Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Определение

Непрерывность функций

Непрерывность функции в точке Определение 1 Функция f(x) называется непрерывной в точке… , если … • f(x) определена в точке ; • f(x) определена в некоторой окрестности точки ; • существует ; • предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

Непрерывность функции в точке Определение 2 Функция f(x) называется непрерывной в точке… , если … • f(x) определена в точке ; • f(x) определена в некоторой окрестности точки • Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: ;

Непрерывность функции на промежутке • Функция f(x) непрерывна в интервале (а ; в), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; а в • Функция f(x) непрерывна на отрезке [а ; в], если она непрерывна в интервале (а ; в) и непрерывна в точке х=а и в точке х=в а в

Точки разрыва функции Определение. Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции Пусть - точка разрыва функции f(x) • - точка разрыва I рода, если существуют конечные пределы f(x) справа и слева: • - точка разрыва II рода, если хотя бы один из пределов справа или слева не существует или равен бесконечности

Теоремы о непрерывных функциях Пусть функции f(x) и g(x) – непрерывны на J Тогда на J непрерывны функции… • f(x) + g(x) и f(x) - g(x) ; • f(x) g(x) и при g(x)≠ 0 Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их области определения

Свойства функций, непрерывных на отрезке • Теорема Вейерштрасса Если f(x) непрерывна на отрезке [a: b], то она достигает на [a: b] своего наименьшего и наибольшего значения. Следствие. Если f(x) непрерывна на отрезке [a: b], то она ограничена на [a: b] • Теорема Больцано-Коши Если f(x) непрерывна на отрезке [a: b], и f(a)=А и f(b)=В, А≠В, то она принимает все значения между А и В. Следствие. Если f(x) непрерывна на отрезке [a: b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, что f(с)=0