Непрерывные функции и их свойства Лекция № 7

Непрерывные функции и их свойства Лекция № 7

Непрерывность функции Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т. е. 1. 1. Через односторонние пределы: 1. 2. На языке – 2

Определение 2 (на языке последовательностей). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функций {f(xn)} сходится к f(x 0). Если то функцию f(x) называют непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и справа и слева, то она непрерывна в этой точке. 3

Определение 3. Функция f(x) непрерывна в точке х0, если 4

Арифметические действия над непрерывными функциями Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f(x) g(x), f(x) g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (последняя при g(x) 0). Доказательство. Теорема следует из определения непрерывности функций. 5

Классификация точек разрыва функций Если существует , но функция в точке x 0 не определена, то разрыв функции в точке называется устранимым. Пример. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной. Точка х0 называется точкой разрыва 1 -го рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг к другу правый и левый пределы: 6

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 -го рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них из односторонних пределов бесконечен. Определение. Функция называется кусочнонепрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1 го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Определение. Функция называется кусочнонепрерывной на числовой прямой, если она кусочнонепрерывна на любом отрезке. 7

8

Основные свойства непрерывных функций Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0 и f(x 0) 0. Тогда существует > 0 такое, что для всех х (х0 – , х0+ ) функция f(x) имеет тот же знак, что f(x 0). 9

Доказательство: Пусть f(x 0) > 0. Тогда в силу определения 2 непрерывности функции для >0 такое, что неравенство |f(x) – f(x 0)|< выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству |x – x 0| < . Или f(x 0) – < f(x) < f(x 0) + для всех х (х0 – , х0 + ). Возьмем = f(x 0). Тогда f(x) > 0 для всех х (х0 – , х0 + ). Ч. т. д. 10

Теорема (1 -ая теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с(a, b), в которой f(с) = 0. 11

Доказательство: Пусть для определенности f(a)<0 и f(b)>0. Разделим [a, b] пополам. Если значение функции в середине [a, b] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков, обозначим его [a 1, b 1]. Разделим его пополам. Если значение функции в середине отрезка [a 1, b 1] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков. Обозначим его [a 2, b 2]. И т. д. Получим последовательность [a, b] [a 1, b 1] [a 2, b 2] … [an, bn] … вложенных отрезков. По теореме о вложенных отрезках с, принадлежащая всем отрезкам, причем f (с)=0. Ч. т. д. Теорема имеет простой геометрический. смысл. 12

13

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [a, b] найдется точка с такая, что f(с) = С. Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения. 14

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом (а, b). 15

16

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Замечание Разность между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b] называется колебанием непрерывной функции. 17

Понятие равномерной непрерывности функции Определение. Функция f(х) называется равномернонепрерывной на промежутке Х, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любых двух точек х1, х2 Х, удовлетворяющих неравенству |x 2 – x 1| < , выполняется неравенство |f(х2) – f(x 1)| < . Символика: Теорема Кантора (о равномерной непрерывности) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и равномерно непрерывна на нем. 18