Напряжение Напряженное состояние в точке тела Напряжение

Напряжение. Напряженное состояние в точке тела

Напряжение - это предел отношения внутренней силы к площади, на которой она действует при условии, что площадь стремится к нулю. Р – полное напряжение [Н/м 2=Па] Напряжение – это интенсивность внутренних сил по сечению.

Нормальное напряжение – это проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению. (σ) Касательное напряжение – это проекция вектора полного напряжения на плоскость сечения. ( ) Р

Индекс нормального напряжения соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения. Индексы касательного напряжения проставляются следующим образом: первый индекс соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения, в котором лежит касательное напряжение, второй индекс соответствует оси, которой параллельно касательное напряжение. Y zy zx X z Z =

Совокупность напряжений по всем плоскостям, проходящим через заданную точку, называется напряженным состоянием в точке тела. xy σу ух уz xz σx В общем случае в точке твердого деформированного тела может возникнуть 9 напряжений: 3 нормальных и 6 касательных. Эти напряжения образуют тензор напряжений:

Закон парности касательных напряжений

Z z zx xz x X zy yz xy yx y Y Мх = 0, у dx dz - у dx dz + z dx dy - z dx dy + + xy dy dz - xy dy dz + xz dy dz - xz dy dz + + zy dx dy dz - yz dx dz dy = 0,

zy dx dy dz - yz dx dz dy = 0 zy = yz, zх = хz, хy = yх. Закон: Касательные напряжения на смежных гранях численно равны и направлены либо к общему ребру или от него.

Интегральные характеристики напряжений в точке

Y zy zx d. F d. N= z dxdy N= d. Qx= zx dxdy Qx= d. Qy= zy dxdy Qy= X z Z

Y zy zx d. F d. Mx=у σz dxdy Mx = d. Mу=-х σz dxdy Mу = - d. Мz =х zy dxdy - у zx dxdy Мz = X z Z

Y zy zx X z d. F Z d. N= z dxdy N= d. Mx=у σz dxdy Mx = d. Mу=х σz dxdy Mу =

n Предположим, что: (х, у) = а + b х + с у Пусть оси Х, У – главные центральные, т. е. статические моменты инерции и центробежный момент инерции относительно них равны нулю. N= а F, Mx = c Ix , а = N/F, с = Mx /Ix , Mу = -b Iy b = -Mу /Iy

= где N – продольная сила в сечении; Мх, Му – изгибающие моменты в сечении; F – площадь поперечного сечения; Iх, Iу – главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.

При растяжении (N≠ 0): = При прямом поперечном изгибе (Mx≠ 0): = При косом изгибе (Mx≠ 0, My≠ 0) : = При изгибе с растяжением (N≠ 0, Mx≠ 0): =

Касательные напряжения при кручении

n Рассмотрим стержень нагруженный крутящей нагрузкой L z dz d. F Мк = - расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки, - касательное напряжение в этой точке.

Рассмотрим вырезанный элемент В 1 А В dφ dz = dφ О dz - угловая деформация, т. е. изменение прямого угла, - угол закрутки сечения.

Закон Гука = G G – модуль сдвига (табличная величина). Подставим угловую деформацию из геометрического соотношения в закон Гука: , .

- касательное напряжение в точке, Мк – крутящий момент в сечении, I - полярный момент сечения, - расстояние от центра тяжести сечения, до рассматриваемой точки.

Касательные напряжения при изгибе (формула Журавского)

Стержень нагружен изгибающей нагрузкой Р z Qу 0 и Мх 0 dz Рассмотрим задачу об определении касательных напряжений при изгибе для узкого прямоугольника в качестве сечения. zy zx z

n

Так как боковая поверхность стержня свободна от напряжений, то по периметру сечения zx = 0 (по закону парности касательных напряжений). Для узкого прямоугольника они не успевают вырасти, поэтому будем считать zx равными нулю по всей ширине сечения.

n

n h

n h/2 -y y h X b

n