Неориентированные графы 1 Ребро начало и конец которого

Неориентированные графы 1) Ребро, начало и конец которого совпадают, называется петлей (xi, хi) 2) Вершины называются смежными, или соседними, если существует ребро, их соединяющее 3) Если вершина является началом или концом ребра, то вершина и ребро называются инцидентными

Неориентированный граф х2 Х 1 х4 х3 х6 х5 . х7

3) Степенью вершины называется число инцидентных ей ребер, степень вершины х обозначается d(x). Вершина, степень которой равна нулю называется изолированной. Вершина, степень которой равна единице называется висячей, или тупиковой 4) Последовательность вершин и ребер, в которой конец предыдущего ребра совпадает с началом следующего, называется маршрутом

5) Цепью называется маршрут, в котором все ребра различны. 6) Диаметром графа называется максимальное расстояние между его вершинами 7) Цикл в графе называется эйлеровым, если он содержит все ребра графа ровно один раз. Связный граф, в котором есть эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Его можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги и не повторяя линий «одним росчерком»

Эйлеров граф Теорема. Связный граф называется эйлеровым тогда и только тогда, когда степень каждой его вершины четная

Гамильтоновый граф Гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа ровно один раз. Гамильтоновым циклом называется гамильтоновая цепь, начало и конец которой совпадают. Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется гамильтонов цикл

Термин «гамильтонов» связан с именем ирландского математика У. Гамильтона, который в 1859 г предложил игру «Кругосветное путешествие» . Каждой из двенадцати вершин додекаэдра соответствует один из городов мира. Необходимо, переезжая из города в город по ребрам додекаэдра, посетить каждый город только один раз и вернуться назад. Эта задача сводится к поиску простого цикла, проходящего через каждую вершину графа. Предложенный вариант решения задачи коммивояжера представляет собой кольцевой маршрут, где каждый город посещается только один раз, начиная с любого населенного пункта

Гамильтоновый граф

Теорема Если в графе G с n-вершинами степень каждой вершины не меньше чем n/2, то граф G — гамильтонов

Задачи, касающиеся эйлеровых и гамильтоновых цепей и циклов, часто встречаются на практике. Например, стоимость выполнения комплекса коммерческих операций, работ существенно зависит от последовательности, в которой они выполняются.

Для ориентированных графов Последовательность дуг, в которой конец предыдущей дуги совпадает с началом следующей, называется путем. Длина пути определяется количеством нем в дуг. Путь называется простым, если в нем дуга не встречается дважды, в противном случае он является составным. Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, называется элементарным. Путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, называется контуром. В неориентированном графе пользуются термином не путь, а цепь, а вместо контура — цикл

Язык графов оказывается удобным для описания многих физических, технических, экономических, биологических, социальных и других систем.

Транспортные задачи в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др. ) и/или другие транспортные (например, авиационные) маршруты.

Сети снабжения, задачи обеспечения, задачи о размещении Энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т. д. ), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами - возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т. д. ). Задачи оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т. д.

Технологические задачи в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т. д. ), а дуги - потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.

Управление проектами Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др. ).

Модели коллективов и групп Используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т. д. ) - в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности взаимодействия и др.

Модели организационных структур В которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами связи (информационные, управляющие, технологические и др. ) между ними.

Определение 1 Вершины v и w ориентированного графа G=(V, E) называются взаимно достижимыми, если в G есть путь из v в w и путь из w в v.

Определение 2