Нахождение наименьших и наибольших значений функций без помощи

Нахождение наименьших и наибольших значений функций без помощи производных.

1) Возрастание и убывание функции. 1)

Возрастание и убывание функции.

Возрастание и убывание функции. , 2) Функция f возрастает если из следует, что Функция f убывает на этом множестве, если из следует:

, Нестрого возрастающие (убывающие) функции ). , , Определение 2. Функцию f называют нестрого возрастающей ( соответственно нестрого убывающей) на X, если из , следует: (соответственно ).

Монотонная функция. Функция , где , возрастает на луче [0; +∞). Доказательство монотонности функции : 1)Если функция f возрастает на множестве X, то для любого числа c функция f+c тоже возрастает на X. 2)с и c>0, то функция cf тоже возрастает на X. 3)Если функция f возрастает на множестве X, то функция –f убывает на этом множестве. 4)Если функция f возрастает и сохраняет знак на множестве X, то функция убывает на этом множестве. 5)Если функция f и g возрастают на множестве X, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве. 6) Если функция f и g возрастают и неотрицательны на множестве X, то их произведение fg тоже возрастает на X. 7) Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве X и n – натуральное число, то функция тоже возрастает на X. 8) Если функция f возрастает на множестве X, а функция g возрастает на множестве значений E(f) функции f, то композиция g◦f этих функций возрастает на X.

Докажем, что функция убывает на положительной полуоси [0; +∞). Теми же свойствами обладают функции и на [0; +∞), а функция убывает. Но тогда возрастает

. График ограничен прямыми y=0 и y=1. Для всех X имеем Часть графика ограничивается прямыми y=-4 и y=4. Определение 3. Функцию f называют ограниченной снизу ( соответственно сверху) на множестве X, ( соответственно если существует такое число M, что на X выполняется неравенство ). Функцию ограниченную на X снизу и сверху, называют ограниченной на этом множестве

Функция ограничена снизу функция ограничена снизу на множестве R т. к. 1, но не ограничена сверху на R не ограничена на промежутке (0; 1), так как при x, достаточно близких к нулю, она принимает сколь угодно большие значения; на любом отрезке вида [e; 1], где e>0, эта функция ограничена.

Квадратичная функция. Если а > 0, то её ветви направлены вверх. Если а < 0, то её ветви направлены вниз. Координата (абсцисса) вершины параболы

Сложные функции. Точки наименьших (наибольших) значений квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать наименьшие (наибольшие) значения для квадратного трехчлена, а не для данной функции.

Найдите наибольшее значение функции 13 + 6 х – х2 а = – 1 < 0 График - парабола ветви направлены вниз Вершина параболы Проверим : 13 + 6∙ 3 – 32 = 13 + 18 – 9 = 22 > 0 Ответ: 3

Найдите наименьшее значение функции х2 + 8 х + 185. График- парабола ветви направлены вверх а = 1 > 0 Абсцисса вершины : Ответ: 13 х = 4

Найдите наименьшее значение функции: y = x 2 + 2 x + 9. График — парабола ветвями вверх, т. к. a = 1 > 0. Вершина параболы ymin = y(− 1) = log 2 ((− 1)2 + 2 ∙ (− 1) + 9) =. . . = log 2 8 = 3 Ответ: 3.

Найдите наибольшее значение функции y= Ее график парабола, ветви направлены вниз так как a=-1< 0. Наибольшее значение Ответ: 9.

Модуль.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции а) на отрезке [ 2; 1] ; б) на луче [0; ); в) на всей числовой оси. а) x 1 б) y=5 x-16 В) При x , как и при x , функция стремится при x функция стремится к x 3 к наименьшее значение, наибольшее значение. x 2, 5, x 1, x 0, 5, x 3 равное 3, 5 , x 0, 5 x 3. достигается в точке y(-2)=0; y(-1)=1; y(0, 5)=-3, 5; y(1)=-3 x 0, 5. Так как y(0)=-2; y(0, 5); y(3)=-1 , наибольшее и наименьшее то искомое наименьшее значения функции на отрезке [ значение функции равно 3, 5 2; 1] равны 1 и 3, 5.

Неравенство коши. равенство в (1) достигается лишь в случае n = 2; 3; 4. Пусть a > 0 Равенство в нём достигается при a = b = c.

Найдите наименьшее значении функции. Ответ:

Используемая литература. Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдачи единого государственного экзамена по математике в 2012 году. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2012.