Некоторые приемы решения задания С 6 ЕГЭ-2011

Некоторые приемы решения задания С 6 ЕГЭ-2011

Задача С 6 – относительно сложная, поскольку требует нестандартных путей решения. Однако для ее решения не нужны никакие специальные знания, выходящие за рамки стандарта школьного математического образования.

Методы решения некоторых нелинейных неопределённых уравнений: I. Метод разложения на множители; II. Метод оценки; III. Выделение целой части. Задания для самостоятельного решения

I. Метод разложения на множители. 1) Найти целочисленные решения уравнения: 3 х2 – 8 ху – 16 у2 = 19 Разложим на множители с помощью группировки либо с помощью решения квадратного уравнения: (3 x + 4 y)(x - 4 y) = 19 Разложим число 19 на целочисленные множители: 1*19; 19*1; -1*(-19); -19*(-1) Составим системы уравнений и решим их: 3 х + 4 у=19 х - 4 у=1 3 х + 4 у= -1 х - 4 у= -19 3 х + 4 у= -19 х - 4 у= -1 В итоге получаем две пары решений, которые и запишем в ответ: (5; 1) и (-5; -1).

2) Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45. Составим уравнение: х2 - у2 = 45. Разложим на множители: (х – у)(х + у) = 45. Разложим на множители число 45, получаем: 1*45; 3*15; 5*9. Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1 х – у = 3 х – у = 5 х + у = 45 х + у = 15 х + у = 9 Получим три пары чисел, которые и запишем в ответ: (22; 23), (9; 6) и (7; 2).

3) Решите уравнение в целых числах: х2 - 3 ху + 2 у2 = 3. Разложим на множители: (х – у)(х – 2 у) = 3. Разложим число 3 на целочисленные множители: 1*3; 3*1; -1*(-3); -3*(-1). Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1 х – у = 3 х – 2 у = 1 х – у = -3 х – 2 у = -1 Получим четыре пары решений, которые и запишем в ответ: (-1; -2), (5; 2), (1; 2) и (-5; -2).

II. Метод оценки 1) Решите в целых числах уравнение: х2 – 2 ху + 2 у2 = 4 Выделим полный квадрат: (х - у)2 + у2 = 4. Оценим, получается, что -2 ≤ у ≤ 2, т. е. у = ± 2, ± 1, 0. При у = -2 получаем: (х + 2)2 + 4 => х = -2. При у = 2 получаем: (х – 2)2 + 4 => х = 2. При у = ± 1 получаем: (х ± 1)2 + 1 = 4, (х ± 1)2 = 3 – целочисленных решений нет. При у = 0 получаем: х2 = 4 => х = ± 2. Получаем четыре пары чисел, которые и запишем в ответ: (-2; -2), (2; 0) и (-2; 0).

2) Решить в натуральных числах: (11 х + 6 у – 8)(6 х + 8 у – 1) = 100. Оценим: (11 х + 6 у – 8) ≥ 9 и (6 х + 8 у – 1) ≥ 13. 9*13 > 100 => уравнение (11 х + 6 у – 8)(6 х + 8 у – 1) = 100 натуральных корней не имеет. Ответ: корней нет. 3) Решить в натуральных числах: (3 х + 5 у – 7)(5 х + 4 у + 11) = 20. Оценим: (3 х + 5 у - 7) ≥ 1 и (5 х + 4 у + 11) ≥ 20 => единственный возможный вариант: 3 х + 5 у – 7 = 1 5 х + 4 у + 11 = 20. Решая систему, получим: х = 1 и у = 1. Ответ: (1; 1).

III. Выделение целой части 1) Найти целочисленные решения уравнения: 2 х2 у2 + у2 = 14 х2 + 25. Выразим у2: Дробь должна принимать целочисленные значения, (2 х2 + 1) ≥ 0, поэтому знаменатель дроби может быть равен: 1, 2, 3, 6, 9, 18. При (2 х2 + 1) = 1, х = 0. При (2 х2 + 1)=2, (2 х2 + 1)=6, (2 х2 + 1)=18, х – не целое. При (2 х2 + 1) = 3, х = ± 1. При (2 х2 + 1) =9, х = ± 2. а) х = 0, у = ± 5; б) х = ± 1, у – не целое; в) х = 2, у = ± 3; г) х = -2, у – не целое. Ответ: (0; 5), (0; -5), (2; 3) и (2; -3).

2) Решить в целых числах уравнение: 2 х2 у2 + у2 - 6 х2 – 10 = 0. 2 х2 у2 + у2 = 6 х2 + 10. Выразим у2: у2 = (2 х2 + 1) может быть равно: 1, 7. При (2 х2 + 1) = 1, х = 0 При (2 х2 + 1) = 7, х – не целое При х = 0, у – не целое Ответ: корней нет.

Задания для самостоятельного решения: 1) х2 – ху – 2 у2 = 1; 2) х2 – 3 ху + 2 у2 = 3; 3) 5 х2 + 8 ху – 4 у2 = 17; 4) х2 + 2 ху + у2 = 4; 5) (51 – 4 х – 7 у)(31 х + 2 у – 6) = 68; 6) (13 х + 3 у -2)(2 х – 8 у – 13) = 11; 7) х2 = у2 + 2 у + 8; 8) 2 х2+х2 у2 -3 у2=7;

9) 3 х2+4 х2 у2 -8 у2 -12=0; 10) 12 х2 -4 х2 у2+7 у2=9; 11) 8 х2+х2 у2 -3 у2=32; 12) -24 х2+3 х2 у2+4 у2=48; 13) 3 х2+7 х2 у2=21 у2+27; 14) 7 х – 3 ху + 6 у – 5 = 0. Ответы к заданиям

Диофантовы уравнения первой степени

Общий вид диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными: ax+by+c=0, где a и b – целые числа, отличные от нуля, а с – любое целое число. Решениями этого уравнения будут служить целые числа.

Задания для самостоятельного решения: 1)3 х+2 у=7; 2)3 у=2 х+8; 3)17 х+34 у=153; 4)х+12 у=7; 5)19 х+23 у=874; 6)17 х+31 у=527; 7)12 х-3 у=21; 8)13 х-26 у-13=0. Ответы к заданиям

Ответы к заданиям: 1) (1; 0), (-1; 0); 2) (-1; -2), (1; 2), (-5; -2), (5; 2); 3) (3; -1), (3; 7), (-3; 1), (-3; -7), 4) любые пары решений, удовлетворяющие равенству х+у=2 или равенству х+у= -2. 5) (2; 6) корней нет; 7) (-4; 2), (-4; -4), (4; -4); 8) корней нет; 9) (2; 0), (-2; 0); 10) корней нет; 11) (-2; 0), (2; 0); 12) (2; 3), (2; -3), (-2; -3); 13) (-3; 0), (3; 0); 14) (-7; 2).

Ответы к заданиям (диофантовы уравнения): 1) х=1 -2 t, y=2+3 t; 2) 2) x=2 -3 t, y=4 -2 t; 3) 3) x=5 -2 t, y=2+t; 4) 4) x= -5 -12 t, y=1+t; 5) 5) x=23 -23 t, y=19+19 t; 6) 6) x= -31 t, y= 17+17 t; 7) 7) x=2+t, y=1+4 t; 8) 8) x=5+2 t, y=2+t.