Несобственные интегралы 2 3 Несобственные интегралы с бесконечными

Несобственные интегралы

2

3 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на произвольном [a, b]  функция определена для произвольного t  a.

4 Определение. Несобственным интегралом Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. от функции f(x) на полуинтервале [a, + ) называется предел функции F(t) при t стремящимся к +:

5 При работе с несобственными интегралами выделяют следующие две задачи:

6 y y=f(x) 0 a t x

7 Пример. Вычислить Аналогично можно убедиться, что является сходящимся, если m > 1 является расходящимся, если m  1.

8 y y=1/xm (m<1) 1 y=1/x 0 1 x S=1/(m-1)

9 Определение сходимости интеграла аналогично. Введем понятие несобственного интеграла на (- , +). Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы сходятся. Тогда положим, что

10 При этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов в правой части расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

11 Пример. Вычислить Таким образом, рассмотренный интеграл – расходится. Исследуем на сходимость интегралы и

12 В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл Эйлера-Пуассона: т.е. площадь S под кривой Гаусса на интервале (-, +) равна 1.

13 y S = 1 0 x

14 Несобственные интегралы от неограниченных функций Определение. Если существует и конечен предел где  > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на [a, b). Пусть y = f(x) непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a, b).

Обозначается 15 В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) непрерывной, но ограниченной на (a, b]:

16 Пример. Вычислить Полубесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой и прямой х = 1, имеет конечную площадь S = 2 кв.ед.

17 y S = 2 1 0 1 x

18 Пример. Найти , где  > 0 - некоторое число; х = 0 – особая точка. Рассмотрим два случая для числа : а) при  =1  несобственный интеграл расходится;

19 б) при   1 т.е. интеграл расходится при   1 и сходится при 0 <  < 1.