Непрерывность функции Функция точке , если называется

Непрерывность функции

Функция точке , если называется непрерывной в -приращение аргумента x в точке -приращение функции в этой же точке Если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция в этой точке непрерывна

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Основные свойства непрерывных функций 1. Если функции непрерывны в точке , то сумма этих функций, произведение и частное также непрерывны в этой точке 2. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке , то функция непрерывна в точке. 3. Элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения

4. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке обязательно найдутся две точки и , где достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, причем y M 0 m x 5. Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка обязательно найдется по крайней мере одна точка такая, что

Пример. Показать, что функция для любого значения аргумента непрерывна Правосторонний предел функции в точке : Левосторонний предел функции в точке : Условие непрерывности функции в точке :

Конечную точку если: называют точкой разрыва функции 1) в этой точке функция не определена; 2) в этой точке функция определена, но не выполняется хотя бы одно из равенств: Разрывы 1 -го рода: - конечны; - устранимый, -конечный (скачок). Разрыва 2 -го рода (бесконечные): если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Пример. Найти точки разрыва функции Решение. Y 10 5 Разрыв 1 -го рода, устранимый 5 -5 O X

Пример. Найти точки разрыва функции y 1 -1 Разрыв 1 -го рода, скачок x 1

Пример. Найти точки разрыва функции y 1 0 Бесконечный разрыв 2 -го рода x 8

Пример. Найти точки разрыва функции y 1 1/2 Разрыв 1 -го рода, скачок 0 x

Пример. Найти точки разрыва функции, определить тип разрыва. Y 3 X 1 0 1 3 x=0 – скачок, х=1 -непрерывность

Пример. Найти точки разрыва функции Решение. y 1 x -1 0 1

Пример. Найти точки разрыва функций: Решение. Разрыв 1 -го рода, устранимый Разрыв 1 -го рода, скачок

Пример. Исследовать функцию на непрерывность на отрезках [-6, 6] и [6, 10].

На [-6, 6] – четыре точки разрыва 2 -го рода; на [6, 10] точек разрыва нет.