НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ОБОРОНИ УКРАЇНИ КАФЕДРА ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ШТАБІВ ЛЕКЦІЯ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ОБОРОНИ УКРАЇНИ КАФЕДРА ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ШТАБІВ ЛЕКЦІЯ з навчальної дисципліни: “ СУЧАСНІ МЕТОДИ І ТЕХНОЛОГІЇ РІШЕННЯ ВІЙСЬКОВО-СПЕЦІАЛЬНИХ ЗАДАЧ” Доцент кафедри, кандидат технічних наук, доцент ПЕТРОВ В. К.

Тема 1 : Методи моделювання та імовірностні моделі випадкових подій і величин. Заняття 4 : Типові імовірностні моделі дискретних випадкових величин, що використовуються при рішенні військово-спеціальних задач. Питання : 1. Біноміальний закон розподілу. 2. Закон розподілу Пуассона.

ЛІТЕРАТУРА : 1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Издательство “Наука”, М. 1969 2. Почикаев Н. И. Вероятностное прогнозирование в стрельбе и управлении огнем. Киев: изд. ВА ПВО СВ, 1979. 3. В. С. Донченко и др. Военно-прикладная математика. Издание ВАА ПВО СВ, К. , 1988 г.

Вступ. Закони розподілів випадкових величин є математичним відображенням статистичних закономірностей, що виявляються в масових випадкових величинах, тобто закон розподілу являє собою імовірностні моделі статистичних закономірностей масових випадкових явищ. Велике число причин і факторів різноманітного характеру, що роблять вплив на хід і результат масових процесів, приводить до того, що число статистичних закономірностей, узагалі говорячи, нескінченно. Аналіз цих закономірностей показує, що багато хто з них дуже схожі один з одним і часто відрізняються тільки лише значеннями параметрів і фізичної сутності явища. Це дозволяє при схематизації (моделюванні) досліджуваних явищ і процесів усе різноманіття об’єктивних статистичних закономірностей відображати кінцевим числом типових імовірнісних моделей — розподілів імовірностей випадкових величин. У якості таких при дослідженні операцій ведення бойових дій найбільше часто використовуються: для дискретних випадкових величин — біноміальний розподіл і розподіл Пуассона, а для безупинних випадкових величин — нормальний, рівномірний і експоненціальний розподіли. Імовірнісні моделі забезпечують рішення багатьох практичних задач. Справді, якщо нам відомий закон розподілу в якій-небудь формі, то можна визначити показники ефективності, зокрема, такі як імовірність улучення випадкової величини на заданий інтервал, числові характеристики випадкової величини і деякі інші. Цим зважується задача наукового прогнозу результату досліджуваного процесу.

1. БІНОМІАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ Сутність біноміального розподілу можна пояснити на наступній схемі: виробляється n незалежних дослідів, у кожнім з який може з’явиться цікавляча нас подія А с однаковою імовірністю р. Тоді число появи події А в n незалежних дослідах є випадковою величиною М , підлеглої біноміальному закону розподілу. Подібні ситуації мають місце, коли дослід повторюється неодноразово в аналогічних умовах: при стрільбі по нерухомій цілі, при перевірці на придатність виробів, при передачі повідомлень по каналах зв’язку й у ряді інших випадків. У подібного роду операціях нас цікавить результат не окремого досліду, а загальне число появ події А в результаті серії незалежних дослідів. Для прогнозування подібного роду ісходів необхідно знати імовірності P m, n появи події А рівно m раз при n незалежних дослідах. Побудуємо імовірнісну модель для обчислення зазначених імовірностей. Для цього розглянемо спочатку випадок двох дослідів. Якщо імовірність події А в кожнім досвіді дорівнює р , то імовірність того, що при двох дослідах ця подія відбудеться 0, 1 і 2 рази, будуть рівні відповідно числам: p 0 = qq; p 1 = pq+qp; p 2 = pp, де q = 1 — p. Це безпосередньо випливає з теорем множення і додавання імовірностей.

Тому для випадку n =2 ряд розподілу випадкової величини М — числа появи події А в двох дослідах, може бути представлена як розподіл виду: Неважко бачити, що в даному випадку імовірності Рm, 2 можна обчислити по формулі: де — число сполучень із двох по m. Для випадку трьох дослідів аналогічним шляхом по формулі: де — число сполучень із двох по m. Для випадку трьох дослідів аналогічним шляхом по формулі: одержимо m 0 1 2 P m, 2 q 2 2 pq p 2 mmm mqp. CP 2 22, m C 2 mnmm mqp. CC 33, m 0 1 2 3 P m, 3 q 3 3 pq 2 3 p 2 q p

Приведені в таблицях розподілу імовірності відповідають розподілу біноміальних членів у розкладанні біномів: Ця закономірність зберігається й у загальному випадку n дослідів. Дійсно, по теоремі множення імовірність появи події А в якої-небудь визначеної послідовності (комбінації) m раз і не появи його в інших ( n-m) дослідах дорівнює Число ж різних комбінацій тих m дослідів, при яких подія А могла відбутися, а в інших ( n-m) не відбутися, дорівнює числу сполучень з n елементів по m , тобто Тому імовірність того, що при n незалежних дослідах подія А повториться рівно m раз (без вказівки в якому саме порядку) по теоремі додавання імовірностей неспільних подій дорівнює: (1). 222 2)(ppqqpq 32233 33)(pqppqqpq mnm qp C n mnm n m ! !()! PCpq n mnm pqmnn mmnmmnm , ! !()!

т. е. дорівнює числу, що містить у розкладанні бінома . Саме в зв’язку з цим розподіл імовірностей (1) називається біноміальним і використовується для опису розподілу імовірностей тільки дискретної випадкової величини. Тому воно може бути представлене у виді ряду розподілу і функції розподілу. Ряд розподілу випадкової величини М , у свою чергу, може бути побудований у виді таблиці чи багатокутника розподілу. Сума всіх імовірностей Рm, n дорівнює одиниці, тобтоmpnpq)(m 0 1 2. . . m. . . n-1 n P m, n q n npq n-1. . . C n m p m q n-m. . . np n-1 q p n !2 )1(22 nn qpn Pmn m n ,

З аналізу членів розкладання бінома можна зробити наступні висновки: 1. При збільшенні числа іспитів число всіх можливих комбінацій збільшується, а тому що сума імовірностей усіх можливих комбінацій дорівнює одиниці, то імовірність кожної з комбінацій зменшується. 2. Імовірності окремих комбінацій відрізняються між собою, ця різниця визначається різними співвідношеннями між числами p , q і n. Якщо різниця між p і q невелика, а n велико, то члени розкладання спочатку зростають, досягаючи максимуму, а потім убувають. Якщо різниця між p і q велика, а n мало, то може виявитися, що перший чи останній член розкладання буде максимальним. 3. Серед усіх комбінацій одна чи дві сусідніх комбінації будуть мати найбільшу імовірність. Формулу (1) називають формулою Бернуллі. Вона знаходить широке застосування при рішенні багатьох практичних задач і, зокрема, при прогнозуванні можливих ісходів операцій. Розрахунки по формулі (1) не викликають труднощів при малих значеннях n і m. Функція розподілу випадкової величини М , що має біноміальний розподіл імовірностей, має вид: npq)( n pq)( 1 0 )1()()( m i inii nqp. Cm. MPm.

Це є імовірність того, що в серії n незалежних іспитів подія А здійсниться менш m раз. Графік функції розподілу F(m) являє собою східчасту лінію зі стрибками в крапках m = 0, 1, 2, . . . , n ; стрибок у крапці m дорівнює P m, n. Числові характеристики біноміального закону розподілу, визначимо на основі окремих випадків математичного сподівання і дисперсії, розглянутих раніше, коли було встановлено, що для випадкової величини Х , що приймає тільки два значення: х 1 =1 з імовірністю р и х 2 =0 з імовірністю q = 1 — p , математичне сподівання і дисперсія чисельно рівні: M [X]= p і D [X]= pq. По цьому за аналогією для випадкової величини М можна записати M [M i ]= p і D [M i ]= pq для кожного з n іспитів, проведених у незмінних умовах. Отже, математичне сподівання і дисперсія випадкової величини М в n незалежних іспитах буде в n раз більше, тобто M [M]= np , D [X]= npq і (2) Параметрами біноміального розподілу є постійні p і n. Про це свідчить вплив зазначених величин на форму багатокутника розподілів. Mnpq

На мал. 1 показані багатокутники розподілів при фіксованому n =20 і р =0, 1; 0, 3; 0, 5; 0, 7 і 0, 9, а на мал. 2 — при фіксованому значенні р =2/3 і n =3, 5 і 10. Зі збільшенням m максимум графіка зрушується вправо, убік великих значень m. Особливістю цих розподілів є те, що імовірність Рm, n спочатку зростає при збільшенні m і досягає найбільшого значення при деякім значенні m=m 0 , а потім убуває. Значення m=m 0 називається найімовірнісним , йому відповідає найімовірнісна комбінація, що визначається наступними нерівностями: np-q m 0 np+p , (3) n = 20 0, 15 0, 10 0, 05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 P m, n 0, 25 m P = 0, 1 P = 0, 3 P = 0, 5 P = 0, 7 P = 0, 9 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m P m, n n=3 n=5 n=10 P=2/3 Рис. 2 Рис.

Варто мати на увазі, що числа m 0 і n є завжди цілими, тому що вони визначають кількість появи подій А и в найімовірнішій комбінації. Якщо значення нерівностей виходять дробовими, то це значить, що за значення m 0 варто взяти найближче ціле число до знайденим дробовим з боку, обумовленої знайомий нерівності. Якщо ж значення нерівностей у вираженні (3) виходять цілими числами, то в даній формулі дійсний знак рівності й у цьому випадку будуть мати місце дві найімовірніші комбінації. Розглядаючи нерівності (3), можна сформулювати наступне правило для відшукання найімовірнішої комбінації: щоб відшукати найімовірнішу комбінацію, потрібно імовірність появи цікавлячої нас події р помножити на загальне число іспитів n і для лівої нерівності відняти імовірність протилежної події q , а для правого — додати імовірність р , найближче менше ціле число покаже число появи цієї події в найімовірнішій комбінації. Якщо в результаті цього одержимо ціле число, то в найімовірнішій комбінацій дві: одна відповідає знайденому числу, інша — числу на одиницю менше. Приклад 1. У системі радіолокаційної розвідки мається вісім РЛС, кожна з який протягом доби може вийти з ладу з імовірністю 0. 2. Обчислити найімовірніше число РЛС, які потребують ремонту протягом доби. Рішення. По формулі (3), одержимо 8 0. 2 — 0. 8 m 0 8 0. 2 + 0. 2 0. 8 m 0 1. 8. Отже, m 0 =1.

Приклад 2. Зону ПВО незалежно друг від друга намагаються прорвати три літаки супротивника. Імовірність прориву літака через зону ПВО дорівнює 0. 3. Побудувати ряд розподілу випадкової величини М — числа літаків, що прорвалися через зону ПВО, якщо в її прориві бере участь три літаки, а також визначити її числові характеристики. Рішення. 1. Випадкова величина М може прийняти чотири значення m =0, 1, 2, 3, яким відповідають імовірності: Складемо ряд розподілу і побудуємо багатокутник розподілу випадкової величини М (мал. 3): P P 03 03 13 12 23 21 33 30 3 03 03070343 3 12! 03070441 3 2!1 03070189 3 30 03070027 , , ! !!. . . ; ! !!. . m 0 1 2 3 P m, 3 0. 343 0. 441 0. 189 0. 027 P m, 3 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 1 2 3 m Рис.

2. Використовуючи формули (2) знаходимо: літака; (літака) 2 ; літака. Імовірність улучення випадкової величини М на заданий інтервал, наприклад ( m 1 , m 2 ), включаючи і межі, знаходять як збільшення функції розподілу на цьому інтервалі: (4) Зокрема, імовірність того, що випадкова величина М прийме значення не менше одиниці, дорівнює: (5) Звичайно імовірність P 1, n називають імовірністю появи події А хоча б один раз при n незалежних іспитах. Вона може бути визначена по табл. 18 Збірника. Імовірність появи події А не менш m раз при n іспитах, де m 1, обчислюється по формулі: (6)MMmnp. M[]. . 30309 63. 07. 03][2 npq. MDM 8. 063. 0 npq. M Pm. Mm. Fm. Cpqn mmnm mm mm ()()(). 12211 1 2 nn nnpq. Pn. MPP)1(111)1(, 0, 1 inini mi nmqp ini n P )!(! ! ,

чи по формулі (7) Застосування тієї чи іншої формули залежить від обсягу обчислень. Формулою (6) зручно користатися при , а формулою (7) — при . Розглянемо числовий приклад на застосування формул (5), (6) чи (7). Приклад 3. Знаряддя робить по нерухомій цілі-мішені 20 пострілів. Імовірність улучення при одному пострілі р =0. 4 і від пострілу до пострілу не змінюється. Визначити: 1) імовірність одержання хоча б одного влучення; 2) імовірність одержання не більш п’яти влучень; 3) імовірність одержання не менш десяти влучень. Рішення 1. Визначення P 1, 20 робимо по формулі (5) за допомогою табл. 18 Збірника. Тому що n = 20 і р = 0. 4, P 1, 20 =1 -(1 -0. 4)20=0. 99996, т. е. одержання не менш одного влучення є подія практично достовірна. 2. Визначення імовірності одержання не більш п’яти влучень зробимо по формулі (4) з табл. 14 Збірника. Тому що n = 20; m = 5 і р = 0. 4 = 6. 4/16, тоді 0. 1788– 0. 4(0. 1738– 0. 0689)=0. 1788– 0. 4 0. 1099=0. 135 inim i nmqp ini n P 1 0 , )!(! ! 1 m n 22 n m 5 0 , )50( m m nm. PMP

3. Імовірність одержання не менш десяти влучень при наявності табл. 14 Збірника доцільно визначати по формулі (7). Вона буде дорівнює: Імовірності, обумовлені по формулах (5) і (6) широко використовуються в дослідженні операцій стрільби і керування вогнем як показники ефективності. Так, наприклад, якщо для поразки цілі досить одного влучення, то показники ефективності стрільби, що складаються з n пострілів, служить імовірність хоча б одного влучення. Якщо ж поразка цілі настає при двох чи більш улученнях, то як показник ефективності використовується імовірність одержання не менш двох улучень. Дозволяючи (5) відносно n , одержимо так називану формулу убрання засобів (8) яка відповідає на питання, скільки потрібно зробити іспитів (наприклад, пусків ракет), щоб домогтися бажаного результату з заданою надійністю R 1, n , якщо при одному іспиті бажаний результат можливий з імовірністю р. . 252. 0748. 01)]6350. 08229. 0(4. 08229. 0[11)9(1)10( 9 0 , m m nm. PMPMP n R p nn lg() ln() , , ,

Приклад 4. Визначити потрібне число ракет для знищення мети з імовірністю не менш 0. 9, якщо імовірність поразки мети однією ракетою дорівнює 0. 7. Рішення. Використовуючи формулу (8), маємо: т. е. n = 2 При великих значеннях n і m обчислення імовірностей Р m, n по формулі ( 6 ) стає дуже трудомістким навіть при використанні таблиць факторіалів і логарифмів. Тому в подібних випадках використовуються таблиці чи різні наближені вираження формули Бернуллі. Зокрема, коли n велико (порядку декількох десятків), а імовірність р мала (порядку сотих і тисячних часток одиниці), для обчислення імовірностей Р m, n застосовується формула розподілу Пуассона. n lg(. ). . . ,

2. РОЗПОДІЛ ПУАССОНА Розподіл Пуассона, чи розподіл рідких подій, характеризує розподіл дискретних випадкових величин і використовується для визначення імовірностей таких подій, яких у результаті іспиту може бути досить велике число й імовірність кожного з яких мала. При дослідженні операцій розподіл Пуассона може бути використано при аналізі й обробці інформації, що надходить на командний пункт з’єднання (об’єднання) з метою оптимізації організаційної структури при зборі інформації. Стосовно до стрільби розподіл Пуассона може бути використано для визначення імовірності влучення в ціль при великому числі незалежних пострілів чи для визначення імовірності влучення осколків у ціль при розриві бойової частини ракети на досить велике число осколків. Як уже відзначалося при вивченні біноміального розподілу, у тих випадках, коли число іспитів n досить велико, а імовірність появи події А мала, обчислення імовірностей Р m, n дуже утруднено через необхідність зведення імовірностей р и q у високі ступені і необхідності обчислення числа комбінацій при великих n і m. У цих випадках імовірність появи події А m раз при n іспитах можна визначити по наближеній формулі: де e — підстава натурального чи логарифма чи постійна Ейлера, рівна 2, 71828. . . np m mnmm nnme m np p. PCP ! )( )1(,

Позначимо математичне сподівання випадкової величини М через , тобто m M = np = a , тоді формула для визначення імовірностей Рm, n прийме вид (9) Точна рівність у формулі ( 9 ) досягається при нескінченно малому значенні р і нескінченно великому значенні n , тобто при n і р чи q 0 : (10) Однак розрахунки показують, що при кінцевих значеннях р и n формула ( 10 ) дає значення імовірності появи m раз події А с достатньої для практики точністю, якщо р менше 0, 1 і n не менше декількох десятків. Розподіл позитивної дискретної випадкової величини М с математичним сподіванням m= np = a називається розподілом Пуассона , якщо P a m emn m a , ! P a m em m a ! am m e m a P !

Таблиця ряду розподілу випадкової величини М , розподіленої за законом Пуассона, має вид: Можливі значення випадкової величини М утворять нескінченну послідовність цілих чисел 0, 1, 2 . . Сума всіх імовірностей Р m дорівнює одиниці. Вид багатокутника розподілу випадкової величини М , розподіленої за законом Пуассона, істотно залежить від значення параметра. Чим більше a , тим більше симетричний багатокутник розподілу. Функція розподілу F(m) дискретної випадкової величини М , розподіленої за законом Пуассона, може бути визначена по формулі (11) Графік функції розподілу випадкової величини, що має розподіл Пуассона, являє собою як би сходи з нескінченним числом сходинок, зі стрибками у всіх ненегативних цілочислових крапках; величина стрибка в крапці m i дорівнює р i. . a e m 0 1 2. . . m. . . P m. . . a ea 1! a ea 2 2! a m e m a ! mm m i a i m i i e i a Pm. F 1 0! )(

Параметром розподілу Пуассона є величина a = np , тобто розподіл є однопараметричним і тому воно легко табулюється. У “Збірнику таблиць для імовірнісних розрахунків у дослідженні операцій” поміщені таблиці 12 і 13, входами в який є величини a і m : у таблиці 12 приведені значення P m , а в табл. 13 — значення функції P(M m)=1 -F(m). Правила користування зазначеними таблицями розглянемо в наступному на прикладах. Числовими характеристиками випадкової величини М , розподіленої за законом Пуассона є m і D M. При цьому математичне сподівання m M — np = a. Визначимо значення дисперсії. При розгляді біноміального розподілу було встановлено, що D M = npq = np(1 -p ). У розподілі Пуассона, що виходить з біноміального при р 0 і n так, що np = a 0, множник (1 — р ) 1, тому у випадку розподілу Пуассона D M = lim [np(1 -p)] = np = a р 0 np a Таким чином, для дискретної випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, завжди має місце рівність значень математичного сподівання і дисперсії. Це властивість часто застосовується на практиці для рішення питання, чи правдоподібна гіпотеза про те, що випадкова величина Х розподілена за законом Пуассона. Для цього визначають з досвіду статистичні характеристики — математичне сподівання і дисперсію — випадкової величини. Якщо їхні значення близькі, то це може служити доводом на користь гіпотези про пуассонівський розподіл; різке розходження цих характеристик, навпроти, свідчить проти гіпотези.

Розподіл Пуассона є одним з найважливіших і найбільш розповсюджених розподілів дискретних випадкових величин. Він використовується в якості імовірнісної моделі при прогнозуванні можливих ісходів багатьох операцій: визначення числа осколків бойової частини ракети, що попадають у ціль, визначення числа літаків, що пролітають за визначений проміжок часу на даній ділянці фронту, визначення числа відмовлень в елементах озброєння і бойової техніки, визначення числа викликів, що надходять на вузол зв’язку, і ряді інших. Розглянемо на прикладах використання розподілу Пуассона. Приклад 1. При підриві бойової частини ракети утвориться 1100 осколків. Імовірність влучення одного осколка в уразливу частину мети дорівнює 0, 001. Визначити: а) математичне сподівання числа осколків, що попадають в уразливу частину мети; б) імовірність влучення в уразливу частину мети рівно трьох осколків; в) імовірність влучення в уразливу частину мети не менш двох осколків. Рішення. а) Визначаємо математичне сподівання числа осколків, що попадають в уразливу частину цілі: m = np =1100 0, 01 = 1. 1 осколка. б) По табл. 12 Збірника [5] знаходимо імовірність рівно трьох влучень в уразливу частину мети Р з = 0, 0738.

в) По табл. 13 знаходимо імовірність влучення в уразливу частину цілі не менш двох осколків Р(М 2)=0, 3. Приклад 2. По деякій цілі виробляється 50 пострілів. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0. 04. Користуючись граничною властивістю біноміального розподілу ( 9 ), знайти приблизно імовірність того, що в ціль потрапить: жодного снаряда, один снаряд, два снаряди. Рішення. Маємо a = np = 50 0. 04 =2. По табл. 12 Збірника [5] знаходимо імовірності: Р 0 = 0. 1353; Р 1 = 0. 2707; Р 2 = 0. 2707.

ЗАКЛЮЧЕННЯ Ми розглянули тільки два види закону розподілу дискретної ВВ, що найбільш часто зустрічаються у розв’язанні задач, які пов’язані з моделюванням різноманітних питань бойового застосування військ. Є інші закони розподілу ДВВ. На наступному занятті будуть розглянуті закони розподілу безперервних ВВ, що найбільше часто зустрічаються і застосовуються для аналізу різноманітних факторів бойової обстановки і підготовки даних необхідних для прийняття рішення.