Нелинейные вычислительные процессы Семинар 5 Система уравнений

Нелинейные вычислительные процессы Семинар № 5 Система уравнений газовой динамики и разностные схемы для ее решения к. ф. -м. н. Уткин Павел Сергеевич e-mail: utkin@icad. org. ru, pavel_utk@mail. ru (926) 2766560 7 марта 2014 г. , МФТИ, Долгопрудный

Краткое содержание предыдущих семинаров Семинар № 1 (07. 02. 14). Некоторые разностные схемы для решения линейного уравнения переноса. Семинар № 2 (14. 02. 14). Построение схем для решения линейного уравнения переноса в пространстве неопределенных коэффициентов. Семинар № 3 (21. 02. 14). Понятие монотонности разностных схем. Теорема Годунова. Семинар № 4 (28. 02. 14). Обобщение на случай системы уравнений гиперболического типа. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 2

Система уравнений газовой динамики Дивергентная форма записи (в форме законов сохранения) Вектор консервативных переменных Полная энергия Вектор потоков Внутренняя энергия (уравнение состояния) Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 3

Анализ системы уравнений газовой динамики Характеристическая форма Матрица Якоби Скорость звука Куликовский А. Г. , Погорелов Н. В. , Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М. : Физматлит, 2001. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 4

Гиперболическая система уравнений • Наличие конечной скорости распространения бесконечно слабых возмущений • Возможность существования разрывных решений даже для гладких начальных данных Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 5

Метод конечных объемов (1) Для произвольной компоненты вектора консервативных переменных: Vm или (q 1 m , q 2 m , … ) z Проинтегрируем по объему ячейки расчетной сетки и по времени: 0 y x Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 6

Метод конечных объемов (2) (q 1 k , q 2 k , … ) nσ σ Возьмем интеграл в первом выражении и применим теорему Остроградского-Гаусса к расчету интеграла во втором: Vm (q 1 m , q 2 m , … ) z Аппроксимируем поверхностный интеграл через сумму интегралов по граням ячейки: Sm 0 x y Основной вопрос – как определять численный поток? Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 7

Постановка задачи о распаде произвольного разрыва Задача Коши для системы уравнений газовой динамики с разрывом первого рода в начальных данных Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 8

Возможные конфигурации решения Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 9

Соотношения на разрыве Соотношения Ренкина – Гюгонио: Разрывы Обтекание тела сверхзвуковым потоком Ударные волны Контактные – нет потока массы вещества через разрыв Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. – М. : Мир, 1986. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 10

Элементарная теория ударных волн Адиабата Гюгонио p ио югон ата Г адиаб p 0 адиаб ата П уассо на ΔS = 0 • В ударной волне газ нельзя сжать больше, чем в ( γ + 1 ) / ( γ – 1 ) раз. • Ударная волна бесконечно малой интенсивности распространяется относительно газа со скоростью звука. • Фронт ударной волны распространяется относительно фона со сверхзвуковой скоростью. • Теорема Цемплена: не существует ударных волн разрежения. Самарский А. А. , Попов Ю. И. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М. : Наука, 1992. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 11

Соотношения для ударных волн и волн разрежения «левая» УВ «правая» УВ «левая» ВР «правая» ВР Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 12

Метод Ньютона для нахождения давления на контактном разрыве Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 13

Система тестов Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 14

Тест 1. Задача Сода. Анализ (p-v)-диаграммы. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 15

Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение плотности. p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 ния еже азр р на x 0 = 0. 5 t = 0. 2 «Голова» ВР Вол p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 Начальная плотность слева от разрыва ) (ВР Ударная волна (УВ) «Хвост» ВР Контактный разрыв (КР) Начальная плотность справа от разрыва Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 16

Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение скорости. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 Ударная волна «Хвост» ВР x 0 = 0. 5 t = 0. 2 зреж а ра Волн ения Начальная скорость слева от разрыва Скорость на контактном разрыве непрерывна «Голова» ВР Начальная скорость справа от разрыва Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 17

Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение давления. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 Начальное давление слева от разрыва «Голова» ВР на р Вол x 0 = 0. 5 t = 0. 2 еже азр ния Ударная волна «Хвост» ВР Давление на контактном разрыве непрерывно Начальное давление справа от разрыва Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 18

Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение внутренней энергии. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 x 0 = 0. 5 t = 0. 2 Ударная волна Контактный разрыв p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 Начальная энергия слева от разрыва «Голова» ВР на Вол я ени реж раз «Хвост» ВР Начальная энергия справа от разрыва Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 19

Алгоритм построения точного решения 1. Определяем по (p-v)-диаграмме конфигурацию, возникающую при распаде. Самарский А. А. , Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М. : Наука, 1992. 2. В результате решения нелинейного алгебраического уравнения методом Ньютона ищем давление на контактном разрыве. 3. Определяем оставшиеся параметры – скорости ударных волн и наклоны крайних характеристик, описывающих веер волны разрежения. Годунов С. К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. – М. : Наука, 1976. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 20

Сергей Константинович Годунов род. 1929 г. , академик РАН Тестирование схемы С. К. Годунова решения уравнений газовой динамики Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 21

Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение плотности. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 x 0 = 0. 5 t = 0. 2 Δx = 0. 01 Δ t = 0. 001 Схема С. К. Годунова: • 1 -ый порядок аппроксимации • Монотонность • Физичность результатов (есть исключения) Погрешности в описании ВР УВ размазывается на ~ 9 ячеек КР размазывается на ~ 15 ячеек Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 22

Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение скорости. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 x 0 = 0. 5 t = 0. 2 Δx = 0. 01 Δ t = 0. 001 Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 23

Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение давления. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 x 0 = 0. 5 t = 0. 2 Δx = 0. 01 Δ t = 0. 001 Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 24

Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение внутренней энергии. p. L = 1. 0 UL = 0. 0 ρL = 1. 0 γL = 1. 4 p. R = 0. 1 UR = 0. 0 ρR = 0. 125 γR = 1. 4 x 0 = 0. 5 t = 0. 2 Δx = 0. 01 Δ t = 0. 001 Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 25

Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (1). Распределение плотности Распределение скорости Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 26

Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (2). Распределение давления Распределение внутренней энергии Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 27

Тест 2. Метод Роу (Roe). Проблемы с законом неубывания энтропии Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 28

Тест 2. Метод Роу с энтропийной коррекцией. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 29

Тест 1. Метод Лакса-Вендроффа. Sod G. A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 30

Тест 1. Метод Русанова. Sod G. A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31. Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 31

Монотонные схемы повышенного порядка аппроксимации метод Годунова 1 -го порядка аппроксимации метод Годунова повышенного порядка аппроксимации точное решение Уткин П. С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. 32