Над презентацией работала: студентка 140 гр. ПГППК Гулямова Насиба Гафаровна
Производная показательной функции l Число е. В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения. 0
l Нарисуем несколько графиков функции у=а для а, равного 2; 2, 3; 3; 3, 4, и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы х наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35, 40, 48 и 51 соответственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касательной к графику функции 0 у=а в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35 до tg 51. Представляется очевидным, х что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствующей касательной равен 1 (т. е. 0 0 0 угол наклона равен 45 ). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства):
Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у=е вхточке 0 имеет производную, равную 1, т. е.
При
Замечание. l l Доказано, что число е иррационально и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки таковы: е=2, 71828459045…. Функцию е х часто называют экспонентой.
Формула производной показательной функции. х Теорема: Функция е дифференцируема в каждой точке области определения, и х, х (е ) = е. Определение: Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию е: In x = loge. Х
l l По основному логарифмическому тождеству для любого положительного In а числа е = а. Поэтому ах может быть х Inа х х Inа записано в виде а = (е ) = е. Выведем формулу производной показательной функции произвольном значении а. Теорема: Показательная функция ах дифференцируема в каждой точке области х, х определения, и (а ) = а Inа.
Первообразная показательной функции l l Теорема: Первообразной для функции ах на R является функция Действительно, Inа – постоянная, и поэтому
l При любом х. Этим доказано, что есть первообразная для на R. А из равенств l Для всех х следует, что есть первообразная для На R. l Производная логарифмической функции Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций у = loga x u y = a симметричны относительно прямой у =xх. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке.
l l логарифмической функции на ее области определения. Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле По основному логарифмическому тождеству всех положительных х т. е. в этом равенстве справа и с лева одна и та же функция (определенная на R+ ). Поэтому производные x и равны, т. е.
Скачать презентацию Над презентацией работала студентка 140 гр ПГППК Гулямова
алгебра.ppt