Начертательная геометрия является разделом геометрии в котором изучаются

Начертательная геометрия является разделом геометрии, в котором изучаются • методы изображения пространственных объектов на чертеже • и алгоритмы решения графическими способами различного рода задач, встречающихся в практике проектирования и конструирования 1

1. 2. 3. Основные задачи начертательной геометрии Создание плоской геометрической модели пространственного объекта – чертежа (эпюра). Эпюр – в переводе с французского – чертеж или проект. Решение задач на плоскости. Чтение чертежа (эпюра). 2

Прямая и обратная задача начертательной геометрии • Построение проекций заданного объекта называется прямой задачей начертательной геометрии • Определение формы и размеров объекта по его чертежу называется обратной задачей начертательной геометрии 3

Проецирование • В основу построения изображения положена операция проецирования В результате проецирования получаются проекции объектов • Проецирование – процесс получения на чертеже достоверного изображения, по которому можно представить форму и размеры объекта. 4

Виды проецирования Центральное Параллельное Перспектива Прямоугольное (ортогональное) лучи Косоугольное (аксонометрия) плоскости проекций 5

Проекция – геометрическая модель, полученная проецированием объекта на плоскость или какую-либо другую поверхность. Проекция объекта представляет собой совокупность проекций всех его точек. На данном примере представлена перспективная проекция здания. 6

Центральное проецирование S А В С Ап Сп Вп П Проецирующие лучи проводятся из одной точки S 1. S – центр проецирования; 2. П – плоскость проекций; 3. А, В, С – точки пространства; 4. SA, SB, SC – проецирующие лучи; 5. Ап, Вп, Сп – проекции точек на плоскости П. Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором центр проецирования S находится на конечном расстоянии от плоскости проекций 7

Параллельное проецирование s А В С П Сп Ап Вп Все проецирующие лучи параллельны между собой 1. s – направление проецирования; 2. П – плоскость проекций; 3. А, В, С – точки пространства; 4. ААп, ВВп, ССп – проецирующие лучи; 5. Ап, Вп, Сп – проекции точек. - При ортогональном проецировании s П (орто - на древнегреческом прямой угол) - При косоугольном проецировании s не П 8

Центральное и параллельное проецирование на одну плоскость имеет недостаток: По одной проекции невозможно однозначно определить положение объекта в пространстве Следовательно, одна проекция объекта не позволяет судить о его форме и размерах, т. е. однопроекционный чертеж является необратимым. S А А В С С П Сп В П Ап Вп Сп Ап Вп 9

Моделирование пространства 1. Для однозначного определения места расположения объекта в пространстве французский ученый Гаспар Монж предложил проецировать объект на три взаимно перпендикулярные плоскости. 2. Первая плоскость располагается горизонтально. 3. Название плоскости – ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ. 4. Обозначение плоскости - П 1 10

• Вторая плоскость располагается вертикально перед наблюдателем. • Название плоскости – ФРОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ. • Обозначение плоскости – П 22 П П 1 11

• Третья плоскость располагается вертикально справа. • Название плоскости – ПРОФИЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИЙ. • Обозначение плоскости - П 3 П 2 П 3 П 1 12

Пересекаясь плоскости проекций образуют оси координат. • Ось абсцисс - ОX; • Ось ординат - ОY; • Ось аппликат - ОZ. • Точка пересечения осей О - называется началом координат. • Место расположения точки в пространстве определяют три координаты (X, Y, Z) Z П 2 О X П 3 П 1 Y 13

Введенные плоскости проекций разделяют пространство на восемь октантов: І, ІІІ, ІV, V, VІІ, VІІІ. ІІ VІ Z П 2 І ІІІ X V О П 3 Y ІV П 1 VІІІ 14

• В первой четверти пространства оси координат имеют положительное направление. • В начертательной геометрии объекты располагают, преимущественно, в первой четверти пространства. Z X O Y І 15

Ортогональные проекции точки Возьмем в пространстве произвольную точку А и построим ее ортогональные проекции на три взаимно перпендикулярные плоскости П 1, П 2, П 3. Z П 2 А 3 А А 1 - горизонтальная проекция точки А; O X П 3 А 1 А 2 – фронтальная проекция точки А; П 1 Y А 3 – профильная проекция точки А. 16

1. Расстояние ОАX – координата X точки А (XA); 2. Расстояние OАY – координата Y точки А (YA); Z П 2 Az А 2 X А ZA O XA А 3 Аx YA Аy А 1 П 3 П 1 Y 3. Расстояние OAZ – координата Z точки А (ZA). Координата точки – это расстояние от точки до плоскости (АА 3=OAX, АА 2=OAY, АА 1=OAZ). Координаты точки записывают так: А(X, Y, Z) 17

Ортогональный чертеж точки (эпюр точки) Z Z П 2 А 2 А А 3 ZA ZA XA O X XA YA А 1 X П 3 П 1 O П 3 YA Y А 1 Y Y • Развернем горизонтальную плоскость П 1 и профильную плоскость П 3 до совпадения с фронтальной плоскостью П 2. . 18

1. Фронтальная плоскость П 2 не меняет своего положения. Z П 2 А 2 X Z П 2 А ЭПЮР П 3 А 3 XA O YA X Y П 3 А 1 П 1 Y 2. Горизонтальная плоскость П 1 располагается ниже фронтальной плоскости проекций. 3. Профильная плоскость П 3 располагается справа от 19 фронтальной плоскости проекций.

1. Положительное направление оси ОZ на эпюре снизу вверх. Z П 2 А 2 X Z П 2 А П 3 А 3 XA O O YA X Y П 3 А 1 П 1 Y 2. Положительное направление оси ОX на эпюре влево. 3. Положительное направление оси ОY на эпюре – 20 вниз и вправо

Откладываем последовательно, координаты точки А (XA, YA, ZA), в направлении осей координат. Z Z П 2 А ZА XA X YA А 2 ZA А 3 XA X O П 3 А 1 П 1 Y YA Y А 1 Y Откладываем координаты XA и YA. горизонтальную проекцию точки А → A 1. Построим Откладываем координаты XA и Z А. фронтальную проекцию точки А → А 2. Построим 21

Z П 2 А 2 X Z А 2 А XA O А 3 ZA X YA Аx П 3 А 1 Y YA Y П 1 XA А 1 Y Сразу, по трем координатам строятся две проекции: фронтальная и горизонтальная 22

Z П 2 А 2 X Z А 2 А А 3 XA O А 1 П 1 А 3 ZA X YA XA YA АY Y YA П 3 АY Y А 1 Y Для построения профильной проекции точки нужно провести линии связи: А 2 А 3 , A 1 АY, АYA 3. 23

Эпюр точки Z П 2 А 2 X Z А 2 А А 3 XA O А 1 П 1 А 3 ZA XA X YA YA Y YA П 3 АY АY Y А 1 Y Построенный чертеж называется ортогональный чертеж точки или эпюр точки. 24

Инвариантные свойства ортогонального проецирования 1. Проекция точки есть точка: А→А 1, А→А 2. 2. Проекции точек лежащих на проецирующем луче совпадают АВ П 1 => А 1ΞВ 1. 3. Точка лежащая на прямой проецируется в точку лежащую на проекции этой прямой: А АВ => А 2 В 2. А 2 Z В 2 X O А 1 ΞВ 1 Y 25

4. Точки совпадающие с плоскостями проекций проецируютcя сами на себя: СєП 1 => С 1 Ξ C, DєП 3 => D 3 Ξ D. 5. Проекция прямой есть прямая: СD →C 1 D 1; СD →C 2 D 2, исключение представляют прямые, перпендикулярные плоскостям проекций. 6. Отношение длин отрезков прямой или параллельных отрезков равно отношению их проекций. CE: ED= C 1 E 1 : E 1 D 1= C 2 E 2 : E 2 D 2= C 3 E 3 : E 3 D 3 Z D 2 E 2 С 2 X DΞD 3 E 3 Y D 1 С 3 E 1 СΞС 1 Y 26

7. Отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется на нее в натуральную величину АВ II П 2 => А 2 В 2 II АВ ^ | А 2 В 2| = |АВ|. 8. Проекции параллельных прямых параллельны АВ II СD=> А 1 В 1 II C 1 D 1=> А 2 В 2 II C 2 D 2. 9. Проекции пересекающихся прямых пересекаются, а проекции точки пересечения проекций, лежат на одной линии связи. Z В 2 D 2 В А 2 А C 2 X А 1 C 1 O X В 1 А 1 D 1 В 1 Y 27 Y

10. Проекция многоугольника есть многоугольник. 11. Прямой угол, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, проецируется на эту плоскость в натуральную величину (теорема о проецировании прямого угла). Z C 2 B 2 A 2 X A 1 O B 1 C 1 Y 28

Задание прямых линий Прямую можно задать: 1. Аналитически 2. Графические способы задания прямой линии 1. Проекциями прямой линии. Например: A 1 B 1, A 2 B 2 Z В 2 А 2 X А 1 В 1 29 Y

2. Двумя точками, принадлежащими Например: А(A 1, A 2), В(B 1, B 2) прямой. Z В 2 А 2 X А 1 В 1 Y 30

3. Натуральной величиной отрезка прямой I AB I и углами наклона к плоскостям проекций f и y. Угол наклона прямой линии к горизонтальной плоскости проекций называется f (фи); Угол наклона прямой линии к фронтальной плоскости проекций называется y (пси). IАВI А 2 Z Z В 2 С 2 D 2 f X X y А 1 В 1 C 1 Y D 1 IСDI Y 31

Ортогональные проекции прямой линии 1. Относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют: • прямые частного положения • прямые общего положения 2. Прямые частного положения разделяют: • прямые перпендикулярные плоскостям проекций – проецирующие прямые. • прямые параллельные плоскостям проекций – линии уровня; 3. Прямые общего положения – не параллельны и не перпендикулярны плоскостям проекций 32

Прямые частного положения Проецирующие прямые Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей прямой. Z А 2 П 2 B 2 X А 2 AB П 1 I АВ I= I А 2 В 2 I А А 3 A 1ΞB 1 П 3 B О А 1 Ξ B 1 Z B 3 X B 2 О П 1 Y А 1 Ξ B 1 Y 33

Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально проецирующей прямой. Z Z П 2 C 2Ξ D 2 D 3 D C П 3 I C 1 D 1 I = I CD I C 3 C 1 CD П 2 X X D 1 C 2 Ξ D 2 П 1 C 2ΞD 2 О D 1 Y C 1 Y 34

Прямые частного положения Прямые уровня Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальная прямая. Z Z П 2 A 1 П 1 АВ ^П 2=А 1 В 1^ OX= y П 3 A O IА 1 В 1 I=IАВI X B 2 X В 2 А 2 AВ II П 1 А 1 B B 1 Y y В 1 Y 35

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальная прямая. CD II П 2 IС 2 D 2 I = ICDI Z П 2 CD^П 1= С 2 D 2^OX=f D 2 D С 2 D 2 П 3 С O X С 1 П 1 C 2 D 1 Y Z f X C 1 D 1 Y 36