Непрерывность функции в точке разрыва Точки разрыва

Непрерывность функции в точке разрыва

Точки разрыва Точка x 0 называется точкой разрыва функции F(x), если она определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (то есть определена на некотором интервале, для которого x 0 служит внутренней точкой, но в самой точке x 0, возможно, не определена) и выполняетс хотя бы одно из следующих условий

Условия 1) Не существует предела слева 2) Не существует предела справа

Условия 3) Пределы слева и справа существуют, но не равны другу: F(x 0 -)≠F(x 0+)

Условия 4) пределы слева F(x 0 -)= и справа F(x 0+)= существуют и равны другу: F(x 0 -)=F(x 0+) , но не совпадают со значением функции в точке x 0: F(x 0)≠F(x 0 -)=F(x 0 , или функция F(x) не определена в точке x 0.

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4 то точка разрыва x 0 называется точкой разры первого рода, а поведение функции в окрестности точки x 0 называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимо точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке - устранимым разрывом. Если же имеет место либо случай 1, либо случ 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва x 0 называется точкой разрыва второг рода, а поведение функции в окрестности это точки - разрывом второго рода в точке x 0.

Точка разрыва первого рода

Точки разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва Если значения на берегах разрыва совпадают или функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить функцию F(x) в точке x 0, положив F(x 0)≠F(x 0 -)=F(x 0+), то полученная изменённая функция будет уже непрерывна точке x 0 и разрыв в точке x 0 исчезнет; отсюда название такого разрыва - устранимый.

Точка устранимого разрыва