Непрерывные случайные величины Непрерывные случайные величины n

Непрерывные случайные величины

Непрерывные случайные величины n Непрерывной называют случайную величину, множество значений которой есть интервал числовой оси (бесконечное несчётное множество). n Примеры: ¨ Дальность полета артиллерийского снаряда; ¨ Наружный диаметр трубы; ¨ Рост человека; ¨ Масса муки, насыпанной в пакет автоматом.

Функция распределения СВ n Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х: n F(x) – интегральная функция распределения х

Свойства F(x) n Область значений F(x) - отрезок [0, 1]: n F(x) – неубывающая функция. Если множество значений СВ - интервал (а, b), то ¨ F(x) = 0 при х ≤ а ¨ F(x) = 1 при х ≥ b. Если множество значений СВ - вся числовая ось, то n n Вероятность того, что НСВ примет любое конкретное значение, равна нулю: Вероятность того, что НСВ примет значения из интервала (α, β), равна:

Графики функции распределения Для дискретной случайной величины Для непрерывной случайной величины

Виды случайных величин n По виду функции F(x) определяется и вид случайной величины: n Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. n Дискретной называют случайную величину с кусочнонепрерывной функцией распределения.

Плотность распределения вероятностей n Первая производная от функции распределения F(x) непрерывной случайной величины X называется плотностью распределения вероятностей и обозначается f(x): n f(x) – дифференциальная функция распределения Плотность распределения — это "скорость" изменения вероятности Р(Х < х). График плотности вероятности f(x) называется кривой распределения n n

Свойства f(x) n F(x) – первообразная или неопределенный интеграл для плотности f(x) n Вероятность того, что НСВ Х примет значение на интервале (α, β), определяется по формуле

Свойства f(x) n Плотность распределения является неотрицательной функцией: n Несобственный интеграл от плотности распределения по всей числовой оси равен единице: n Если множеством значений случайной величины Х является интервал (а, b), то

Задача n Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения на всей числовой оси n Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (-1, 1). Согласно свойству плотности: n

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание n Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находятся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл: n Если возможные значения случайной величины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны:

Дисперсия n Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: n Для НСВ Х, определенной на интервале (a, b): n Для вычисления дисперсии используют также формулу:

Среднее квадратическое отклонение n Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины равно арифметическому квадратному корню из дисперсии: .

Основные распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение n НСВ имеет равномерный закон распределения на промежутке (а, b), если ее плотность вероятности постоянна на этом промежутке и равна нулю вне его: Числа а и b - параметры равномерного распределения n Кривая распределения для равномерного закона n

Равномерное распределение n Функция распределения при равномерном законе задается равенством: n Математическое ожидание и дисперсия НСВ, распределенной по равномерному закону равны соответственно n Вероятность попадания значения Х в интервал (α, β)

Нормальное распределение n Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ2, если ее плотность вероятности имеет вид n Нормальный закон распределения с параметрами а и σ2 обозначается Основные числовые характеристики при нормальном законе распределения выражаются через его параметры: n

Нормальное распределение n Кривая распределения для нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса

Нормальное распределение n Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным, стандартным или гауссовым; его плотность равна функции Гаусса: n Функция распределения в случае стандартного нормального распределения совпадает с функцией Лапласа:

Нормальное распределение n Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал равна для гауссова распределения: n Вероятность отклонения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от ее среднего значения а на величину, не превышающую ε, равна

Правило трёх сигм n Используя табличные значения функции Лапласа, найдем вероятность n Эту особенность нормального распределения называют «правилом трех сигм» . n «Правило трех сигм» : Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале