Натуральні числа 2 Геометричні фігури і величини 3

Натуральні числа. 2. Геометричні фігури і величини. 3. Дробові числа. l звичайні дроби; l десяткові дроби; 4. Відсотки. 1.

1. Запис натурального числа • Десяткова система числення. • Двійкова система числення. • П’ятіркова система числення. • Інші системи числення. 2. Знаки арифметичних дій 3. Перші лічильні прилади 4. Вимірювання величин

n. Десяткова система числення виникла в Індії приблизно 1500 років тому. n. Коли Північну Індію завойовували араби, то найціннішим скарбом , який вони звідти вивезли, були не знамениті індійські тканини, прянощі і дорогоцінні камені, а саме арифметичні відкриття індійських учених.

§ Великою заслугою арабських вчених була популяризація й поширення десяткової позиційної системи числення в країнах Європи. Абу-Рейхан. Мухаммед ібн-Ахмед аль-Біруні (4. 10. 97313. 12. 1048) Абу-л-Фатх Омар ібнІбрахім Хайям (1048 -1131)

Її виклав у своєму творі „ Книга про індійський рахунок” видатний таджицький математик астроном і географ аль- Хорезмі Абу Абдалла Мухаммед бен Муса ал- Маджусі ( 787 - бл. 850).

§ Народився цей вчений у Хорезмі, жив і працював при дворі халіфів у Багдаді, де очолював своєрідну академію – „Будинок мудрості”. Від латинізованої форми прізвища ал – Хорезмі походить сучасний термін „ алгоритм”. Назва його праці „ Кітаб ал- джебр алмукабала” дала назву великому розділу сучасної математики – алгебрі.

§ Одна з найдавніших праць з арифметики, яка надійшла до нас, являється підручник „Питання і відповіді” армянського філософа і математика Ананія Ширакаци, який жив у VІІ столітті. У його книзі застосовується десяткова алфавітна нумерація.

§ Десяткова алфавітна нумерація була поширена і в Київській Русі ( ІХ – ХІІ ст. ). Давньославянська алфавітна нумерація була заснована на кирилиці і глаголиці. Найбільшого поширення набула кирилицька нумерація.

§ Перший математичний твір, який дійшов до нас, - „ Учение им же ведати человеку числа всех лет”. Написаний він Кириком Новгородським ( нар. 1100 р. ) і присвячений хронологічним обчисленням.

Давньоруський запис 1054 року на стіні Софіївського собору у Києві, що містить дату 6562.

§ І все ж найпоширенішою системою числення, до якої в різні часи прийшли практично всі народи, стала десяткова система числення. Зараз її прийнято в усьому світі.

§ Безперечно, основною причиною вибору саме числа 10 за основу системи числення була наявність у кожної людини її первісного персонального комп’ютера – пальців на руках.

Дуже влучно про це висловився відомий французький математик Анрі Лебег (1875 -1941): „Можливо, що якби людина мала одинадцять пальців, то була б прийнята одинадцяткова система числення”.

1. Натуральні числа. 2. Геометричні фігури і величини. 3. Дробові числа. • звичайні дроби; • десяткові дроби; 4. Відсотки.

Ø Проте найдавнішою з усіх була, мабуть, лічба парами, тобто по 2. Дуже ймовірно, зокрема, що саме такою двійковою системою числення на початках користувалися давні єгиптяни.

Ø Принаймні, про це свідчать винайдені ними способи множення та ділення чисел, ґрунтуються на послідовному подвоєнні одного з множників та дільника і тому не потребують таблиці множення.

Ø Про практику лічби парами в Давній Русі свідчить те, що у старослов’янській мові поряд з одниною і множиною для відмінювання іменників існувала ще й особлива форма двоїни.

Ø Хто б у ті далекі часи міг подумати, що ця найпримітивніша система числення колись стане ”робочою” системою майбутнього дива – комп’ютера! „

Натуральні числа. 2. Геометричні фігури і величини. 3. Дробові числа. • звичайні дроби; 1. • десяткові дроби; 4. Відсотки.

Явно виражену практичну лічбу п’ятірками описав у ХІХ столітті видатний мандрівник Миколайович Миклухо-Маклай (1846 -1888 ).

l За його свідченням, улюблений спосіб лічби у туземців Нової Гвінеї полягав у тому, що „ папуас загинає один за одним пальці руки, причому вимовляє певний звук, наприклад, „бе, бе”. . . l Долічивши до п’яти він говорить „ ібон-бе” ( рука ). Потім він загинає пальці другої руки, поки не доходить до „ ібон-алі” ( дві руки ).

l Потім іде далі, поки не доходить до „ самба-бе” і „самба-алі” (одна нога, дві ноги). Якщо потрібно рахувати далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого”.

Сліди п’ятіркової системи числення збереглися і в уживаній тепер римській письмовій нумерації. Про це свідчить у цій нумерації індивідуальних знаків для чисел 5, 500 – відповідно V, L і D.

l Форма знака V нагадує кисть руки з витягнутими пальцями. А знак Х для числа 10 у цій системі нагадує і об’єднання двох перехрещених рук, і просте об’єднання двох менших знаків для числа V.

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. l звичайні дроби; l десяткові 4. Відсотки. дроби;

n Вавилонська, хоча спочатку і не послідовно позиційна, шістдесяткова нумерація сформувалася близько ХХХ – ХVІІІ ст. до н. е. Нуль використовували тільки між розрядами і ніколи не ставили, коли запис числа закінчувався одним або кількома нулями.

n Єгипетська, ієрогліфічна, чисто адитивна, без знака нуля система виникла близько ХХХ ст. до н. е.

n Іонійська алфавітна, непозиційна, без знака нуля виникла близько V ст. до н. е.

n У багатьох народів помітні сліди використання дванадцяткової системи числення. Про це свідчить, зокрема, і досі поширена лічба деяких предметів дюжинами ( тобто по 12 ).

n Так, наприклад, по 12 штук комплектують олівці і фломастери, кухонні сервізи, стільці. Використовуються також і великі дюжини, або гроси (gross - великий ). Грос налічує 12 по 12, тобто 144 предмети.

n Найбільшою ж системою числення з тих, що були у широкому практичному вжитку, виявилася шістдесяткова система давніх вавілонян. Сліди цієї системи, основою якої є лічба групами по 60 одиниць, збереглася у сучасному поділі години на 60 хвилин , а хвилини – на 60 секунд.

n Так само діляться на менші частини одиниці вимірювання кутів: градус – на 60 мінут, а мінута – на 60 секунд. Такі точні вимірювання кутів потрібні, наприклад, в астрономії.

І зараз, коли ми пишемо 3 год 21 хв 47 с, то також використовуємо шістдесяткову систему числення.

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. n звичайні дроби; n 4. десяткові дроби; Відсотки.

l Для полегшення обчислень у Древньому Вавилоні були створені різні таблиці , у тому числі і таблиці множення. У ряді країн давнього світу застосовувався перший лічильний прилад – абак.

l Абак – ( з латинського abacus – лічильна дошка ) – лічильна дошка , яка застосовувалася для арифметичних обчислень у Давній Греції, Римі, потім Західній Європі до 18 ст.

l Дошка розділялася на полоси, обчислення відбувалося пересуванням предметів (каменів і т. д. ), які знаходилися у полосах.

l. У середньовічній Європі використовувалися римські цифри, але оскільки „ працювати” з ними важко, безпосередньо обчислення виконувалися знову - таки на – абаку.

l. У ХІІ ст. була переведена на латинську мову книга Аль. Хорезмі, завдяки чому з нею познайомилися європейці. l З цього часу в Європі почався поступовий перехід на арабські цифри і нову систему числення. Але шанувальники абака не спішили здавати позиції. Нове приживалося дуже важко. Боротьба між абацистами і алгоритмиками закінчилася тільки у 18 ст. перемогою нової нумерації.

l Абацисти вважають, що абак дав поштовх до введення цифр у Західній Європі.

Французький математик Герберт (бл. 930 -1003 ) під час обчислення на абаку використовував спеціальні жетони з написами, зробленими з допомогою ним же винайдених цифр апексів ( від лат. apices – письмена ). Від них, вважають деякі вчені, й походять сучасні цифри.

l На Русі за часів Івана ІІІ було винайдено рахівницю. Первісна її форма – дощаний рахунок – мала вигляд дошки або рамки з кульками, нанизаними на шнурки. На ній виконували чотири арифметичні дії з натуральними і дробовими числами.

l За вироком інквізиції лічильну машину професора Тюбінгенського університету Вільгельма Шіккарда (1592 -1635) було спалено. До нас дійшли тільки авторські рисунки цього чудового винаходу.

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. l звичайні дроби; l 4. десяткові дроби; Відсотки.

ØСучасні знаки арифметичних дій з’явилися в 15 -17 ст. Ø„ +” і „ -“ зустрічаються в рукописах 15 ст. ØЗнак „х” ( помножити ) ввів англійський вчений У. Оутред (1574 – 1660 )

У книзі Яна Відмана „ Швидкий і красивий рахунок”, яка була видана в 1494 р. в Лейпцігу, вперше в історії математики було використано знаки „+” та „-”.

Ø Знак „: ” і термін „ частка” був введеним Леонардом Пізанським (1202 ); Ø „-” горизонтальна риска У. Джонсоном (1633 ); Ø Терміни „ділення”, „ділене”, „дільник” вперше застосував в кінці 10 ст. Герберт; Ø відповідні російські терміни ввів Л. Ф. Магницький (1703).

„∙ ” (помножити) ввів німецький математик Г. Лейбніц (1646 – 1716). Він же застосовував „: ” для позначення дії ділення. Ø Знак

Речення “Сума чисел два і три дорівнює п'яти “ можна записати різними мовами: російською, французькою, англійською і т. д. Але це речення можна записати таким чином, що воно буде зрозумілим будь-якій людині, в якій би країні вона не жила. Ось цей запис: 2+3=5. Його зрозуміє кожний, адже переклад зроблено математичною мовою.

l Як і будь-яка мова, вона має свій алфавіт. Його букви прийнято називати математичними символами ( знаками). Цікаво, математичний алфавіт включає в себе літери латинського і грецького алфавіту. Буквена символіка використовується для позначення точок, відрізків, прямих і кутів. Будь-яка мова розвивається.

Так само й відомі тобі математичні символи + : - * =><( ) у середньовіччі мали зовсім інший вигляд.

ØНаприклад, у XIV ст. для позначення ”+” використовували букву Р – першу букву латинського слова “plus”. ØІснує кілька гіпотез походження сучасного знака “+“. ØНаприклад, вірогідним здається пояснення , що цей знак є скороченим записом латинського слова “et”, що у перекладі означає “і”. Спочатку писали “et”, потім “t” і, нарешті, “+”.

Цікаво, що знак “=“, хоча й з'явився у XVI ст. , але міцно укріпився лише у XVIII ст. Це пов'язано з тим, що деякі математики знак рівності використовували для позначення різниці. Наслідуючи французького вченого Рене Декарта, у XVII ст. знак рівності зображували так

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. l звичайні дроби; l 4. десяткові дроби; Відсотки.

На вавілонських глиняних табличках і єгипетських папірусах зустрічаються не тільки натуральні числа, але й дроби.

Дроби були потрібні для того, щоб виразити результат вимірювання довжини, маси, площі у випадках, коли одиниця вимірювання не поміщалася в дану величину ціле число разів. Тоді вводили нову, меншу одиницю вимірювання.

Назви цих нових одиниць вимірювання і стали першими назвами дробів. Наприклад, дріб ½ до сих пір називають „половина”; у римлян слово „унція” спочатку було назвою дванадцятої частини одиниці маси, але потім унція стала означати 1/12 частину будьякої величини.

У Давньому Вавилоні, як ви знаєте, дроби були шестидесятковими , тобто записувалися, наприклад, у вигляді 4; 52; 03. Це означало:

У єгиптян були особливі знаки для дробів 1/2 і 2/3 і загальний спосіб запису для частинок. Всі інші дроби вони записували у вигляді суми частинок. Наприклад,

Запис дробів за допомогою чисельника і знаменника з’явився в Древній Греції, тільки греки знаменник записували зверху, а чисельник - знизу. Велику роботу у розвитку вчення про звичайні дроби зробили індійські математики. У їх працях зустрічаються як основні дроби виду ⅛, ⅝ і т. д. , так і похідні від них, тобто дроби з будь-яким чисельником.

n. Сучасне позначення звичайних дробів (тільки без дробової риски) було прийнято в Індії у VІІІ ст. § Рискою для відокремлення чисельника від знаменника користувалися ще Герон Олександрійський (І ст. ) – відношення – і Діофант ( ІІІ ст. ).

Потім риска дробу зустрічається в арабського вченого Хассара (ХІІ ст. ), у Леонардо Фібоначчі (ХІІ–ХІІІ ст. ), після Леонардо дробова риска стала використовуватися в усіх математичних працях.

1. Натуральні числа. 2. Геометричні фігури і величини. 3. Дробові числа. n звичайні дроби; десяткові дроби; 4. Відсотки. n

l Десяткові дроби і дії з ними в систематичному вигляді описав середньоазіатський вчений Джемшид Гиясседдін Каши у книзі „Ключ до арифметики” (1427).

l Цей математик і астроном працював у Самаркандській обсерваторії Улугбека. Народився в Кашані ( нині Іран ). У книзі „ Ключ до арифметики” вказав прийоми добування коренів, заснованих на застосуванні формули бінома для натурального показника. У „Трактаті про кола” ( бл. 1427 ) обчислив значення числа π з 17 вірними десятковими знаками.

l. У Європі вчення про десяткові дроби вперше ввів фламандський вчений Симон Стевін у книзі „ Десятина” (1585 ). Він народився у Брюгге. У молодості працював рахівником. Викладав у Лейденському університеті, служив інженером в армії принца Оранського. Крім книги „Десятина”, написав книгу „Математичні коментарії” в 5 -томах (1605 - 1608 ).

l Каші і Стевін записували цілу і дробову частину в одну строку, але без 12│06 десяткової коми. або Наприклад, Каши для 12 06 відокремлення цілої частини від дробової застосовував вертикальну риску або записував їх різними чорнилами.

l Десяткову кому ввели в користування англійський математик Дж. Непер ( 1550 - 1617 ) і німецький астроном І. Кеплер ( 1571 - 1630).

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. l звичайні дроби; l 4. десяткові дроби; Відсотки.

l Із-за того, що в дванадцятковій системі числення немає дробів із знаменником 10 або 100, римляни не могли ділити на 10, 100 і т. д. При діленні 1001 асса ( асс - 1/12 частина) на 100 один римський математик спочатку отримав 10 ассів, потім роздробив асс на унції (дванадцята частина асса ) і т. д. Але від остачі він не позбувся. Щоб не мати справу з такими обчисленнями, римляни стали використовувати відсотки.

l Вони брали з боржника надлишок. При цьому говорили: не „лихва составит 16 сотых суммы долга”, а „на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы”. І сказано теж саме, і дробів використовувати не прийшлося! Так як слова „на сто” звучали по-латині „про центум”, то соту частину і стали називати процентом або відсотком (%).

l І хоча тепер дроби, а особливо десяткові дроби, відомі всім, відсотки все-таки застосовуються і в фінансових розрахунках, і в плануванні, тобто в різних сферах людської діяльності. А раніше застосовували ще і проміллі – так називали тисячні долі. На відміну відсотків, які позначаються знаком %, проміллі позначаються ‰.

1. Натуральні числа. 2. Геометричні фігури і величини. 3. Дробові числа. • звичайні дроби; • десяткові дроби; 4. Відсотки.

l У найдавніші часи міри довжини у різних народів були найрізноманітні. Наприклад, у давньоруських задачах використовувалися такі міри довжини: сажень простий – 152 см , сажень „лікоть” – 108 см , стопа – 76 см, лікоть – 54 см, нога – 27 см, п’ядь мала - 19 см, сажень косий – 216 см, сажень морський – 183 см. Давньоруські міри були пов’язані з різними видами господарської діяльності.

l Навіть в одній країні спільних мір не було, тому часто виникали суперечки. Одним з досягнень Великої французької буржуазної революції явилося рішення ввести на території республіки єдину метричну систему мір.

l Особливі заслуги у підготовці закону про нові міри належать французькому математику Ж. Лагранжу (1736 – 1813) і політичному діячу П’єру Дювернуа ( 1763 – 1827). В 1792 році було прийнято за одиницю довжини 1/ 10000000 частину чверті паризького географічного меридіана.

l Вимірювання частини цього меридіану між містами Дюнкерком і Барселоною майже 6 років проводили двоє французьких вчених – П. Мешем і Ж. Деламбр.

l. У Росії першим застосував метр за одиницю довжини Н. І. Лобачевский (1792 – 1856 ).

l Ініціаторами введення метричної системи мір, як міжнародної, були російські вчені, особливо Б. С. Якобі (1801 – 1874 ).

l Дозволу на введення метричної системи міри з великим зусиллям добився в 1889 році Д. І. Менделєєв. Обов’язковою ця система стала тільки після революції 1917 року.

1. 2. 3. Натуральні числа. Геометричні фігури і величини. Дробові числа. l звичайні дроби; l 4. десяткові дроби; Відсотки.

l Послідовники Фалеса, які займалися геометрією, опинилися у тому ж складному становищі, що і всі попередники. l Так як до Фалеса ніхто в Греції геометрією не займався, у геометричних фігур не було назв. Греки почали називати фігури словами, які позначали навколишні предмети схожої форми.

l Наприклад, ялинкова шишка з грецької означає „конос”. Тому і тіла такої форми отримали назву конуса.

l М’яч з грецької має назву сфера. l Слово „паралельний” походить від грецького „паралелос” – іти рядом. Від нього вже походить слово „ паралелепіпед” і інші.

l Дали назву і частинам площини. У фігури, зображеної на рисунку, дві паралельні сторони. Такий вигляд збоку має стіл. Його спочатку назвали “тетрапеціон” – чотириногий, а потім скоротили до „трапезіон”. Тому фігуру такого виду назвали трапецією.

l Деякі назви прийшли до нас з латинської мови. Наприклад, слово „перпендикуляр” по латині „пендула” – маятник. Отже, колись перпендикулярним називали просто вертикальні напрями.

l Від латинського „радіус” – промінь, походить слово радіус в геометрії, слово діаметр знову грецьке: воно походить від слів „діа” – два і „метріо” – вимірюю і означає „ділити навпіл”.