Скачать презентацию Неравенства 1 Числовые неравенства и их свойства Скачать презентацию Неравенства 1 Числовые неравенства и их свойства

Неравенства полная лекция.ppt

  • Количество слайдов: 30

Неравенства Неравенства

1. Числовые неравенства и их свойства ОПР. Если между числами установлено отношение «больше» или 1. Числовые неравенства и их свойства ОПР. Если между числами установлено отношение «больше» или «меньше» , то между этими числами задано неравенство. n ОПР. (Школьное) n

Свойства неравенств n 1. Транзитивность: Свойства неравенств n 1. Транзитивность:

Свойства неравенств Свойства неравенств

Свойства неравенств n Докажем неравенство методом математической индукции. n Докажем неравенство методом от противного. Свойства неравенств n Докажем неравенство методом математической индукции. n Докажем неравенство методом от противного.

2. Методы доказательства неравенств 1. Доказательство по определению n n n Алгоритм: 1) составить 2. Методы доказательства неравенств 1. Доказательство по определению n n n Алгоритм: 1) составить разность левой и правой частей неравенств; 2) выполнить возможные тождественные преобразования разности и сравнить ее с нулем; 3) на основе определения неравенства сделать вывод об истинности или ложности доказываемого неравенства.

Пример. n n Неравенство Коши для двух слагаемых Если , то Пример. n n Неравенство Коши для двух слагаемых Если , то

2. Синтетический метод n Суть метода состоит в том, что при доказательстве используются опорные 2. Синтетический метод n Суть метода состоит в том, что при доказательстве используются опорные неравенства (очевидные или доказанные ранее). n Недостаток метода состоит в том, что выбор опорных неравенств не подлежит никакой формализации.

Пример. n Если n В качестве опорного неравенства выберем неравенство Коши. , то Пример. n Если n В качестве опорного неравенства выберем неравенство Коши. , то

3. Аналитико-синтетический метод Метод содержит в себе два этапа: n 1) анализ – позволяющий 3. Аналитико-синтетический метод Метод содержит в себе два этапа: n 1) анализ – позволяющий определить опорные неравенства, исходя из предположения, что данное неравенство верно; n 2) синтез. n

Пример. n Если n 4. , то Доказательство методом от противного Пример. n Если n 4. , то Доказательство методом от противного

5. Доказательство с использованием метода математической индукции Доказать, что, если то n 5. Доказательство с использованием метода математической индукции Доказать, что, если то n

3. Тождественные неравенства n Неравенство называется тождественным, если оно выполняется при любых системах значений 3. Тождественные неравенства n Неравенство называется тождественным, если оно выполняется при любых системах значений из области допустимых значений.

n n Пример 1. Если то n Синтетический метод. Опорное неравенство: n Если n n Пример 1. Если то n Синтетический метод. Опорное неравенство: n Если

Тождественные неравенства n Пример 2. Если Тождественные неравенства n Пример 2. Если

Тождественные неравенства Пример 3. Если: Тождественные неравенства Пример 3. Если:

4. Рациональные неравенства n n n 1) Линейные неравенства. 2) Квадратные неравенства. 3) Метод 4. Рациональные неравенства n n n 1) Линейные неравенства. 2) Квадратные неравенства. 3) Метод интервалов.

1) Линейные неравенства n Линейные неравенства – неравенства вида: 1) Линейные неравенства n Линейные неравенства – неравенства вида:

Алгоритм решения: Алгоритм решения:

Квадратные неравенства Это неравенства вида: Квадратные неравенства Это неравенства вида:

Алгоритм решения квадратного неравенства 1. Решить уравнение: Алгоритм решения квадратного неравенства 1. Решить уравнение:

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Графическая интерпретация Графическая интерпретация

Метод интервалов Поэтому для решения рациональных неравенств второй и более степеней и дробно-рациональных неравенств Метод интервалов Поэтому для решения рациональных неравенств второй и более степеней и дробно-рациональных неравенств используют метод интервалов

Идея метода интервалов заключается в следующем: n n n 1) находим область определения функции, Идея метода интервалов заключается в следующем: n n n 1) находим область определения функции, стоящей в левой части неравенства; 2) на координатную ось наносим точки – корни многочлена Pn(x) и те точки, в которых функция не существует (если они есть). Этими точками координатная ось разбивается на интервалы. 3) На каждом из полученных интервалов определяем знаки функции и записываем ответ.