Наверно многие заметили что то общее между картинками

Наверно, многие заметили что то общее между картинками показанными ранее. Некий часто встречающийся узор, органическую структуру в клетках, окраске животных, архитектуре. Все эти структуры созданы с помощью популярной во многих областях диаграммы Вороного Она позволяет легко создавать параметрические (задаваемые набором легко изменяемых параметров) структуры, которые будут выглядеть, как органические формы.

Диаграмма Вороного

1 Определение 2 Немного истории 3 Применение алгоритма 4 Алгоритмы построения

Основные понятия Перед тем, как начать разбираться, что такое — диаграмма Вороного, вспомним некоторые понятия нужных нам геометрических объектов: Простой многоугольник — это многоугольник без самопересечений. В диаграмме используются именно они. Невыпуклый многоугольник — это многоугольник, в котором найдутся такие две вершины, что через них проводится прямая, пересекающая данный многоугольник где-либо ещё, кроме ребра, соединяющего эти вершины Выпуклый многоугольник — это многоугольник, у которого продолжения сторон не пересекают других его сторон

• Именно из выпуклых многоугольников и будет состоять диаграмма. Почему именно из выпуклых? Потому что они являются ничем иным, как пересечением полуплоскостей, которые являются выпуклыми фигурами. • Раз уж мы начали говорить про полуплоскости, то можно плавно перейти и к самой диаграмме — она состоит из так называемых локусов — областей, в которых присутствуют все точки, которые находятся ближе к данной точке, чем ко всем остальным. В диаграмме Вороного локусы являются выпуклыми многоугольниками. • Точку, для которой строится локус, называют сайтом (site).

Что такое диаграмма Вороного? Это разбиение плоскости с заданными «главными» точками на такие участки (локусы) для каждой «главной» точки (сайту), что все точки внутри каждого такого участка будут ближе к «главной» точке , чем к любой другой. Попробуем понять это, начертив — диаграмму Вороного.

Немного истории • Первое использование этой диаграммы встречается в труде Рене Декарта (1596 -1650) «Начала философии» (1644). Декарт предложил деление Вселенной на зоны гравитационного влияния звезд.

• Спустя два века, известный немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805 — 1859) ввел диаграммы для двух- и трехмерного случаев. Поэтому их иногда называют диаграммами Дирихле

• В 1908 году русский математик Георгий Феодосьевич Вороной (16 апреля 1868 — 7 ноября 1908) описал эту диаграмму для пространств больших размерностей, с тех пор диаграмма носит его фамилию.

Применение диаграммы Воронова • Применение диаграммы очень обширно, затронем только несколько примеров: • диаграмма в картографии — для очерчивания границ регионов и дальнейшего анализа на их основе. Да и вообще, любые географические диаграммы, показывающие распределение чего либо, можно наглядно можно проиллюстрировать с помощью раскрашенных диаграмм Вороного, и там будет виден переход нужного нам показателя (например, температуры)

• Геолокационный софт использует диаграммы Вороного. Геолокационные рекомендательные системы могут использовать диаграмму Вороного для определения, например, ближайшего к вам продуктового магазина, для различного поиска и анализа местоположения. • широко используется диаграмма при моделировании органических систем в биологии. • В промышленном дизайне

• Диаграмма часто используется дизайнерами и архитекторами для облегчения и украшения конструкций. Органические формы хорошо сочетаются с «зелеными» стенами, выглядят одновременно природно и футуристично. • Параметризм стиль в котором используется диаграмма. • Развитие компьютерных технологий и увеличение вычислительных мощностей компьютеров открывают огромные возможности для дальнейшего развития параметрического дизайна. С их помощью архитекторы, дизайнеры, скульпторы и художники обретают больше свободы в создании сложных форм.

Heydar Aliyev Center / Zaha Hadid Architects

• Метод Вороного был усовершенствован Борисом Делоне. Который ввел понятие триангуляции. С помощью триангуляции Делоне можно описать практически любой «естественный» алгоритм. Мощность современных компьютеров уже достаточна для использования так называемых генетических алгоритмов с миллионами возможных комбинаций параметров. То, что получается на выходе, скорее напоминает нерукотворные творения

• Эстетика параметризма проникла и в современные интерьеры. Плавные лини, изогнутые геометрические паттерны создают ощущение сюрреализма. Стены и потолки перестают быть плоскими и статичными. Они открывают портал в иные измерения, обнажая кривизну пространства и времени в которых мы живем.

Алгоритмы построения • Алгоритм построения диаграммы Вороного «в лоб» • Алгоритм построения диаграммы Вороного путём пересечения полуплоскостей • Алгоритм Форчуна построения диаграммы Вороного на плоскости • Рекурсивный алгоритм построения диаграммы Вороного