Неопределенные уравнения в школьном курсе математики Понятие

Неопределенные уравнения в школьном курсе математики

Понятие неопределенного уравнения Неопределенное уравнение – уравнение, содержащее более одного неизвестного. Линейным неопределенным уравнением называется уравнение вида ax + by = c, где a, b, c некоторые целые числа, причем a≠ 0, b≠ 0. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Задачи, приводящие к линейным неопределенным уравнениям Задача. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнайте, сколько в клетке тех и других. Решение составим уравнение: 4 x + 2 y = 18 или 2 x + y = 9. Выразим y через x: y = 9 - 2 x и воспользуемся методом перебора. x y 1 2 7 5 3 3 4 1 Таким образом, задача имеет четыре решения в натуральных числах (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Графическая интерпретация уравнения ax + by = c Рассмотрим пример 2 x+3 y=5. Выразим y через x: y=(5 -2 x)/3 или y= - x+ Зависимость между y и x представлена линейной функцией. Таким образом, построили график уравнения. На нем нужно найти все точки с целочисленными координатами.

Метод спуска Решим уравнение 7 x - 11 y = 36 методом бесконечного спуска. Выразим ту переменную, коэффициент при которой по модулю меньше, и выделим целую часть: x= =5+y+. Чтобы значение дроби было целым, нужно чтобы (1 + 4 y) делилось на 7, т. е. 1 + 4 y = 7 z, где z – целое число. Откуда y= =z– 1+

Метод спуска • Чтобы значение y было целым, нужно чтобы (3 z + 3) делилось на 4, т. е. 3 z + 3 = 4 u (u - целое). Далее z = =u– 1+. • Чтобы z было целым числом, u должно быть кратным трем, т. е. u = 3 v (v - целое) • Дробей больше нет, “спуск закончен” и нужно “подняться вверх”, выразив x и y через v. Итак z = 4 v - 1, y =7 v - 2, x = 11 v + 2.

Примеры решения нелинейных неопределенных уравнений Решите в целых числах уравнение ху = х + у Решение. Перепишем уравнение в следующем виде ху – х – у + 1 = 1. Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки. х(у – 1) – (у – 1) = 1; (у – 1)(х – 1) = 1. Следовательно, у– 1=1 или y-1=-1 х– 1=1 x-1=-1 (2; 2) (0, 0) Ответ: (2; 2), (0; 0).

Примеры решения нелинейных неопределенных уравнений Решите уравнение в целых числах 5 x 2 + 5 y 2 + 8 xy + 2 y - 2 x + 2 = 0. Решение. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x: 5 x 2 + (8 y - 2)x + 5 y 2 + 2 y + 2 = 0. x 1, 2= = При y = -1, x = 1. Ответ: (1; -1). = - 9(y + 1)2 = 0, откуда y = -1.

Презентацию подготовили студенты факультета математики и информатики Алт. ГПА.