Начертательная геометрия Тема 8 Сечение поверхности плоскостью Цель

Начертательная геометрия Тема 8 Сечение поверхности плоскостью Цель: сформировать навыки построения линии пересечения поверхности плоскостью

Алгоритм решения задачи 1. Объекты ( и ) рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г B Г b 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждым из объектов а. А Г Ю ; а 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям Г Юb a b. Ю A, B 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения

Методические указания • Вспомогательные плоскости следует выбирать так, чтобы при построении получались простые линии • Сначала определяют опорные точки: Ø экстремальные точки; Ø точки перемены видимости, лежащие на очерке поверхности; Ø особые точки кривой сечения (концы осей эллипса, вершины гиперболы или параболы, вершины ломанной) • Уточняют линию пересечения с помощью промежуточных точек

Методические указания • Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать общее и частное положение относительно плоскостей проекций • В общем случае вид сечения – кривая линия • Сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии фигуры сечения лежит в плоскости общей симметрии заданных поверхности и плоскости, удовлетворяющей условиям: Ø проходит через ось вращения поверхности; Ø перпендикулярна секущей плоскости • Сечение многогранной поверхности есть ломаная линия, вершины которой лежат на ребрах поверхности

Сечения прямого кругового цилиндра 1 2 3 1 3 При рассечении прямого кругового цилиндра плоскостями можно получить: 1 - окружность, 2 - эллипс, 3 – прямые линии 2

N 2 6. ПО (22) f 2 h 2 1 M 2 2 f 1 N 1 1 h 1 2 1 M 1 11 При построении линии сечения цилиндра плоскостью общего положения находят прежде всего экстремальные точки, лежащие в плоскости ( 1), которая проходит через ось цилиндра и перпендикулярна заданной плоскости. На П 2 проекция самой низкой точки - 12, а самой высокой – 22.

N 2 6. ПО (22) 42 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 2 f 1 N 1 1 h 1 K 1 2 4 1 1 3 1 M 1 Ф 1 11 Проекции точек видимости линии на П 2, лежащие на очерке цилиндра (32 и 42), строим с помощью плоскости Ф(Ф 1), которая рассекает цилиндр по очерковым образующим, а плоскость по фронтали, исходящей из точки К. Пересечение этих линий и даст искомые точки.

N 2 6. ПО (22) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 2 4 1 1 3 1 1 11 Ф 1 61 1 Учитывая, что на П 1 отрезок 1121 это проекция большой оси эллипса сечения, найдем проекцию его малой оси с помощью плоскости ( 1), рассекающей цилиндр по образующим, а заданную плоскость– по горизонтали. На П 1 проекциями искомых точек будут 51 и 61, а на П 2 - 52 и 62.

N 2 6. ПО (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 72 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 Проекции экстремальных точек (71 и 81) отмечаем на П 1 как точки касания фронталей заданной плоскости горизонтального очерка цилиндра. На П 2 проекции 72 и 82 располагаем на соответствующих построению фронталях, учитывая видимость точек относительно цилиндра.

N 2 6. ПО (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 71 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 Объединяем все построенные на П 2 проекции точек в линию - эллипс с учетом ее видимости относительно цилиндра. Видимость линии будет меняться в точках 32 и 42, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи. На П 1 проекция линии сечения - очерк цилиндра.

N 2 6. ПО (22) (82) 42 (52) 62 32 f 2 1 h 2 K 2 M 2 71 2 f 1 N 1 h 5 1 1 K 1 M 1 1 2 4 1 1 3 1 81 11 Ф 1 71 61 1 На П 2 уточняем видимость очерка цилиндра и прямых, ограничивающих заданную плоскость. Для большей наглядности изображения затушевываем видимые части пересекающихся геометрических образов.

Сечение сферы Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Окружность на плоскость проекций может проецироваться в натуральную величину (плоскость уровня), в виде отрезка, равного диаметру (проецирующая плоскость) и в виде эллипса (плоскость общего положения)

7. ПО Q 2 22 О 2 12 О 1 (11 ) 21 Ф 1 При построении линии сечения сферы плоскостью частного положения Q(Q 2) прежде всего находим на П 2 проекции экстремальных точек. Это точки пересечения проекции плоскости Q 2 с очерком сферы – 12 и 22. На П 1 проекции 11 и 21 располагаем на проекции плоскости Ф 1 с учетом их

7. ПО Q 2 22 О 2 32 (42) Г 2 12 41 О 1 21 (11 ) Ф 1 31 Рассекая сферу плоскостью Г(Г 2) отметим проекции точек (32 и 42). Проекции 31 и 41 расположены на горизонтальном очерке сферы – экваторе, и являются точками видимости линии сечения на П 1.

7. ПО Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) (51 ) Ф 1 31 Экстремальные точки эллипса (высшую и низшую) находим, разделив пополам отрезок 12 22 перпендикуляром, опущенным из точки О 2. В основании перпендикуляра отмечаем две совпадающие проекции точек (5 2 и 62). На П 1 проекции 51 и 61 располагаем на параллели b 1 как невидимые.

7. ПО Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 с1 (51 ) 31 Для уточнения формы кривой – эллипса находим промежуточные точки ( на чертеже не обозначены). Совпадающие точки отмечаем произвольно на фронтально проецирующей плоскости Q и переносим их на П 1 с помощью параллели с.

7. ПО Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 12 (61 ) 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 с1 (51 ) 31 Объединяем все построенные на П 1 точки в линию (эллипс) с учетом ее видимости относительно сферы. Видимость линии будет меняться в точках 31 и 41, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи.

7. ПО Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 x П 2 x 1 П 4 12 П 2 (61 ) П 1 41 b 1 О 1 21 (11 ) Ф 1 О 4 с1 (51 ) 31 На П 1 дополняем построенную проекцию эллипса большой осью, проходящей через экстремальные точки 51 и 61. Показать натуральную линию сечения можно, применив преобразование чертежа – замену плоскости проекций

7. ПО Q 2 22 Г 2 О 2 32 (42) b 2 52 (62) с2 x 12 П 2 Rc (61 ) П 1 П 2 x 1 П 4 41 b 1 О 1 21 (11 ) Rc Ф 1 О 4 с1 (51 ) 31 На дополнительной плоскости проекций П 4 линия сечения – окружность проецируется в натуральную величину.

S 2 8. ПО В 2 A 2 C 1 1 S 1 A 1 D 1 При построении линии пересечения наклонного конуса с плоскостью ( 1) следует учесть, что на П 1 линия пересечения будет проецироваться в отрезок прямой, совпадающий с вырожденной проекцией плоскости .

S 2 8. ПО (12 ) A 2 В 2 K 1 1 C 1 11 S 1 A 1 D 1 L 1 Экстремальную (высшую) точку линии сечения находим с помощью плоскости, проходящей через ось конуса и перпендикулярной заданной (на чертеже она затушевана). На П 1 фиксируем точку 11 как пересечение проекции 1 с образующей конуса К 1 S 1. Точку (12) располагаем на К 2 S 2.

S 2 8. ПО (12 ) A 2 K 2 32 K 1 C 1 В 2 (22) 1 11 (21 ) S 1 A 1 31 D 1 L 1 Низшие точки линии сечения отмечаем на П 1 как проекции точек пересечения (21 и 31) проекции 1 с окружностью, лежащей в основании конуса. Фронтальные проекции точек (22 и 32) располагаем на основании конуса с учетом их видимости.

S 2 8. ПО (12 42 ) A 2 K 2 32 K 1 C 1 В 2 (22) 1 11 (21 ) S 1 41 A 1 31 D 1 L 1 Точки изменения видимости линии должны лежать на фронтальном очерке конуса. На П 1 фиксируем горизонтальную проекцию одной из двух искомых точек (41) как точку пересечении следа 1 и проекции очерковой образующей А 1 S 1. Проекцию 42 располагаем на А 2 S 2.

S 2 8. ПО (12 42 ) A 2 K 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 31 D 1 L 1 Построим проекции еще одной опорной точки линии, лежащей на горизонтальной очерковой образующей конуса. Сначала отметим на П 1 проекцию 51 на пересечении С 1 S 1 и проекции заданной плоскости 1. Фронтальную проекцию - 52 располагаем на С 2 S 2 как невидимую.

S 2 8. ПО (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 M 1 31 61 D 1 L 1 Для уточнения формы кривой найдем промежуточную точку линии сечения с помощью произвольно проведенной образующей конуса МS. На П 1 это будет проекция 61, а на П 2 – видимая проекция 62.

S 2 8. ПО (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) S 1 41 A 1 M 1 31 61 D 1 L 1 Объединяем все построенные на П 2 точки в линию с учетом ее видимости относительно конуса. Точкой видимости линии будет проекция 42, лежащая на очерковой образующей конуса А 2 S 2 и построенная заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи.

S 2 8. ПО (12 42 ) 62 A 2 K 2 M 2 32 K 1 C 2 C 1 (52) В 2 (22) 1 51 11 (21 ) 31 61 D 1 1 S 1 41 M 1 4 1 21 5 1 A 1 3 61 L 1 Для определения натурального вида кривой сечения преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно фронтальной плоскости проекций.

S 2 8. ПО (12 42 ) K 2 M 2 32 K 1 42 (52) 62 A 2 12 C 2 C 1 В 2 (22) 1 51 11 (21 ) 52 н. в. 22 31 61 D 1 1 S 1 41 M 1 4 1 21 5 1 A 1 3 61 L 1 Путем построений, соответствующих способу плоскопараллельного перемещения, на П 2 получаем натуральный вид сечения - 32 62 42 12 52 22

Сечения прямого кругового конуса 1 3 5 3 4 1 2 2 4 5 При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью в зависимости от ее расположения получаются: 1 – окружность; 2 – эллипс; 3 – парабола; 4 – гипербола; 5 – прямые линии

Сечения тора 3 5 2 4 3 2 5 1 1 4 При пересечении открытого тора с плоскостью получаются линии с общим названием – кривые Персея: 1 - овал с двумя осями симметрии; 2 волнообразная кривая; 3 - двухлепестковая кривая с узловой точкой в начале координат; 4 - овалы с одной осью симметрии; 5 - две окружности

Сечения тора 6 8 7 6 9 7 10 8 9 10 Другие формы линии пересечения открытого тора с плоскостью Сечения показаны на рисунках 7, 8, 9, 10, 11, которые получаются в зависимости от расположения секущей плоскости, пересекающей ось вращения тора

2. 13 2 l 1 При построении линии пересечения заданных на чертеже открытого тора (с образующей l ) и плоскости ( 2) следует учесть, что на П 2 линия пересечения будет проецироваться в отрезок прямой, совпадающий с вырожденной проекцией 2.

2. 13 2 12 (22) l 2 21 l 1 11 При построении горизонтальной проекции линии пересечения находим прежде всего проекции опорных точек, лежащих на очерке тора. Отмечаем на П 2 совпадающие проекции точек 12 и 22 как пересечение фронтально проецирующей плоскости с линией экватора. Проекции 11

2. 13 2 12 (22) 32 (42) l 2 21 (31 ) 41 l 1 11 Проекции еще двух опорных точек, лежащих на пересечении проекции 2 с фронтальным меридианом тора (образующей окружности l 2) обозначаем 32 и 42 с учетом видимости. 31 и 41 располагаем на горизонтальной проекции меридиана l 1 как невидимую и видимую

2. 13 52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Опорные (экстремальные) точки линии пересечения 5 и 6 отмечаем сначала на пересечении проекции 2 с фронтальным очерком тора как совпадающие проекции 52 и 62, а затем на П 1 как видимые проекции 51 и 61, лежащие на центровой окружности тора.

2. 13 52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Промежуточные точки (на чертеже не обозначены) строим в соответствии с общим алгоритмом нахождения точек линии пересечения.

2. 13 52 (62) 12 (22) 32 2 (42) l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Объединяем все построенные на П 1 проекции точек в линию с учетом ее видимости относительно тора. При этом проекции точек (1 1 и 21), лежа щие на очерке тора и построенные заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи, будут изменять видимость линии на противоположную.

2. 13 52 (62) 12 (22) 32 2 (42) 32 12 22 42 52 62 l 2 21 61 (31 ) 41 l 1 11 51 Для определения натурального вида кривой сечения преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно горизонтальной плоскости проекций.

2. 13 52 (62) 12 (22) 32 2 (42) 32 12 22 42 l 2 21 21 61 (31 ) 61 31 41 н. в. l 1 11 52 62 41 51 51 11 Путем построений, соответствующих способу плоскопараллельного перемещения, на П 1 получаем натуральный вид сечения - 31 21 61 41 51 11

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 c 1 a 1 b 1 Задана трехгранная призма с двумя параллельными основаниями. Ребра призмы являются фронталями и на П 2 проецируются в натуральную величину.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 c 1 a 1 b 1 Если учесть тезис о том, что нормальное сечение перпендикулярно ребрам призмы, то на П 2 можно провести фронтально проецирующую плоскость Р 2, перпендикулярно проекциям ребер призмы a 2, b 2, c 2. Пересечение Р 2 с ребрами a 2, b 2, c 2 определяет проекцию сечения на П 2 -

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 31 c 1 a 1 b 1 11 21 Горизонтальные проекции опорных точек сечения 11, 21, 31 располагаем на проекциях соответствующих ребер призмы, и объединяем их в треугольник.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 b 1 32 31 c 1 a 1 22 11 21 Для определения натуральной величины нормального сечения призмы преобразуем чертеж, расположив плоскость сечения параллельно горизонтальной плоскости проекций.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 a 1 b 1 11 32 31 c 1 22 11 21 21 Путем построений, соответствующих способу плоско-параллельного перемещения, на П 1 получаем новые расположения опорных точек сечения: 11 , 21 , 31.

Нормальное сечение многогранника a 2 b 2 12 c 2 22 32 P 2 12 a 1 b 1 11 32 31 c 1 22 1 н. в. 1 21 21 Объединив на П 1 новые проекции точек в треугольник, получим натуральную величину нормального сечения призмы.

Задания в тестовой форме 1. Линия, получаемая при пересечении сферы любой плоскостью, - это … а) окружность б) гипербола в) эллипс 2. Линия, получаемая при пересечении цилиндра наклонной плоскостью, которая пересекает все образующие цилиндра, является … а) прямоугольником б) окружностью в) эллипсом 3. Плоскость, пересекающая конус вращения по прямым линиям пройдет … а) через ось вращения б) перпендикулярно оси вращения в) через вершину

Задания в тестовой форме 4. Плоскость, пересекающая конус вращения по параболе пройдет … а) перпендикулярно основанию б) параллельно одной образующей в) параллельно двум образующим 5. Точки видимости располагаются на … а) направляющих поверхности б) осях вращения в) очерках поверхности 6. Нормальным сечением призмы называется … а) плоскость, перпендикулярная основанию б) плоскость, перпендикулярная граням в) плоскость, перпендикулярная образующим 7. Нормальным сечением конуса называется … а) плоскость, перпендикулярная оси симметрии б) плоскость, перпендикулярная основанию в) плоскость, параллельная основанию

Задания в тестовой форме 8. Окружность, расположенная во фронтально проецирующей плоскости на горизонтальную и профильную плоскости проекций проецируется в виде … а) окружностей б) прямых линий в) эллипсов 9. Форма сечения, если секущая плоскость пересекает три боковых ребра и основание четырехугольной пирамиды, это … а) треугольник б) четырехугольник в) пятиугольник г) шестиугольник 10. Форма образующей линейчатой поверхности … а) пространственная кривая линия б) плоская кривая линия в) прямая линия