Некоторые физические константы Число Авогадро NA 6 025 1023

Некоторые физические константы: Число Авогадро: NA=6, 025· 1023 моль-1; Универсальная газовая постоянная: R=8, 314 Дж/моль; Постоянная Больцмана: k=1, 38· 10 -23 Дж/К; Масса электрона: mе=0, 911· 10 -30 кг =0, 911· 10 -27 г; Постоянная Планка: ħ =1, 054· 10 -34 Дж·с; (h=2πħ) Атомная единица массы: 1 а. е. м. = 1, 66· 10 -27 кг = 1, 66· 10 -24 г; 1 э. В =1, 6· 10 -19 Дж

В один из давних дней палеозойской эры капля после полуденного ливня упала на мягкую ровную землю и оставила на ней отпечаток. Шло время, на этот отпечаток при раскопках наткнулся студент-геолог. Осушая свою фляжку, он от нечего делать прикидывает, сколько молекул от той древней капли было в воде, которую он только что выпил. Оценить и вы число этих молекул, используя только те данные, которые вам уже известны (из школы). О деталях, не приведенных в условии задачи сделайте разумные предположения. Предположения: Объем фляжки VФЛ=150 мл. Объем капли VК= 1 мл Палеозойская эра - началась 570 млн. лет и закончилась 230— 220 млн. лет назад.

Решение: ( Дано: Объем фляжки VФЛ=150 мл. Объем капли Масса одной грам-моль воды Н 2 О: VК= 1 мл) μН 2 О = 2· 1 + 16 = 18 г. Плотность воды ρН 2 О = m/V= 1 г/см 3 = 1 г/мл; Масса капли m. К= 1 г. Число Авогадро: NA=6, 025· 1023 моль-1; Следовательно в 18 г воды содержится 6, 025· 1023 ее молекул. μН 2 О =18 г _______ NА=6, 025· 1023 молекул m. К=1 г _______ (х=NК) молекул Отсюда число молекул в капле NК=(m. K·NA)/μН 2 О = (1· 6, 025· 1023)/18≈ 3· 1022.

За миллионы лет вода из капли равномерно распределилась по всему объему воды Земли (VВЗ). Концентрация молекул воды из древней капли в воде Земли: h. В=3 км Объем воды Земли (RЗ=6400 км=6, 4· 108 см; h. В=3 км=3· 105 см) : Отсюда RЗ=6400 км Таким образом, на 1 мл воды Земли приходится в среднем 0, 02 молекулы воды из древней капли. Учитывая VФЛ=150 мл, получаем, что из древней капли во фляжку попало: молекулы.

Атомная масса А химического элемента - отношение массы атома этого элемента (Мат. эл-та) к 1/12 массы (mед ) атома углерода C 612 (изотоп углерода с массовым числом 12): где mед = 1, 66 10 -27 кг - атомная единица массы (а. е. м. ). Молекулярная масса М вещества называется отношение массы молекулы этого вещества к 1/12 массы атома углерода C 612. Моль - количество вещества, в котором содержится число частиц (атомов или молекул), равное числу атомов в 0, 012 кг изотопа углерода C 612. Масса одного моля называют молярной массой - [кг/моль]. Число Авогадро NA- число частиц, содержащееся в моле или киломоле вещества. NA= 6, 022 1023 моль-1 = 6, 022 1026 кмоль-1

На основе опытов с различными газами было установлено, что при одинаковых давлении и температуре один киломоль любого газа занимает одинаковый объем - закон Авогадро. Значение этого объема при нормальных условиях (t = 0 С и р = 1, 013 105 Па) составляет VA= 22, 4 м 3/кмоль (22, 4 л/моль). Оценка массы и диаметра молекул Оценим параметры молекулы воды. Предположим, что в воде молекулы располагаются вплотную друг к другу. Для расчета объема одной молекулы V 0 разделим объем, занимаемый киломолем воды, на число молекул, содержащихся в нем, т. е. на число Авогадро: V 0 = V / NA; V = / (H 2 O) = 18 кг/кмоль; = 103 кг/м 3 V = 0, 018 м 3/кмоль. Следовательно, l 0 = V 0 = 0, 018 / 6 1026 = 3 10 -29 м 3=30 10 -30 м 3; 3 10 -10 м 3 Å - диаметр молекулы воды. Масса молекулы воды Н 20 равна отношению молярной массы к числу молекул, содержащихся в ней. Следовательно, Н 20 = (H 2 O)/NA = 3∙ 10 -26 кг.

Задача 1. Плотность Cu (меди) ρ=8885 кг/м 3, атомный вес меди μ=63, 37. Определить: а) число г-моль Cu в 1 м 3 твердой меди; б) число атомов в в 1 м 3 твердой меди; в) объем элементарной ячейки для структуры КГЦ (кубическая гранецентрированная); г) атомный радиус меди. Решение. а) Масса 1 г-моль Cu: Число г-моль Cu в 1 м 3 твердой меди б) Масса одного атома меди число атомов в 1 м 3: Масса 1 м 3 Масса 1 г-моль Масса 1 м 3 Cu Масса 1 атома

Задача. Выражение, описывающее энергию связи U(r) в ионных кристаллах, имеет вид: где е – заряд электрона (е =1, 6·10 -19 Кл); α – постоянная Маделунга (для KCl α=1, 748); ε 0 – диэлектрическая постоянная (ε 0 =8, 85·10 -12 Ф/м); r – расстояние между ионами; В и n – эмпирические коэффициенты. Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на одну молекулу UС= U(r 0) = 7, 3 э. В, r 0 = 3, 1 Å. Определить величину коэффициента n. U Энергия отталкивания Энергия связи Результирующая энергия 0 Uс r r 0

Решение. В выражении для энергии связи два неизвестных: В и n. Таким образом, нужно составить систему из двух уравнений. Первое уравнение составляем из условия, что в точке r=r 0 энергия связи минимальна. Таким образом, следует найти экстремум функции U(r), который в точке r=r 0 равен нулю: (1) Второе уравнение получаем из условия, что энергия связи в точке r=r 0 определена по условию и равна UС= U(r 0) = 7, 3 э. В: (2) Для упрощения расчетов подсчитаем первую дробь во втором уравнении и обозначим ее параметром d: Определим размерность d:

Используя уравнения (1) и (2), а также введенный параметр d, имеем систему из двух уравнений: (1) Умножим (1) на r 0 Сложим (1) и (2) Преобразуем (3): (4) Из (1) имеем: (5) Подставим (5) в (4): Ответ: (3)

Задание на дом Задача. Для кристалла Na. Cl имеются следующие данные: - кулоновская энергия кристалла составляет 860 кдж/моль; - постоянная решетки r 0 = 0, 964 нм; - постоянная Маделунга α=1, 748. Используя общую формулу для энергии взаимодействия между двумя ионами определить величину параметров n и В.

Кубическая сингония а а Простая КП - 1 атом а Гранецентрированная КГЦ – 4 атома а Объемноцентрированная КОЦ – 2 атома

в) в КГЦ ячейку входит 4 атома: [(8 ∙ 1/8) + (6 ∙ 1/2)]= 4. Число элементарных ячеек: Суммарный объем всех этих ячеек равен 1 м 3. Отсюда объем одной ячейки: г) Объем кубической ячейки Vяч=а 3=0, 48∙ 10 -28 м 3= 48 ∙ 10 -30 м 3. Постоянная ячейки: rат а Å (ангстрем).

Задача 2. Железо имеет структуру КОЦ при температуре Т<9100 С и структуру КГЦ при Т>9100 С. В обеих структурах атомный радиус Fе одинаковый. Рассчитать отношение плотностей (ρКОЦ/ρКГЦ) в этих структурах. Решение. Пло тность — скалярная физическая величина, определяемая как отношение массы тела к занимаемому этим телом объёму. Отсюда плотность вещества — это масса его единичного объёма: ρ=m/V. Т>9100 С Т<9100 С а а

Задача 3. В структуре КГЦ с радиусом атома rат определить: а) максимальный объем посторонней сферической примеси, которую можно поместить в самое большое междоузлие; б) сколько соседних атомов будет касаться этой примеси? b а) а б) 6 соседей (4 видно на рисунке + 1 сверху+ 1 снизу).

Для самостоятельного решения Задача 1. Для кубической решетки с постоянной а заполнить таблицу. Характеристика Простая ПК КОЦ КГЦ Координационное число Атомный радиус Количество атомов в элементарном кубе Относительная плотность упаковки Координационное число – число ближайших соседей. Атомный радиус – половина расстояния между ближайшими соседями (в долях от ребра куба). Относительная плотность упаковки – доля объема, занятая сферическими атомами, по сравнению с общим объемом ячейки. Задача 2. Определить число атомов в 1 см 3 железа, если его плотность составляет 7, 8 г/см 3. Задача 3. Определить параметр a решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1, 55*103 кг/м 3.

Задача 1. Для кубической решетки с постоянной а заполнить таблицу. Характеристика Простая ПК Координационное число 6 Атомный радиус КОЦ КГЦ 8 12 2 4 а/2 Количество атомов в элементарном кубе 1 Относительная плотность упаковки Задача 2. Определить число атомов в 1 см 3 железа, если его плотность составляет 7, 8 г/см 3. б) Масса одного атома железа число атомов в 1 см 3:

Задача 3. Определить параметр a решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1, 55*103 кг/м 3.

Тепловые свойства твердых тел Задача 1. Оценить максимальное значение энергии фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К. Задача 2. Определить импульс фонона, соответствующего частоте ω=0, 1ωмакс, если дебаевская температура θ =100 К, а усредненная скорость звука в кристалле vзв=1380 м/с. Задача 3. Длина волны фонона, соответствующего частоте ω=0, 01ωмакс, равна 52 нм. Определить θ, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4, 8 км/с. Задача 4. Можно ли считать температуры 20 К и 30 К низкими для железа, теплоемкость которого при этих температурах равна 0, 226 и 0, 760 Дж/(моль∙К), соответственно. Задача 5. Оценить относительную долю решеточной теплопроводности чистых металлов, если Сф≈ 0, 01 СV; v. Ф=5∙ 103 м/с, vэл=5∙ 106 м/с,

Формулы по тепловой теории твердых тел Энергия и импульс фонона: ЕФ=ћω; (2. 1) Температура Дебая : (2. 2) Характеристическая дебаевская частота: Закон Дебая: Закон Дюлонга – Пти: Коэффициент решеточной теплопроводности: (2. 11) (2. 17) (2. 19)

Задача 1. Оценить максимальное значение энергии фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К. Решение. Температура Дебая: Задача 2. Определить импульс фонона, соответствующего частоте ω=0, 1ωмакс, если дебаевская температура θ =100 К, а усредненная скорость звука в кристалле vзв=1380 м/с.

Задача 3. Длина волны фонона, соответствующего частоте ω=0, 01ωмакс, равна 52 нм. Определить θ, если усредненная скорость звука в кристалле равна 4, 8 км/с. Решение.

Задача 4. Можно ли считать температуры 20 К и 30 К низкими для железа, теплоемкость которого при этих температурах равна 0, 226 и 0, 760 Дж/(моль∙К), соответственно. Решение. При низких температурах CV ~ T 3. Обозначим Т 1=20 К, С 1=0, 226; Т 2=30 К, С 2=0, 760. Если С 1 /С 2 = (Т 1)3/(Т 2)3, то эти температуры могут считаться низкими. CV CV=const CV ~Т 3 0 0 0, 5 1, 0 1, 5 Т/Θ Следовательно, эти температуры 20 К и 30 К могут считаться низкими для железа.

Задача 5. Оценить относительную долю решеточной теплопроводности чистых металлов, если Сф≈ 0, 01 СV; v. Ф=5∙ 103 м/с, vэл=5∙ 106 м/с, Решение. По (2. 22) имеем: Для решеточной теплопроводности ( «фононого газа» ) Для электронной теплопроводности ( «электронного газа» ) Отношение решеточной теплопроводности к электронной: Вывод: для чистых металлов доля решеточной теплопроводности невелика (порядка 5 %).

Статистический способ описания макросистемы (формулы) N/G 1 Условие невырожденности Условие вырожденности: N/G 1 (3. 8) (3. 9) Полная статистическая функция распределения: N(E)∙d. E = f(E)∙g(E)∙d. E (3. 11) Число состояний микрочастицы в интервале энергии от E до Е+d. E: (3. 17) Число электроннных состояний в интервале энергии от E до Е+d. E: (3. 19) Критерий невырожденности: Полная функция распределения частиц по энергиям Максвелла. Больцмана: Полная функция распределения Ферми–Дирака: (3. 22) (3. 26) (3. 32)

Задача 1. Доказать, что азот при нормальных условиях является невырожденным газом. Задача 2. Распределение Ферми для свободных электронов в металле при Т= 0 имеет вид: где dn. E – число электронов в единице объема с энергией от Е до Е+d. Е; m – масса электрона; ħ – постоянная Планка. Найти: а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, где их концентрация равна n; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия Тmax. Задача 3. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ меди, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при Т=0? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Задача 4. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при Т=0, если ЕФ=3, 07 э. В; ρNa=0, 97 г/см 3; μNa=23.

Задача 1. Доказать, что азот при нормальных условиях является невырожденным газом. Решение. Критерий невырожденности (3. 22): При нормальных условиях азот считается идеальным газом. Для идеального газа действуют соотношения: - 1 кмоль газа занимает объем 22, 4 м 3; - в этом объеме содержится молекул газа. 22, 4 м 3 молекул 1 м 3 молекул n (молекул в метре кубическом – концентрация) Отсюда При нормальных условиях Т≈ 300 К, отсюда Масса одной молекулы N 2: Проверяем выполнение условия невырожденности: - условие невырожденности выполняется!

Задача 2. Распределение Ферми для свободных электронов в металле при Т= 0 имеет вид: (аналог формулы (3. 32)) где dn. E – число электронов в единице объема с энергией от Е до Е+d. Е; m – масса электрона; ħ – постоянная Планка. Найти: а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, где их концентрация равна n; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия Тmax. Решение. а) Известно n, надо найти Тmax. N(E) (3. 34) 0 б) Известно Тmax, надо найти . По формуле усреднения (3. 39), имеем EF=Tmax E (3. 35)

1. Распределение Ферми для свободных электронов в металле при Т=0 имеет вид: (аналог формулы (3. 32)) где dn. Е – число электронов в единице объема с энергией от Е до Е+d. E; m – масса электрона. Найти: а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, где их концентрация равна n; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия Тmax. Решение: б) По формуле усреднения (3. 33):

Задача 3. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ меди, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при Т=0? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Решение. Для классической частицы Из задачи 1: По условию Ранее найдено для меди Т ≈ 32000 К

4. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при Т=0, если ЕФ=3, 07 э. В; ρNa=0, 97 г/см 3; μNa=23. Решение. ЕФ=3, 07 · 1, 6· 10 -19 Дж =4, 912· 10 -19 Дж; ρNa=0, 97· 103 кг/м 3. Число атомов натрия в 1 м 3 (концентрация): Из (3. 34)