Начертательная геометрия Тема 7 Метрические задачи Цель освоить

Начертательная геометрия Тема 7 Метрические задачи Цель: освоить практические приемы решения метрических задач

Классификация метрических задач 3. 2. Угол между фигурами 3. Метрика взаимного положения фигур 3. 1. Расстояние между фигурами 2. 3. Параметры формы 2. 2. Размеры плоской фигуры 2. Метрика фигуры 2. 1. Длина отрезка 1. 2. Угол 1. 1. Расстояние 1. Метрика положения фигуры относительно плоскостей проекций Метрическими называются задачи, связанные с определением на комплексном чертеже натуральных величин расстояний, углов и плоских фигур

Содержание № слайда Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций Задача 2. Определить расстояние от точки А до прямой MN способом плоскопараллельного перемещения Задача 3. Определить расстояние от точки А до фронтали f способом вращения вокруг проецирующей прямой Задача 4. Определить расстояние от прямой l до оси х Задача 5. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ и СD способом перемены плоскостей проекций Задача 6. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми a и b способом плоскопараллельного перемещения Задача 7. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом перемены плоскостей проекций 5 7 9 10 11 13 15

Задача 8. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом плоскопараллельного перемещения Задача 9. Определить натуральную величину угла , составленного двумя скрещивающимися прямыми а и b Задача 10. Определить натуральную величину угла наклона прямой общего положения l к оси координат y Задача 11. Определить натуральную величину угла САВ способом плоскопараллельного перемещения Задача 12. Определить расстояние от точки К до плоскости частного положения ( 1 , 2 ) Задача 13. Определить расстояние от точки К до плоскости треугольника ( АВС) 17 19 23 26 28 29 31 Задача 14. На прямой АВ определить точку К , равноудаленную от П 1 и П 2 33 Задача 15. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций l 2 П 2 x П 1 1. П 4 П 1 П 4 l А 2 А 1 П 1 x 1 П 4 l 1 А 4 l 4 н. в. К 4 Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А 4 К 4 l 4 определяется на плоскости проекций П 4

Метрические задачи Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций Задача 1. К 2 l 2 П 2 x П 1 А 5 А 2 н. в. А 1 П 1 x П 4 1 l 5 К 5 l 1 К 1 А 4 l 4 П 5 П 4 x н. в. К 4 2 1. П 4 П 1 П 4 l 2. П 5 П 4 П АК- 5 l искомое расстоян ие При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П 5 перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее положение. На П 5 определяем натуральную величину А 5 К 5 перпендикуляра АК

Метрические задачи Задача 2. Определить расстояние от точки А до прямой способом плоскопараллельного перемещения N 2 К 2 M 2 А 2 x А 1 N 1 MN N 2 К 2 M 2 A 2 M 1 К 1 A 1 N 1 M 1 Ф 2 К 1 н. в. Ф 2 При первом преобразовании фронтальную проекцию развернем так, чтобы проекция прямой M 2 N 2 стала параллельна оси х. На П 1 проекция прямой изобразится в натуральную величину и к ней можно провести перпендикуляр. Проекции перпендикуляра АК определяются на чертеже

Метрические задачи Задача 2. x Определить расстояние от точки А до прямой способом плоскопараллельного перемещения MN N 2 К 2 M N 2 К 2 M 2 N 2 (M 2 (К ) Г 2 2 2 ) н. в. А 2 А Г A 2 2 2 А 1 N 1 M 1 К 1 A 1 N M 1 M 1 К 1 н. в. А 1 К 1 N 1 1 АК- искомое расстояние При втором преобразовании горизонтальную проекцию развернем так, чтобы проекция прямой MN стала перпендикулярна оси х. Относительно П 2 прямая займет проецирующее положение и перпендикуляр АК спроецируется в натуральную величину

Метрические задачи Задача 3. Определить расстояние от точки А до фронтали f способом вращения вокруг проецирующей прямой А 2 н. в. x K 2 f 2 i 2 н. в. K 2 i – о cь вращения i П 1 АК- искомое расстояние K 1 f 1 А 1 i 1 К 1 Фронталь параллельна плоскости проекций П 2 , поэтому фронтальная проекция искомого расстояния будет перпендикулярна проекции f 2 , имеющей натуральную величину. Расстояние АК – это прямая общего положения, ее натуральная величина определена вращением вокруг оси i

Метрические задачи Задача 4. Определить расстояние от прямой l до оси х z l 3 П 3 l 2 К 2 н. в. N 2 x x 1 х2 N 1 l 1 К 3 Oсь х П 3 н. в. N 3 x 3 y 1 NКискомое расстоян ие Расстояние определяется перпендикуляром. Ось х на чертеже имеет натуральную величину, поэтому проекции искомого расстояния будут ей перпендикулярны. Относительно П 3 ось х является проецирующей прямой. На П 3 определяется натуральная величина перпендикуляра NK

Метрические задачи Задача 5. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ и СD способом перемены плоскостей проекций (K 5)(A 5) B 5 B 2 D 5 C 5 x. П 2 П П x 5 П 4 А 4 2 н. в. 1 C D А 2 2 А 1 C 2 1 B 1 D 1 C 4 В 4 П D 4 П 14 x 1. П 4 П 1 П 4 АВ 2. П 5 П 4 П 5 АВ 1 При первом преобразовании одну из прямых (АВ) переводим в положение линии уровня по отношению к новой плоскости проекций П 4. При втором преобразовании прямую АВ переводим в проецирующее положение по отношению к плоскости проекций П 5

Метрические задачи Задача 5. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ и СD способом перемены плоскостей проекций C 5 L 5 D 5 K 2 (K 5)(A 5) B 5 н. в. x. П 2 П П x 5 П 4 А 4 2 н. в. 1 B 2 C L D 2 А 2 2 2 А 1 C L 1 1 K 1 B 1 D C 4 L 4 K 4 В 4 1 П D 4 П 14 x 1. П 4 П 1 П 4 АВ 2. П 5 П 4 П 5 АВ КL-искомое расстояние 1 На плоскости проекций П 5 проекция искомого расстояния К 5 L 5 C 5 D 5 и имеет натуральную величину. На плоскости проекций П 4 найдем точку К (по теореме о проецировании прямого угла проекция расстояния К 4 L 4 A 4 B 4. ). Остальные проекции расстояния КL определены на чертеже

Метрические задачи Задача 6. Определить расстояние между двумя параллельными пря- мыми L 2 x b 2 a и b способом плоскопараллельного перемещения a 2 K 1 L 1 a b 1 1 L 2 н. в. Г b 2 a 2 K 1 L 1 b 1 Г Г 2 Г 2 2 2 a 1 Первоначально связку горизонтальных проекций прямых разместим параллельно оси х. Тогда на фронтальной плоскости проекций прямые а и b имеют натуральную величину, а проекция искомого расстояния L 2 K 2 будет перпендикулярна проекциям прямых

Метрические задачи Задача 6. Определить расстояние между двумя параллельными пря- мыми L 2 x b 2 a и b способом плоскопараллельного перемещения a 2 K 1 L 1 a b 1 1 L 2 н. в. b 2 a 2 K 1 L 1 b 1 a 1 b a 2 L K 2 2 2 K 1 Ф 2 L 1 н. в. Ф 2 LК- искомое расстояние Далее прямые переводим в проецирующее положение. Для этого их новую фронтальную проекцию размещаем перпендикулярно оси х, тогда на горизонтальной плоскости проекций получим натуральную величину расстояния между прямыми а и b

Метрические задачи Задача 7. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом перемены плоскостей проекций B 2 1. П 4 П 1 П 4 h ( АВС) h 2 А 2 C 2 x А 1 h 1 C 4 B 1 П 1 x 1 П 4 А 4 В 4 При первом преобразовании выбираем новую плоскость проекций П 4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П 4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и ее угол наклона к плоскости проекций П 1.

Метрические задачи Задача 7. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом перемены плоскостей проекций B 2 h 2 А 2 C 2 x А 1 h 1 А 5 C 1 C C 5 4 B 1 П 1 x 1 П 4 н. в. А 4 В 5 1. П 4 П 1 П 4 h ( АВС) 2. П 5 П 4 П 5 ( АВС) В 4 П 5 x 2 При втором преобразовании выбираем новую плоскость проекций П 5 так, чтобы плоскость заняла положение плоскости уровня. На П 5 строим натуральную величину треугольника

Метрические задачи Задача 8. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом плоскопараллельного перемещения Г B 2 h 2 А 2 x C 2 1 2 Г 2 А B А Г C 2 А 2 1 h 1 2 1 C h 1 B 1 1 C 1 При первом преобразовании горизонтальную проекцию плоскости размещаем так, чтобы проведенная в ней горизонталь h стала перпендикулярна оси х. По отношению к фронтальной плоскости проекций плоскость займет проецирующее положение.

Метрические задачи Задача 8. Определить натуральную величину треугольника ( АВС) и угол наклона его к плоскости П 1 способом плоскопараллельного перемещения B 2 h 2 А 2 x C 2 1 А 2 1 h 1 А 2 C 2 B 2 А B А C 2 Ф 2 А 1 1 C h 1 B 1 н. в. В 1 1 C C 1 1 При втором преобразовании проецирующую плоскость переведем в положение плоскости уровня. Вырожденную проекцию плоскости – прямую разместим параллельно оси х. На горизонтальной плоскости проекций получаем натуральную величину треугольника Ф 2

Метрические задачи Задача 9. Определить натуральную величину угла двумя скрещивающимися прямыми а и К 2 a 2 1 2 2 h 1 a 2 b 2 2 1 a 1 b 1. a a ; a b = K 2. h a =1 ; h 2 h x , составленного 1 a 1 b=2 2 b 1 1 K 1 Угол между скрещивающимися прямыми а и b соответствует углу между пересекающимися в точке К прямыми а и b , где а а. Решим задачу способом вращения вокруг горизонтали h. Точки 1 и 2 прямых а и b, лежащие на горизонтали, останутся неподвижными.

Метрические задачи Задача 9. Определить натуральную величину угла двумя скрещивающимися прямыми а и К 2 a 2 b 2 1 O 2 h 2 x 2 h 1 2 1 a 1 O 1 , составленного b 1. a a ; a b = K 2. h a =1 ; h 3. b=2 h ОК 2 2 b 1 1 K 1 Определим радиус вращения вокруг горизонтали точки К. Плоскость вращения радиуса ОК перпендикулярна горизонтали, тогда на горизонтальной плоскости проекций О 1 К 1 h 1. Радиус ОК – прямая общего положения

Метрические задачи Задача 9. Определить натуральную величину угла двумя скрещивающимися прямыми а и К 2 b 2 a 2 h 2 x 1 O 2 h 1 2 1 a 1 O 1 K 2 К 2 2 2 b 1 1 н. в. , составленного b 1. a a ; a b = K 2. h a =1 ; h 3. b=2 h ОК 4. ОК K 1 1 K 0 Натуральную величину радиуса ОК определим способом вращения вокруг проецирующей прямой. Отложим натуральную величину радиуса ОК в плоскости вращения точки К

Метрические задачи Задача 9. Определить натуральную величину угла двумя скрещивающимися прямыми К 2 b 2 a 2 h 2 x 1 O 2 h 1 2 1 a 1 2 2 O 1 К 2 2 b 1 1 н. в. K , составленного а и b 1. a a ; a b = K 2. h a =1 ; h 3. b=2 h ОК 4. ОК 5. K 1 1 K 0 Соединив на горизонтальной плоскости проекций точку К 0 с проекциями неподвижных точек 1 и 2, определяем требуемый угол между данными скрещивающимися прямыми а и b

Метрические задачи Задача 10. Определить натуральную величину угла общего положения l 2 наклона прямой l к оси координат y z K 1. l l ; O l ; К l 2 O x l 1 K 1 y 1 Прямая l и ось y являются скрещивающимися прямыми. Проведем Соединив на горизонтальной плоскости проекци точку К 0 с проекциями через начало координат2, определяем требуемый угол между данными неподвижных точек 1 и точку О прямую l l. Для определения угла наклона прямой l к оси y ее а и b совместить с горизонтальной скрещивающимися прямыми нужно плоскостью проекций. Выберем на прямой произвольную точку К.

Метрические задачи Задача 10. Определить натуральную величину угла общего положения l 2 Ф 1 z K K 2 l 1 K 1 l 1 наклона прямой l к оси координат y 2 x 1. l l ; O l ; К l 2. OК ОК П 1 O K 1 y 1 Повернем точку К вокруг оси y так, чтобы фронтальная проекция точки К лежала на оси х. Горизонтальная проекция точки К при этом переместится по следу плоскости Ф(Ф 1 ). При таком преобразовании ОК принадлежит П 1

Метрические задачи Задача 10. Определить натуральную величину угла общего положения l 2 Ф 1 l 1 z K 2 O 1. l l ; O l 2. OК ОК П 1 3. K 1 l 1 наклона прямой l к оси координат y l 2 K 2 x l 1 K 1 y 1 Положение точки К определяет принадлежность прямой l горизонтальной плоскости проекций. На П 1 находим угол наклона данной прямой l к оси координат y

Метрические задачи Задача 11. Определить натуральную величину угла САВ способом плоскопараллельного перемещения В 2 С 2 А 2 x А В 1 1 С 1 Угол САВ принадлежит фронтально проецирующей плоскости (АВ СD ), заданной пересекающимися прямыми. Для определения его натуральной величины преобразуем проецирующую плоскость в плоскость уровня.

Метрические задачи Задача 11. Определить натуральную величину угла САВ способом плоскопараллельного перемещения В 2 С 2 А 2 C 2 B 2 А 2 x А В 1 1 С А 1 Ф 1 C 1 н. в. B 1 Ф 1 1 Переводим данную плоскость в положение горизонтальной плоскости уровня. На П 1 определяем натуральную величину угла САВ

Метрические задачи Задача 12. Определить расстояние от точки положения ( 1, N 2 2) К до плоскости частного н. в. K 2 2 x 1 N 1 KN искомое расстоян ие Проекции искомого расстояния будут перпендикулярны следам данной плоскости. В силу этого N 2 K 2 есть натуральная величина расстояния. Перпендикуляр NK проходит под плоскостью , поэтому его горизонтальная проекция невидима

Метрические задачи Задача 13. Определить расстояние от точки треугольника B ( АВС) 2 А 2 x 1. П 4 П 1 П 4 h ( АВС) h 2 К 2 C 2 А h 1 C 1 1 К до плоскости C 4 B А 4 1 П К 4 1 x 1 П 4 Выбираем новую плоскость проекций П 4 перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П 4 получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и проекцию точки К 4.

Метрические задачи Задача 13. Определить расстояние от точки треугольника B N 2 А 2 x ( АВС) 2 А 1 К 1 1. П 4 П 1 П 4 h ( АВС) h 2 К 2 C 2. KN искомый отрезок 2 h 1 C N 1 C 1 4 А 4. в. N 4 B 1 н П К 4 1 x 1 П 4 К до плоскости В 4 Построение перпендикуляра начинают с плоскости проекций П 4 (см. зад. 12), затем строят его проекции на плоскостях П 1 и П 2. На плоскости проекций П 4 изобразится натуральная величина расстояния от точки К до плоскости треугольника. Определяют видимость перпендикуляра.

Метрические задачи Задача 14. На прямой АВ определить точку К , равноудаленную от П 1 и П 2 z А 2 В 2 x А 3 3 В 3 O y 3 А 1 В 1 y 1 Геометрическим местом точек, равноудаленных от П 1 и П 2 является биссекторная плоскость ( 3 ), которая делит угол между этими плоскостями на равные части. Построим проекцию отрезка АВ на плоскости проекций П 3

Метрические задачи Задача 14. На прямой АВ определить точку К , равноудаленную от П 1 и П 2 А 2 z К 2 3 К 3 В 2 x А 3 В 3 O y 3 А 1 К 1 В 1 y 1 Искомой точкой будет точка К пересечения биссекторной плоскости ( 3 ) с заданной прямой АВ

Метрические задачи Задача 15. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек M 2 M и N К 2 N 1 x M 1 К 1 Геометрическим местом точек будет плоскость , проходящая через середину отрезка MN и перпендикулярно ему. Найдем точку К – середину отрезка MN

Метрические задачи Задача 15. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек M 2 M и N К 2 2 h 2 f 2 x N 2 N 1 h 1 f 1 M 1 К 1 1 Искомую плоскость ( h f ), перпендикулярную отрезку MN , задаем пересекающимися в точке К горизонталью и фронталью (в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла).

Задания в тестовой форме 1. В метрических задачах определяют … а) взаимное положение геометрических образов б) принадлежность плоскостям проекций в) натуральные величины характеристик геометрических образов 2. К метрическим относится задача, в условии которой требуется … а) найти линию пересечения б) определить расстояние в) построить геометрическое место точек 3. Число замен плоскостей проекций для нахождения натуральной величины АВС … C В А 2 А 1 2 2 C В 1 1 а) две б) одну в) ни одной

Задания в тестовой форме 4. Рисунок, на котором заданную плоскость ABCD одним преобразованием можно перевести в положение горизонтальной плоскости уровня … 1 А В 2 2 В 1 А 1 С D 2 2 C 1 D 1 2 3 В 2 C 2 А В 1 1 а) 1 б) 2 в) 3 В 2 C 2 D 2 А 2 В 1 C D 1 1 А 1 D 1

Задания в тестовой форме 5. Рисунок, на котором расстояние от точки К до прямой а изображается в натуральную величину … 1 2 а 1 а 2 К 2 К 1 3 а 1 а) 1 б) 2 в) 3 К 1 а 2 К 2 а 1 К 1

Задания в тестовой форме 6. Рисунок, на котором угол наклона плоскости является углом наклона к горизонтальной плоскости проекций … 1 2 x 1 2 Г 1 2 Г 1 2 x Ф 1 1 1 а) 1 б) 2 в) 1 и 2 2 1 Ф 1

Задания в тестовой форме 7. Рисунок, на котором требуются дополнительные построения для определения натуральной величины расстояния КL между прямыми а и в … 1 а 2 b 2 2 L 2 К 2 а 1 b 1 L 1 К 2 а 2 L 2 а 1 L 1 а) 1 б) 2 в) 3 b 1 К 1 b 2 3 b 2 а 2 К 2 L 1 а 1 b 1 К 1

Задания в тестовой форме 8. Число замен плоскостей, которое необходимо выполнить для определения натуральной величины расстояния между параллельными прямыми общего положения, … а) 1 б) 2 в) 3 9. Число замен плоскостей проекций, необходимое для определения натуральной величины расстояния от точки до плоскости общего положения, … а) 1 б) 2 в) 3 10. Число замен плоскостей проекций, необходимое для нахождения натуральной величины плоскости общего положения … а) 1 б) 2 в) 3