Нечипоренко А В к филос н

Нечипоренко А. В. , к. филос. н. , Новосибирск, 2014 И. Лакатос Доказательства и опровержения

Формула Эйлера V-E+F = 2 для V вершин, Е ребер, F граней многогранника 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Многогранники Куб Треугольная призма Пятиугольная призма Четырехугольная пирамида Треугольная пирамида Пятиугольная пирамида Октаэдр «Башня» Усеченный куб F 6 5 7 5 4 6 8 9 7 V 8 6 10 5 4 6 8 9 10 E 12 9 15 8 6 10 12 16 15

Доказательство теоремы • Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Е и F не изме нятся, так что если и только если. V — Е + F = 2 для пер воначального многогранника, то. V — Е + F — 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба. ) • Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она дей ствительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2). • Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулиро ванной сети треугольники один за другим. Вынимая тре угольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V — Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получа ем один треугольник. Для него. V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу до гадку.

Примеры и контрпримеры Для каждого куба V — Е + F = 2, так что для полого куба F—Е+F=4 В обоих случаях V — Е + F = 3 V — Е + F = — 6 Определение 1. Многогранником на зывается тело, поверхность которого со стоит из многоугольников — граней. Определение 2. Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников. Определение 3. Под много гранникомподразумевается система многоуголь ников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Определение 4. Многоугольником называ ется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не име ют общих точек, кроме вершин. Определение 4‘. Многоугольником называ ется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра.

Примеры и контрпримеры V—Е+F=0 Эта картинная рама совсем не настоящий многогранник. Возьмите какую-нибудь точку в «тунне ле» — пространстве, ограниченном рамой. Проведите пло скость через эту точку. Вы найдете, что всякая такая пло скость будет всегда с картинной рамой иметь два по перечных сечения, составляющих два отдельных, совер шенно не связанных многоугольника! (рис. 10). Определение 5. В случае настоящего много гранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плос кость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоуголь ника. 16— 24 + 11 = 3

Примеры и контрпримеры V—Е+F=2

«Квазигенетическое доказательство» Для всякого многоугольника Е—V = 0 (рис. 17, а). Что случится, если я прикреплю к нему другой многоугольник (необязательно в той же плоскости)? Добавляемый мно гоугольник имеетn 1 сторон и n 1 вершин; если мы прикре пим его к первоначальному по цепочке изn 1' ребер и n 1'+1 вершин, то мы увеличим число ребер на n 1— n 1', а число вершин на n 1— (n 1' + 1); значит, в новой 2 -полигональной системе получится избыток в числе ребер над числом вершин: Е — V = 1 (рис. 17, 6); необычное, но совершенно допустимое прикрепление мы видим на рис. 17, в. «Прикреп ление» новой грани к системе будет Закрытие может быть произведено, если мы такую всегда увеличивать этот избыток на единицу; следовательно, для сосудообразную систему покроем много угольником построенной таким образом F-полигональной системы будет всегда E — крышкой; прикрепление такого покрываю щего —V=F— 1. многоугольника увеличит F на единицу без Для закрытой полигональной системы — и закрытого многогранника, измене ния. V или Е — построенной таким обра зом, V—E+F=2 Для многоугольников V = Е. Теперь многоугольник есть система многоугольников, состоящая из одного единственного многоугольника. Многогранник есть система многоуголь ников, состоящих более чем из одного многоугольника. Но для многогранников V E. В каком пункте отношение V=E отказалось служить при переходе от монополиго нальных систем к полигональным? Для треугольника V—E=0. Для одного ребра V — Е = 1 (рис. 18, а). Присоединение новых ребер всегда увеличивает на единицу и число ребер и число вершин (рис. 18, 6 и 18, в). Почему же тогда в полигональных системах ребер будет V — Е = 0? Это получается вследствие перехода от открытой системы ребер (которая ограничи вается двумя вершинами) к закрытой системе ребер (ко торая не имеет такой границы), так как мы «закрываем» открытую систему, вставляя ребро без добавления новой вершины. Таким образом, доказывается, но не наблюдается, что для многоугольников будет V—Е = 0. Для одной вершины V = 1 (рис. 19).

Новые примеры и теоретическое описание

Методологические замечания • дедуктивная догадка является самой лучшей, но наивная догадка лучше, чем отсут ствие всякой догадки. Нонаивная догадка - не ин дукция; такие вещи, как индуктивные догад ки, не существуют ! • наивные догадки не являются индуктивными догадками; мы приходим к ним путем испытаний и ошибок, через предположения и опровержения. • математическая эвристика очень похо жа на научную эвристику — не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказа тельствами и опровержениями.