Неравенства
Рациональное число Каждое рациональное число можно представить в виде дроби , где знаменатель n – натуральное число, а числитель k – целое число, т. е. n N, k Z. Если число k – положительное, то рациональное число называется положительным; если число k – отрицательное, то рациональное число называется отрицательным.
Сравнение чисел Определение. Пусть а и b – рациональные числа. Будем говорить, что а больше b (писать а > b), если разность а - b положительна, и что а меньше b (писать а < b), если разность а - b отрицательна. Если а – b = 0, то а = b.
Сравнение чисел Теорема 1. Для чисел а и b верно одно и только одно из трех соотношений: а > b, а < b, а = b. Теорема 2. Если а > b, то b < а, и наоборот, если а < b, то b > а. b а>b а а аа 18 > 1, 25, то 1, 25 < 18. -3 < -1, то -1 > -3.
Сравнение чисел Из двух чисел больше то, которое на координатной прямой изображается правее. -5 -4 -3 -5 < -3; -2 -1 1 > -3; 0 1 7 > -5; 2 3 4 -3 < 0; 5 6 -1 > -5. 7
Сравнение чисел • Любое положительное число больше нуля. 1 > 0; 0, 0001 > 0; 12, 4567 > 0. • Любое отрицательное число меньше нуля. -1565 < 0; -12 < 0; -0, 00055 < 0. • Любое отрицательное положительного. -18 < 25; -48 < 1; число меньше -6522 < 0, 0764. • Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. -987 > - 10000; -3 > -27, 08; -1, 67 < -0, 7.
Запись утверждений формулами Утверждение Формула а есть положительное число а>0 b есть отрицательное число b<0 m есть неположительное число m≤ 0 b есть неотрицательное число b≥ 0 n есть положительное число или нуль n≥ 0 m есть отрицательное число или нуль m≤ 0
Расположение точек Р(m) на координатной прямой ////////// -4 m > -4 //////// 5 m<5 ///////////////////// 2 m=2 2 m≠ 2 /////////////////// -2 2 |m| = 2 -2 2 |m | ≠ 2
Неравенства Если два выражения А и В соединить одним из знаков « < » или « > » , то полученную запись А < B или А > В называют неравенством. Выражение А называют левой частью неравенства, а выражение В – правой частью. Неравенства: -16 ∙ (3 + 8) < Левая часть неравенств 3 ∙ (3 + 8); Правая часть неравенств (17 – 2) ∙ 23 > 45 : (33 -17).
Неравенства А > В и С > D ( а также А < B и С < D) называют неравенствами одного знака, а неравенства А > В и С < D – неравенства разных знаков. а +1 < а +5 и -2 < 6 – неравенства одного знака; 3 < 5 и |х| > - |х| – неравенства разных знаков; Знаки неравенств « < » или « > » называют противоположными.
Числовые неравенства Неравенство называется числовым, когда каждая из его частей обозначает некоторое число. Числовое неравенство А < B называется верным, если его левая часть обозначает меньшее число, чем правая. Аналогично для А > В. 3 < 5 и -2 < 6 – верные числовые неравенства одного знака; 3<5 и 6>4 – верные числовые неравенства разных знаков; -7 +2 ∙ 5 < -9 и 24 > 32 – неверные числовые неравенства.