Назначение и место систем Maple Система компьютерной математики

Назначение и место систем Maple Система компьютерной математики класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как система компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений. Заслуженной популярностью системы Maple пользуются в образовании многих стран мира. Свыше 300 самых крупных университетов мира (включая наш МГУ им. Ломоносова) взяли эту систему на вооружение и используют ее в научных и учебных расчетах. Число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило миллион.

Maple объединяет в себе: мощный язык программирования редактор для подготовки и редактирования документов и программ мощная справочная система со многими тысячами примеров есть библиотеки встроенных и дополнительных функций есть пакеты функций сторонних производителей и поддержка некоторых других языков программирования и программ

Стандартные функции в Maple

Упрощение выражений осуществляется командой simplify(eq) :

Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq) .

Разложение многочлена p на множители осуществляется командой factor(p).

Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal(eq):

Если задана рациональная дробь вида a/b, то можно выделить ее числитель и знаменатель с помощью команд numer и denom, соответственно.

Решение в численном виде – функция fsolve Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в форме вещественных чисел удобно использовать функцию fsolve fsolve(eqns, vars);

Способы задания функций Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-то выражению присваивается имя

Если задать конкретное значение переменной х, то получится значение функции f для этого х

Способ 2. В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида посредством команды > piecewise(cond_1,f1, cond_2, f2, …) ;

Двумерные графики Команда plot и ее параметры. title=”text”, где text-заголовок рисунка coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы). axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна. 5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками). 6) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

7) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1). 8) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию). 9) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Построить график функции жирной линией в интервале от -4p до 4p .

Построить график разрывной функции

Построить график параметрической кривой

Построить в полярных координатах график кардиоиды с названием

Построить два графика на одном рисунке: график функции и касательную к нему

Построение графика функции, заданной неявно Функция задана неявно, если она задана уравнением . Для построения графика неявной функции используется команда implicitplot из графического пакета plots: implicitplot(F(x,y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2).

Построить график неявной функции (гиперболы):

Трехмерные графики. График поверхности, заданной явной функцией: plot3d(f(x,y), x=x1…x2, y=y1…y2, options); График поверхности, заданной параметрически: plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2); График поверхности, заданной неявно: plot: implicitplot3d(F(x,y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2)

График пространственных кривых: spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2), где переменная t изменяется от t1 до t2.

Выполнить построение двух поверхностей Установите переменный цвет поверхностей как функцию

Построить шар

Построить пространственную кривую:

Вычисление пределов

Решение дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств. Это анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики) – полет тела, брошенного под углом к горизонту; вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов).

Решение дифференциальных уравнений Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи: dsolve(ODE); dsolve(ODE, переменная); dsolve({ODE, нач_услович}, переменная);

Примеры решения дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов

Примеры решения дифференциальных уравнений Используя функцию dsolve, получим его общее аналитическое решение:

Примеры решения дифференциальных уравнений В решении присутствует произвольная постоянная _С1. Но ее можно заменить на постоянную N(0)=N0, означающую начальное число атомов в момент времени t=0

Примеры решения дифференциальных уравнений

Визуализация решения

Другие примеры решения ОДУ первого порядка

Другие примеры решения ОДУ первого порядка

Другие примеры решения ОДУ первого порядка

Решение ДУ второго порядка для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ в ней можно задать производную более высокого порядка

Пример решения физической задачи

Численное решение дифференциальных уравнений Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, и достаточно получить результаты в виде графических зависимостей. В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция dsolve с параметром numeric