Неопределенный интеграл Термины если на каком-то числовом промежутке

Неопределенный интеграл Термины: если на каком-то числовом промежутке , то f – производная для F , а F – первообразная для f. Неопределенный интеграл функции f (x)– совокупность всех ее первообразных. Обозначается неопределенный интеграл Если F – какая-нибудь первообразная, то , с – произвольная постоянная. Все сказанное отражается в основных свойствах неопределенного интеграла: или, в другой форме Первое из этих свойств используют для проверки того, правильно ли вычислен интеграл. Чтобы вычислять неопределенный интеграл нужно знать: 1. Кроме названных основных свойств – свойства линейности (с - постоянная) 2. Таблицу интегралов основных элементарных функций (приведена в учебнике). 3. Общие методы интегрирования. 4. Некоторые дополнительные приемы и рекомендации (см. учебник) 1

I-й общий метод – подведение под знак дифференциала (метод подстановки, замена переменной) Метод основан на теореме: Если произвольная функция, то Иными словами в равенство, дающее значение неопределенного интеграла вместо независимой переменной можно во все вхождения подставлять произвольные функции. Примеры. Применение этого метода требует постоянного использования равенства для дифференциала справедливого для любой функции. Примеры: 2

Эти же действия при вычислении интеграла можно выполнять в другой последовательности: вначале «назначить» функцию которую хотим внести под знак дифференциала, а затем всё в подынтегральном выражении выразить через t. При этом важно помнить, что такой переход (замена переменной, или, иначе – подстановка) требует двух равенств: (1) исходного и (2) –результата вычисления дифференциала от обеих частей этого равенства или после его тождественного преобразования. Пример 1. Или: 3

Пример 2. Пример 2 (еще раз, более осмысленно). II-й общий метод – метод интегрирования по частям Формула интегрирования по частям – результат интегрирования формулы производной произведения: Примеры практического применения. 1. 4

2. Рациональные функции Важным классом функций которые нужно уметь интегрировать, являются рациональные функции. Это многочлены и дроби, составленные из этих многочленов Работа с рациональными функ- циями описана подробно в основном учебнике (Высшая математика для заочников. Часть2) курса Некоторые другие рекомендации (на примерах) Пример 1. 5

Универсальная тригонометрическая подстановка: Например, Определенный интеграл Понятие определенного интеграла введено в школьном курсе математики. Там же приведено основное средство вычисления этого интеграла – формула Ньютона-Лейбница: В этой формуле F – произвольная первообразная функции f Несобственный интеграл Понятия определенного интеграла нет для случаев: I. Промежуток [a, b] бесконечный. II. Подынтегральная функция f(x) не является ограниченной на [a, b]. В этих случаях 6

интеграл определяется как предел обычных определенных интегралов и на- зывается несобственным. Если названный предел существует, то его называют значением несобственного интеграла, а интеграл – сходящимся. Если такого предела нет, то интеграл называют расходящимся. Примеры. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. Интеграл сходится. . Этот предел не существует. Интеграл расходится. Этот интеграл является несобственным, так как в окрестности x=1 промежутка интегрирования [0, 2] подынтегральная функция не является ограниченной (знаменатель при x=1 равен нулю). Поступают так. Промежуток интегрирования разбивают на более мелкие так, чтобы «плохая» точка x=1 на каждом из них оказалась всего одна и являлась бы его концом: 7

Сходимость исходного интеграла означает по определению сходимость каждого. Рассмотрим первое слагаемое: Вывод: интеграл расходится. Интеграл сходится. Этот материал вместе с геометрическими приложениями определенного интеграла вычисление площадей фигур, объемов тел, длин дуг и т. д. – является содержанием контрольной работы № 3. 8