ограничения в виде равенств. gj (x)≥ 0 — ограничения в виде неравенств.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задача общего вида: при ограничениях минимизировать f(x) hk (x)=0, k=1, … , K, gj (x)≥ 0, j=1, …, J, xi (U) ≥ xi (L), i=1, … , N называется задачей с ограничениями или задачей условной оптимизации. Задача, в которой нет ограничений, т. е. J = K = 0, xi (U) = -x (L) = , i=1, … , N называется задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Типы задач оптимизации: с одной переменной; с линейными ограничениями; линейного программирования; целочисленного программирова- ния; нелинейного программирования с линейными ограничениями; квадратичного программирования; дробно-линейного программирования; нелинейного программирования.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи с одной переменной: f(x) min J = K = 0, x — одномерный вектор Простейший, но весьма важный подкласс оптимизационных задач.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи с линейными ограничениями: f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи условной оптимизации, в которых функции hk и gj являются линейными. Целевая функция f(x) может быть либо линейной, либо нелинейной.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи линейного программирования (задачи ЛП): f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи, которые содержат только линейные функции вектора непрерывных переменных x.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи целочисленного программирования: f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи, в которых компоненты вектора непрерывных переменных x принимают только целые значения.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи целочисленного программирования: Класс уравнений, в которых искомые переменные могут быть только целыми числами начал рассматривать греческий математик Диофант (II — III вв. н. э).

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи целочисленного программирования: n x n y n z + = Уравнение не имеет реше- Уравнение не имеет решения при целых положительных значениях, если n 2. Пьер Ферма 1601 — 1665

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи целочисленного программирования: n x + n y = n z Начало ХХ века Доказательство немецкий инженер теоремы Ферма П. Вольфскель 50 тысяч золотых марок

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи нелинейного программирования с линейными ограничениями: f(x) min hk (x)=0, k=1, … , K, gj (x)≥ 0, j=1, …, J, xi (U) ≥ xi (L), i=1, … , N Задачи, в которых целевая функция f(x) является нелинейной, а функции ограничений hk и gj являются линейными.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи квадратичного программирования: f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи, в которых целевая функция f(x) является квадратичной.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи дробно-линейного программирования: f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи, в которых целевая функция f(x) представляет собой отношение линейных функций.

Методологические основы оптимизации Классификация оптимизационных задач Задачи нелинейного программирования: f(x) hk (x)=0, gj (x)≥ 0, xi (U) ≥ xi (L), min k=1, … , K, j=1, …, J, i=1, … , N Задачи с нелинейной целевой функцией f(x) и с ограничениями hk и gj , которые оцениваются численными методами (имеют алгоритмический характер).

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Эффективность системы Свойство соответствовать своему назначению; характеризуется качеством компонентов системы и условиями её применения.

Методологические основы оптимизации Показатели эффективности системы Комплексные Интегральные Высшего уровня Единичные Простейшие Элементарные Включают в себя какие-либо показатели качества всех частей системы

Методологические основы оптимизации Показатели эффективности системы Комплексные Интегральные Высшего уровня Единичные Простейшие Элементарные Являются функциями показателей качества нескольких частей системы или нескольких показателей качества одной из частей системы

Методологические основы оптимизации Показатели эффективности системы Комплексные Интегральные Высшего уровня Единичные Простейшие Элементарные Функции одного показателя качества одного компонента системы

Методологические основы оптимизации Показатели эффективности системы Комплексные Интегральные Высшего уровня Единичные Простейшие Элементарные Функции одного или нескольких показателей условий функционирования системы

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Иерархия критериев при оптимизации параметров систем должна соответствовать иерархии показателей эффективности: высший уровень отводится комплексным показателям эффективности, а низший — простейшим её показателям.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач {Q} q 2(Х 0) Q(Х 0) — пространство критериев; — область определения критериев; qi = qi (x); (i=1, k) — значения критериев; Q ≤ Q(Х 0) q 1 Область критериев при минимизации

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач А — минимум целевой функции по критерию q 1 В — минимум целевой функции по критерию q 2 А * С q 2 min С — минимум по некото- В q q 1 рому k+1 критерию при минимизации целевой Множество Парето функции на множестве Парето (область компромисса) q 1 min

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Для поиска внутри q 2 А — минимум целевой А множества Парето: функции по критерию q 1 В — минимум целевой ранжирование * функции по критерию q 2 С критериев; q 2 min В синтез С — минимум по некото- глобальq 1 min рому k+1 критерию при ного критерия. минимизации целевой функции на множестве Парето q 1 Множество Парето (область компромисса)

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Ранжирование критериев Дает возможность ввести предпочтение внутри множества Парето. Проводится экспертным образом путем опроса специалистов и соответствующей обработкой их мнения (например, путем осреднения).

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Ранжирование критериев Оптимизация целевой функции начинается с критерия первого ранга, решение задачи принадлежит множеству Парето и образует подмножество S 1. Внутри S 1 целевая функция оптимизируется по второму критерию и т. д. Однако S 1 быстро вырождается в точку, что ограничивает поиск экстремума по следующему критерию. Тогда ограничиваются компромиссным решением, допустимо отличающимся от экстремального (используют метод уступок).

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Метод уступок По каждому из К-1 первых критериев (исключая последний) назначают допустимые уступки 1, . . . , К-1, которые определяют величину допустимого отклонения каждого критерия от минимального. Величины уступок определяются экспертным образом. Наличие уступок увеличивает возможность прийти к К-му критерию, имея область Парето, состоящую не только из одной точки. Если же и в этом случае область вырождается в точку, то производят коррекцию уступок и вновь повторяют расчет.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Метод уступок Применение метода ограничивается теми случаями, когда эксперты могут отвечать квалифицированно.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Синтез глобального критерия Глобальный скалярный критерий Q(X)= (q 1, . . . , q. К) строится как функция исходных критериев с минимумом, соответствующим решению многокритериальной задачи. Решение сводится к обычной минимизации: Q(X) min.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 1. Использование частных критериев делает задачу однокритериальной задачей, – многопараметрической и многоэкстремальной в общем случае. Частные критерии избавляют и от многокритериальной постановки задачи.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 2. Применение ЭВМ позволяет не ограничиваться только частными критериями, а решать многокритериальную задачу, назначая глобальный критерий, такой как, например, эффективность.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 3. От исследователя требуется выбрать или назначить показатель эффективности, а затем частные критерии объединить в глобальный критерий согласно соответствующей функциональной зависимости.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 4. Если оптимизация естественным образом может быть разделена на ряд «шагов» или «этапов» , а целевая функция выражается в виде суммы показателей, достигнутых на отдельных этапах, – для нахождения решения может быть применен метод динамического программирования.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 5. Если целевая функция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а ограничения являются функциями времени, можно применить метод Л. С. Понтрягина.

Методологические основы оптимизации Основные подходы к решению многокритериальных задач Комментарии 6. Когда зависимости между целевой функцией и параметрами системы достаточно сложны и многообразны, аналитические методы решения проектных задач применимы лишь в исключительных случаях. В общих случаях применяются численные методы (с использованием ЭВМ) нахождения экстремума целевой функции, а, следовательно, и методы нахождения оптимальных величин проектных параметров.