Научно-исследовательская работа на тему «Математическая индукция» Выполнил ученик 11 б класса Матюшин Евгений Научный руководитель: кандидат физико - математических наук Быков Сергей Валентинович Брянск 2011
Задачи НИР n n n Изучить общий принцип и метод математической индукции. Развивать способности к математической деятельности. Развивать логическое мышление. Научиться применять метод математической индукции в задачах на суммирование и для доказательства тождеств, к доказательствам неравенств, к задачам на делимость. Исследовать на наглядном примере метод математической индукции. Предоставить возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.
1=12 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 Гипотеза 1+3+5+…+(2 n-1)=n 2
Метод математической индукции был разработан Б. Паскалем в 1665 году. Термин «математическая индукция» впервые был введён в 1838 году в статье де Моргана в Британской энциклопедии там была следующая запись: если утверждение справедливо при n = 1 и из предложения, что оно верно при n = k, вытекает его справедливость и при n = k+1, то утверждение верно для любого натурального числа.
Суть метода математической индукции Метод математической индукции один из методов доказательства в математике. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел или истинность утверждения начиная с некоторого числа n.
Схема применения метода: 1) База индукции. Проверить истинность утверждения при n=1. 2) Индукционное предположение. Предположим истинность утверждения при n=k. 3) Индукционное доказательство. Докажем истинность утверждения при n=k+1. Тогда из этого следует вывод: утверждение истинно для любого натурального числа n. 1 2 3 4 5 … … … n n+1
Рассмотрим метод математической на примере принципа домино: Который заключается в том, что если выставить N количество домино так, что бы при падание одной кости обязательно падала стоящая за ней кость, то при падение первой упадёт N домино.
Применение м. м. и. 1) Применение метода математической индукции при решении задач на делимость. 2) Применение метода математической индукции к суммированию рядов. 3) Применение метода математической индукции для установления справедливости гипотез. 4) Применение метода математической индукции к доказательству неравенств. 5) Применения к доказательству формул дифференцирования. 6) …. .
М. м. и. при решении задач на делимость Доказать, что если n – натуральное число, то число четное. 1)База индукции. При n=1 утверждение истинно: четное число. 2)Индукционное предположение. Предположим, что - четное число. 3)Индукционное доказательство. . Так как и 2 k – четные числа, то и четное. Значит по методу математической индукции утверждение верно при любом натуральном n.
Применение м. м. и. к суммированию Доказать, что сумма рядов чисел натурального n первых ряда равна. 1)База индукции. При n=1 утверждение верно, т. к. . 2)Индукционное предположение. Предположим что утверждение верно при n=k: . 3)Индукционное доказательство. Докажем, что утверждение верно при n=k+1: Тогда по м. м. и. утверждение верно для n€ N.
Гипотеза 1+3+5+…+(2 n-1)=n 2 1)База индукции. Проверим истинность гипотезы при n=1: 1=1² - верно. 2)Индукционное предположение. Предположим, что при n=k: 1+3+5+7+…+(2 k-1)=k². 3)Индукционное доказательство. Докажем, что 1+3+5+7+…+(2 k-1)+(2 k+1)=(k+1)² n € N. Так как 1+3+5+7+…+(2 k-1)+(2 k+1)=k²+ +2 k+1=(k+1)². Тогда по м. м. и. утверждение верно для любого n€N.
Гипотеза n)/=nxn-1 (x Гипотеза доказана! Докажем данную гипотезу с помощью метода математической индукции
Ну а что же если слагаемых nое число? ? ? Доказательство То получим: (u 1 u 2…un)/=u 1/u 2…un+ +u 1 u 2/…uдоказать данную гипотезу с +u 1 u 2…un/ Попробуем n Вам метода математической известна формула помощью всем хорошоu )/=u /u u индукции!!! То что (u u )/=u 2/u +u u /2 3+u 1 u 2/u 3+ получим: (u 1 u 3 1 А если слагаемых 3? ? ? 1 2 1 2 / +u 1 u 2 u 3 Гипотеза доказана!!!
Список использованной литературы n Вавилов В. В. и др. Задачи по математике / Вавилов В. В. , Мельников И. И. , Олехник С. Н. , Пасиченко П. И. - М. : Наука. - 1987. - С. 396. n Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика/ Пособие для учителей. - М. : Просвещение. – 1976. - С. 4 - 18. n Головина Л. И. , Яглом И. М. Индукция в геометрии. - М. : Госуд. издат. т-теор литер. - 1956 - С. 100. n Пособие по математике для поступающих в вузы/ Под ред. Яковлева Г. Н. - М. : Наука. – 1981. - С. 47 -51. n Рубанов И. С. Как обучать методу математической индукции/ Математика в школе. - N 1. – 1996. - С. 14 -20. n Соломинский И. С. Метод математической индукции. - М. : Наука. - 1974. - 63 с. n Соломинский И. С. , Головина Л. И. , Яглом И. М. О математической индукции. М. : Наука. – 1967. - С. 7 -59.
Итоги Мы изучили общий принцип и метод математической индукции. Мы развили способности к математической деятельности. Мы развили логическое мышление. Мы научились применять метод математической индукции в задачах на суммирование и для доказательства тождеств, к доказательствам неравенств, к задачам на делимость. Мы исследовали на наглядном примере метод математической индукции. Мы проанализировали свои способности к математической деятельности.
Спасибо за внимание!
Скачать презентацию Научно-исследовательская работа на тему Математическая индукция Выполнил ученик
Презентация на тему Математическая индукция 3.ppt