Начертательная геометрия Тема 5 Перпендикулярность геометрических образов Цель: изучить свойства перпендикулярности геометрических образов
Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения B A x М 1 B 1 А 1 N 1 П 1 1 Дано: =90 C C 1 y АВ П 1 ; BC П 1 Доказать: 1 = =90 Перпендикулярность геометрических образов на чертеже определяется на основании теоремы о проецировании прямого угла. Доказательство теоремы приводится в Теме 2
Перпендикулярность прямых Дано: b h = 90 b 2 Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина h 2 x h 1 н. в. b 1 Если прямая h, как одна из сторон прямого угла, является горизонталью (h П 1 ), то на П 1 угол b 1 h 1 проецируется как прямой и поэтому b 1 h 1. На П 2 показаны возможные положения фронтальной проекции прямой общего положения b
Перпендикулярность прямых Задача: C 2 н. в. D 2 f 2 x С 1 f 1 D 1 Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f C 2 D 2 f 2 D 2 D 1 C 1 Прямая f является фронталью и проецируется на П 2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С 2 D 2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f. Определяем основание перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С 1 D 1
Перпендикулярность прямой и плоскости l m n Признак перпендикулярности: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости К l n l l m Прямая, перпендикулярная плоскости, является частным случаем пересечения прямой и плоскости. Точка K пересечения прямой l и плоскости в этом случае является основанием перпендикуляра к плоскости
Перпендикуляр к плоскости общего положения f 2 2 ( h f ) l -? h 2 f 1 1 h 1 Для построения перпендикуляра к плоскости в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла в плоскости необходимо построить горизонталь и фронталь (или использовать их как способ задания плоскости)
Перпендикуляр к плоскости общего положения l 2 f 2 2 h 2 f 1 1 l 1 ( h f ) l -? l 1 h 1 l 2 f 2 h 1 Перпендикуляр к плоскости общего положения – это прямая общего положения l. Горизонтальная проекция перпендикуляра l 1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h 1. Фронтальная проекция перпендикуляра l 2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f 2
Определение расстояния от точки до плоскости Алгоритм решения: • Через точку провести прямую перпендикулярно плоскости • Определить основание перпендикуляра как точку пересечения перпендикуляра с плоскостью • Определить видимость перпендикуляра по конкурирующим точкам • Определить натуральную величину перпендикуляра Задача нахождения расстояния от точки до плоскости общего положения является комплексной. Ее решение состоит из последовательности решения четырех перечисленных задач, рассмотренных ранее
Перпендикуляр к проецирующей плоскости П 2 М 2 К 2 К x К 1 М М 1 1 Перпендикуляр к проецирующей плоскости ( П 1 ) является линией уровня: МК П 1
Перпендикуляр к проецирующей плоскости 2 П 2 2 М 2 К 2 К x M 2 К 1 М М 1 К 2 x К 1 1 П 1 М 1 н. в. 1 Горизонтальная проекция М 1 К 1 перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции плоскости 1. . Фронтальная проекция перпендикуляра М 2 К 2 параллельна оси х.
Перпендикуляр к плоскости уровня П 2 М К 2 Г 2 x К П 1 Г M 1 (К 1 ) Прямая, перпендикулярная плоскости уровня (Г П 1 ), является проецирующей прямой (МК П 1 ).
Перпендикуляр к плоскости уровня М 2 н. в. П 2 М К 2 Г 2 А 2 В 2 Г 2 К 2 x К П 1 x В 1 Г M 1 (К 1 ) C 2 А 1 C 1 M 1 (К 1 ) Фронтальная проекция перпендикуляра М 2 К 2 будет перпендикулярна фронтальной проекции плоскости уровня Г 2. Следовательно, перпендикуляр является проецирующей прямой, и на П 1 его проекцией будет точка
Плоскость, перпендикулярная прямой Задача: Через точку А провести плоскость , перпендикулярную прямой m m 2 f 2 A 2 2 h 2 f 1 m 1 A 1 h 1 (h f) h f=А A 1 h 1 m 1 A 2 f 2 m 2 1 Прямая m – общего положения, поэтому искомую плоскость удобнее задать пересекающимися горизонталью и фронталью. Горизонтальная проекция горизонтали h 1 перпендикулярна проекции прямой m 1. Фронтальная проекция фронтали f 2 перпендикулярна проекции прямой m 2
Перпендикулярность двух плоскостей Задача: f 2 h 2 Через прямую m провести плоскость , перпендикулярную плоскости (h f) 2 A 2 l 2 m 2 l 1 h 1 l 2 f 2 f 1 h 1 l 1 1 A m A l (h f) m 1 (m l) (h f) A 1 Прямая m не является перпендикуляром к плоскости . Через точку А на прямой m проведем перпендикуляр l к плоскости . Плоскость задана пересекающимися прямыми m и l
Перпендикулярность двух плоскостей Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой l Определение: m n К l l Через перпендикуляр к плоскости можно провести бесчисленное множество плоскостей.
Задания в тестовой форме 1. Прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если … а) одна из его сторон перпендикулярна плоскости проекций б) одна из его сторон параллельна плоскости проекций в) обе его стороны есть прямые общего положения 2. Количество перпендикуляров, которое можно восстановить из точки на заданной прямой … а) один б) бесчисленное множество в) два 3. Количество перпендикуляров, которое можно опустить на прямую из заданной точки пространства … а) один б) бесчисленное множество в) ни одного
Задания в тестовой форме 4. Рисунки, на котором прямые m и n перпендикулярны … 1 m 2 2 3 n 2 n 1 m 2 m 2 n 1 m 1 n 2 n 1 m 1 5. Прямой угол при проецировании на плоскость проекций будет искажаться, если … а) обе стороны угла – линии уровня б) обе стороны угла – прямые общего положения в) одна из сторон угла – линия уровня
Задания в тестовой форме 6. Отрезок, являющийся перпендикуляром к прямой f. . . M 2 K 2 а) MN б) MK в) оба N 2 f 1 K 1 N 1 M 1 7. Прямая, перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна … этой плоскости. а) двум пересекающимся прямым б) двум параллельным прямым
Задания в тестовой форме 8. Перпендикуляр к плоскости общего положения является … а) проецирующей прямой б) линией уровня в) прямой общего положения 9. Перпендикуляр к проецирующей плоскости является … а) проецирующей прямой б) линией уровня в) прямой общего положения 10. Перпендикуляр к плоскости уровня является … а) проецирующей прямой б) линией уровня в) прямой общего положения 11. Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через _____ к другой.
Задания в тестовой форме 12. Рисунки, на которых прямая n перпендикулярна плоскости треугольника … n 2 2 n 1 1 2 2 n 1 1 а) ? n б) ? n n 2 2 n 2 1 n 1 в) ? n n 2 2 n 1 г) ? n 1 n 1 1 д) ? n 1 е) ? n
Задания в тестовой форме 13. Рисунок, на котором прямая а является высотой треугольника ? 1 2 2 1 а 2 а 1 3 а 2 2 1 а 1 2 а 2 1 а 1
Задания в тестовой форме 14. Рисунок, на котором заданы проекции двух перпендикулярных плоскостей ABC и ? 1 2 A 2 C 2 A 2 2 B 2 C 2 B 1 C 1 A 1 1 3 C 2 2 A 1 B A 1 C 1 A 2 B 2 1 B 1 C 1 B 1
Скачать презентацию Начертательная геометрия Тема 5 Перпендикулярность геометрических образов Цель
5.Перпендикулярность.ppt