Необходимый признак экстремума Если в точке экстремума существует производная, то она равна нулю
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Этому же числу f’(p) равны односторонние пределы. Так как з-точка минимума f, то в некоторой окрестности U точки p числитель дроби f(x) – f(p)≥ 0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО •
Необходимый признак экстремума Таким образом, f’(p)≥ 0 и f’(p)≤ 0. Следовательно f’(p)=0. Если p=точка максимума f, то рассуждения аналогичны.
Необходимый признак экстремума Точки экстремума функции надо искать только там, где f'=0 или f’ не существует.
Достаточный признак экстремума Если в точке p производная меняет знак с минуса на плюс, то p – точка минимума Если в точке p производная меняет знак с плюса на минус, то p – точка максимума
Достаточный признак экстремума Пусть функция f непрерывна в точке p. Тогда 1) Если f’<0 на (a, p) и f’>0 на (p, b), то в точке p функция f имеет минимум; 2) Если f’>0 на (a, p) и f’<0 на (p, b), то функция f в точке pимеет максимум
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Так как f’<0 на (a, p) и а непрерывна в точке p, то f убывает на (a, p], и поэтому для любого xє(a, p) выполнено неравенство f(x)>f(p).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Так как f’>0 на (p, b) и f непрерывна в точке p, то f возрастает на [p, b), и поэтому для любого xє(a, p) выполнено неравенство f(x)>f(p).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Доказано, что при любом x≠p из (a, p) Выполнено неравенство f(x)> f(p), т. е. функция а в точке p имеет минимум
Скачать презентацию Необходимый признак экстремума Если в точке экстремума существует
Теоремы и доказательства 2.pptx