Неопределенный интеграл и его свойства Содержание 1

Неопределенный интеграл и его свойства

Содержание 1. Первообразная функция 2. Неопределенный интеграл 3. Свойства неопределенного интеграла 4. Методы интегрирования

1. Первообразная функция Определение: Функция F(X) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a , b), если: § F(x) дифференцируема на (a , b ) § F’(x)=f(x) Пример Есть первообразная для На интервале Так как

Теорема 1: если F(x) первообразная для функции f(x) на интервале(a, b) то F(x)+C – так же первообразная, где С – любое постоянное Доказательство

Теорема 2. Если F 1(x) и F 2(x)–две первообразные для f(x) на (a , b) То F 1(x)-F 2(x)=C на (a , b) Где C–некоторая постоянная Доказательство: По условию F’ 1(x)=F’ 2(x)=f(x). Составим функцию Ф(x)=F 1(x)-F 2(x) Очевидно, что Ф’(x)= F’ 1(x)-F’ 2(x)=f(x)-f(x)=0 x (a , b) Отсюда по известной теореме (по которой “если функция имеет на интервале производную, равную нулю, то она постоянна на (a , b)”)заключаем, что Ф(x) C, То есть F 1(x)-F 2(x)=C(что и требовалось доказать)

2. Неопределенный интеграл Определение: Произвольная первообразная для f(x) на (a , b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) Она обозначается симболом: называется интегралом f(x)dx называется подынтегралным выражением f(x) называется подынтегральной функцией

Если F(x)-одна из первообразных для f(x), то согласно сказанному где С-соответствующим образом подобранная постоянная

Если F(x) есть первообразная для функции f(x) То f(x)dx=F’(x)dx=d. F(x) является дифференцялом первообразной F(x)

3. Ряд свойств неопределенного интеграла § § § d∫f(x)dx=f(x)dx. В самом деле, f(x)dx=F(x)+C, отсюда d f(x)dx=d(F(x)+C)=d. F(x)dx=F(x)+C, т. е. и d так же взаймносокращаются, но к F(x) нужно добавить не которую постоянную С. d. F(x)= F’(x)dx =F(x)+C Af(x)dx=A f(x)dx+C, Где Апостоянное число , С-некоторая постоянная. [f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx+C, где Снекоторая постоянная. В самом деле, ( f(x)dx+ g(x)dx)’=( f(x)dx)’+( g(x)dx)’=f(x)+g(x) С другой стороны , ( [f(x)+g(x)]dx)’=f(x)+g(x) Если F(x) есть первообразная для f(x), то В самом деле,

Таблица интегралов на интервале не содержащем x=0 на интервале, где подынтегральная функция непрерывна.

4. Методы интегрирования 4. 1. Метода интегрирования заменой переменных(или подстановкой) Формула замены переменных выражается так а мы просто уславливаемся писать

Пример 1.

Пример 2

4. 2. Метода интегрирования по частям Формула интегрирования по частям выглядит таким образом

Пример

Ещё пример