НЕРАВЕНСТВА ГЛАВА 5 При сравнении двух действительных

НЕРАВЕНСТВА ГЛАВА 5.

При сравнении двух действительных чисел Х и У возможны три случая: • Х=У (если Х – У = 0) • Х>У (если Х – У > 0) • Х<У (если Х – У < 0) Запись Х≥У (Х≤У) означает, что либо Х>У, либо Х=У и читается так: «Х больше или равно У» или «Х не меньше У» Запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком >, <, ≥ или≤ называется неравенством.

НЕРАВЕНСТВА МОГУТ БЫТЬ : v Строгими (неравенство составлено с помощью знаков > или < ) х>5 v Нестрогими (неравенство составлено с помощью знаков ≤ или ≥ ) х≤ 5 v Двойными (вместо двух неравенств х<а, а<у употребляется запись х

v Числовыми (неравенство содержит только числа) v Верными (если неравенство представляет собой истинное высказывание: 2<3) v Неверными ( если неравенство представляет собой ложное высказывание: -4>15) v Равносильными (если множества решений этих неравенств совпадают)

Свойство 1. Если a>b и b>c, то a>c. Доказательство.

Свойство 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства следует сохранить Если a>b, то a+c>b+c. Примеры: Если ab, то a-5>b-5

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить. Примеры: Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить. Если a>b, то 4 a>4 b Если a-9 b Если a>b, то -a<-b

Свойство 4. Если a>b и c>d, то a+c>b+d a>b Доказательство. (свойство 2) a+c>b+c c>d (Свойство 2) a+c>b+d (Свойство 1) c+b>d+b

Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и a>b, c>d, то ас >bd a>b и c>0 Доказательство (свойство 3) ac>bc c>d и b>0 (свойство 3) cb>db ac>bd (Свойство 1)

Свойство 6.