Неопределенный интеграл l l Понятие неопределенного интеграла Основные

Неопределенный интеграл l l Понятие неопределенного интеграла Основные свойства неопределенного интеграла

Понятие неопределенного интеграла Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x) на множестве М называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом множестве), обозначается символом ∫ f(x)dx В этом обозначении знак ∫ называется знаком интеграла выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, а функция f(x) – подынтегральной функцией. Если F(x) – одна из первообразных функций для функции f(x) на множестве M, то в силу следствия из теоремы п. 1. 1 ∫ f(x)dx = F(x)+C (1) где С-любая постоянная.

Понятие неопределенного интеграла Это равенство следует понимать как равенство двух множеств, точнее следовало бы записать так: ∫ f(x)dx = {F(x)+C} Пример. cosdx = sinx+ C Замечание. Если F(x) – первообразная функции f(x) на множестве M, то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F(x), действительно: d. F = F’(x)dx = f(x)dx Будем считать по определению, что ∫ f(x)dx ≡ ∫ F’(x)dx ≡ ∫ d. F(X) (2)

Основные свойства неопределенного интеграла Пусть функция F(x) дифференцируема на M, тогда ∫ d. F(x) = F(x)+ c или ∫ F’(x)dx = F(x)+ c Справедливость этих равенств вытекает из соотношений (1), (2) п. 1. 2. 2. Пусть функция F(x) имеет первообразную на множестве M, тогда d ∫ f(x)dx = f(x)dx Здесь под интегралом ∫ f(x)dx понимается любая первообразная F(x) функции f(x). Справедливость этой формулы очевидна в силу определения первообразной: ∫ f(x)dx = F(x)+c → d ∫ f(x)dx = d [F(x)+ c] = d. F(x) = F’(x)dx = f(x)dx 1.

Основные свойства неопределенного интеграла 3. Если функции f 1(x) и f 2(x) имеют первообразные на M, то и функция f 1(x) +f 2(x) также имеет первообразную на M, и ∫ [f (x) +f (x)]dx = ∫ f (x)dx +∫ f (x)dx. 1 2 Это равенство обозначает совпадение двух множеств функций, т. е. , что сумма каких-либо первообразных для функций f 1(x) и f 2(x) является первообразной для функции f 1(x) +f 2(x), и наоборот, всякая первообразная для функции f 1(x) +f 2(x) является суммой некоторых первообразных для функций f 1(x) и f 2(x).

Основные свойства неопределенного интеграла Доказательство. Пусть ∫ f (x)dx =F (x) + с , ∫ f (x)dx =F (x) + с ; 1 1 1 2 2 2 Положим F(x) = F 1(x) + F 2(x), то F(x) дифференцируема на М, и F’(x) = (F 1(x)+F 2(x))’= F 1’(x)+F 2’(x)=f 1(x) +f 2(x) ν x Є M т. е F(x) является первообразной функции f 1(x) +f 2(x) на М. таким образом: ∫ (f 1(x) + f 2(x))dx = F(x) + c = F 1(x) + F 2(x) + с, ∫ f 1(x)dx+ ∫ f 2(x)dx = F 1(x)+ с1+F 2(x) + с2 = F 1(x)+F 2(x) +с1 + с2 Так как с1 + с2 - также произвольная постоянная, то множества {F 1(x)+F 2(x) +с1 + с2 } и {F 1(x)+F 2(x) +с} совпадают.

Основные свойства неопределенного интеграла Свойство 3 доказано. Аналогично доказывается, что ∫ [f 1(x) – f 2(x)]dx = ∫ f 1(x)dx – ∫ f 2(x)dx. 4. Если функция f(x) имеет первообразную на М и a Є R, то функция аf(x) также имеет на М первообразную, причем при а≠ 0, имеет место равенство: ∫ аf(x)dx = а ∫ f(x)dx = F(x)+c, тогда (a. F(x))’=a. F’(x)=af(x). Таким образом а ∫ f(x)dx =a((F(x)+c)= a. F(x) + ac, ∫ аf(x)dx = F(x) +с. Доказательство. Пусть 1

Основные свойства неопределенного интеграла Так как а≠ 0, то ас тоже является произвольной постоянной, и множества {a. F(x) + ac}, {a. F(x) + c} совпадают. Свойство 4 доказано. Свойства 3 и 4 выражают свойства линейности неопределенного интеграла относительно подынтегральной Функции.