Начертательная геометрия Тема 4 Взаимное положение прямой и

Начертательная геометрия Тема 4 Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Позиционные задачи. Цель: освоить графические приемы анализа взаимного положения прямых и плоскостей, сформировать навыки решения позиционных задач.

Классификация позиционных задач 1. Положение фигуры относительно плоскостей проекций 2. Взаимное положение фигур Двух плоскостей Прямой и плоскости Двух прямых Параллельность (несобственное пересечение) Двух плоскостей (поверхностей) Линии и плоскости (поверхности) Двух линий Точки линии Уровня ние Точки плоскости (поверхности) ность Частное положение Проецирующее Общее положение Пересече- Линии плоскости (поверхности) Принадлеж- Позиционными называются задачи на определение взаимного положения геометрических образов или их положения относительно плоскостей проекций. В классификации плоскость рассматривается как поверхность первого порядка

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая и плоскость: • Прямая принадлежит плоскости : все точки прямой являются точками плоскости • Прямая параллельна плоскости: общих собственных точек нет • Прямая пересекает плоскость: одна общая точка Две плоскости: • Плоскости параллельны: общих собственных прямых нет • Плоскости пересекаются: одна общая прямая Рассмотрим все возможные случаи взаимного положения прямой и плоскости и двух плоскостей

Принадлежность прямой плоскости 1 2 12 m а 2 2 2 n 2 m 2 n 1 m 1 22 21 2 b 2 12 1 а 1 11 m 1 (n m) (1 m) ; (2 n) а (1 И 2) а 11 1 (n m) b 1 (1 m) ; 1 b b n b Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости

Параллельность прямой и плоскости b А n b n b Признак параллельности: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойлибо прямой, лежащей в этой плоскости Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного решения проведем в плоскости прямую n

Параллельность прямой и плоскости Задача: b А Через точку D провести фронталь, параллельную плоскости ( АВС) С 2 12 f 2 n f 2 А 2 11 b n b А 1 С 1 f 1 В 2 f 1 D 2 D 1 В 1 Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС )

Параллельность двух плоскостей n a b П 2 m x П 1 а m b n 1 1 2 2 Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Параллельность двух плоскостей Задача 1: Через точку D провести плоскость , параллельную плоскости (a b) a 2 b 2 a 1 b 1 D 2 m 2 n 2 2 m 1 D 1 n 1 1 m a n b 1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости.

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью П 2 12 x n х n 2 1 n 1 11 П 1 12 n 2 x 1 11 n 1 1 Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) определена на горизонтальной плоскости проекций. Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью П 2 22 2 12 1 21 x 11 S – горизонтально проецирующая плоскость; ( ) – плоскость общего положения 1 П 1 Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью П 2 22 12 1 2 В 1 21 12 x x 11 А 2 22 1 П 1 С 2 С 1 11 21 1 А 1 Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на П 1 в виде прямой, которой принадлежит проекция отрезка 1121 искомой линии пересечения. Часть треугольника, находящаяся перед плоскостью , будет видима на П 2. Линия 1222 служит границей видимости

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m Алгоритм: 2 K 1 1. 2. 3. 4. m = 1 -2 m = K Видимость m 1. Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . 2. Находят линию пересечения 1 -2 плоскостей: заданной и вспомогательной . 3. На полученной линии пресечения 1 -2 находят общую точку К с заданной прямой m. 4. Определяют видимость прямой m

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 m 2 2 22 21 11 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 m 1 1 1 В качестве вспомогательной выбираем горизонтально проецирующую плоскость ( 1), проходящую через заданную прямую m. Строим горизонтальную 1121 , а затем фронтальную 1222 проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с данным треугольником

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 m 2 K 2 22 21 11 m 1 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 3. 1 -2 m = K; K 2 K 1 1 Находим фронтальную проекцию K 2 точки пересечения К линии 1 -2 и данной прямой m. Горизонтальная проекция К 1 искомой точки пересечения будет принадлежать горизонтальной проекции m 1 прямой m

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 (5) 42 2 22 31 (211 2) 51 41 K 2 32 m 2 11 K 1 m 1 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 3. 1 -2 m = K; K 2 K 1 4. Видимость m (по конкурирующим точкам) 1 1 Видимость горизонтальной проекции прямой определяют по горизонтально конкурирующим точками 3 и 2 (3 m; 2 ). Видимость фронтальной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точками 4 и 5 (4 m; 5 ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения

Способ вспомогательных секущих плоскостей • Частный случай способа вспомогательных секущих поверхностей • Используется для решения позиционных задач • Секущие плоскости выбирают так, чтобы в сечении получались графически простые линии • В качестве секущих удобно использовать плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня)

Пересечение двух плоскостей общего положения 1 M 2 Алгоритм: 3 P 4 Р- вспом. пл-ть 1. P = 1 -2 2. P = 33. 1 -2 3 - 4 = 3 4. M Способом вспомогательных секущих плоскостей найдем две точки, определяющие линию MN пересечения заданных плоскостей и . Плоскость Р пересекает плоскость по прямой 1 -2, а плоскость – по прямой 3 -4. При пересечении полученных прямых определяем первую точку М

Пересечение двух плоскостей общего положения Алгоритм: Р- вспом. пл-ть 1. P = 1 -2 P 2 3 2. P = 34 1 3. 1 -2 3 - 4 = 3 4. MТ- вспом. пл-ть T 1. Т = 5 - 6 5 6 N 7 8 2. Т = 7 - 8 3. 5 - 6 7 - 8 = N N M – искомая прямая Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает заданную плоскость M по прямой 5 -6, а заданную плоскость – по прямой 7 -8. На пересечении полученных прямых определяем вторую точку N искомой линии MN пересечения заданных плоскостей и

Пересечение двух плоскостей общего положения Р 2 12 K 2 M 2 3 2 В 2 22 E 2 42 F 2 С А 2 F 1 Алгоритм: Р- вспом. пл 1. ть ( АВС)=1 -2 P 2. P (KF FE)=3 - 4 3. 1 -2 3 - 4 = M 1 А 1 11 21 В 1 M 1 3 1 K 1 41 E 1 Проецирующая плоскость Р(Р 2 ) пересекает плоскость ( АВС) по прямой 1 -2, а плоскость (KF FE) – по прямой 3 -4. Определив фронтальные проекции прямых 1222 и 3242 , находят общую точку М 1 на пересечении их горизонтальных проекций. Проекцию М 2 точки М находим

Пересечение двух плоскостей общего положения В 2 22 62 K 2 E 2 M 2 3 2 4 2 72 82 N 2 F Алгоритм: Р- вспом. пл-ть 1. P ( АВС)=1 -2 2. P (KF FE)=3 - 4 2 3. 1 -2 3 - 4 = С 2 А 2 F 1 M Т- вспом. пл-ть С N 1 1 1. Т ( АВС)=5 61 71 81 А 1 2. Т (KF FE)= 7 M 1 3 1 6 41 3. 3 51 21 8. 5 - 6 7 - 8 = N K 1 E 1 11 В 1 N M – искомая прямая Вторая вспомогательная плоскость Т пересекает данные плоскости по Р 2 12 T 2 52 прямым 5 -6 и 7 -8, на пересечении которых определяется вторая точка N искомой линии MN. Точки М и N лежат в соответствующих секущих плоскостях и принадлежат одновременно двум исходным плоскостям и

Пересечение двух треугольников B 2 Задача: F 2 A 2 D 2 A 1 D 1 C 2 E 2 F 1 Построить линию пересечения плоскостей ( АВС) и ( DEF) C 1 E 1 B 1 В данном случае вспомогательную секущую (проецирующую) плоскость удобно проводить через сторону треугольника. Тогда решение задачи сводится к определению точек пересечения двух прямых линий (сторон треугольников) одной плоскости с другой плоскостью

Пересечение двух треугольников B 2 A 2 D 2 A 1 D 1 12 M 2 22 F 2 P 2 C 2 E 2 11 F 1 C 1 M 1 E 1 21 B 1 Найдем точку М пересечения прямой DF с треугольником АВС. Вспомогательная плоскость Р(Р 2 ), проведенная через сторону DF треугольника DEF, пересекает плоскость ( АВС) по прямой 1 -2. Сторона DF и прямая 1 -2 имеют общую искомую точку М

Пересечение двух треугольников B 2 A 2 D 2 A 1 D 1 12 11 M 2 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 E 2 42 41 F 1 N 1 M 1 E 1 21 C 2 C 1 31 B 1 Аналогично с помощью вспомогательной плоскости T(T 2 ) найдем вторую точку N пересечения прямой FE с треугольником АВС. Прямая 3 -4 – это пересечение плоскостей T(T 2 ) и ( АВС). Точка N – пересечение прямых 3 -4 и EF. Прямая MN – искомая линия пересечения данных

Пересечение двух треугольников B 2 A 2 D 2 A 1 D 1 12 M 2 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 C 2 (42) 52 E 2 4 1 11 F 1 N 1 M 1 E 1 C 1 5131 21 B 1 Для определения видимости треугольников на П 2 выбирают пару конкурирующих точек 4 и 5, лежащих на пересечении фронтальных проекций сторон треугольников. Из совпадающих проекций точек 42 5 видимой будет точка 5 на прямой EF, ближайшая к наблюдателю 2

Пересечение двух треугольников B 2 A 2 D 2 A 1 D 1 12 M 2 E 2 11 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 C 2 (42) 52 F 1 41 N 1 M 1 E 1 C 1 5131 21 B 1 Линия MN определяет перемену видимости треугольников. Поскольку на П 2 видима точка 5 на прямой EF, то сторона E 2 F 2 до точки N будет видимой (этот вывод распространяется на всю переднюю часть проекции DFЕ ). Невидимыми будут части сторон EF и FD за точками N

Пересечение двух треугольников B 2 A 2 D 2 A 1 D 1 12 M 2 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 (42) 52 E 2 4 1 11 N 1 M 1 E 1 C 2 F 1 C 1 5131 21 B 1 Видимость АВС будет противоположной по отношению к DFЕ. Сторона ВС будет видимой, т. е. располагаться перед плоскостью DFЕ. Наоборот, сторона АС будет невидимой, т. е. проходить за плоскостью DFЕ. Видимость фронтальной проекции определена

Пересечение двух треугольников B 2 72 A 2 D 2 A 1 D 1 12 M 2 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 C 2 (42) 52 62 E 2 41 11 N 1 M 1 E 1 (6 7 1) 1 F 1 C 1 5131 21 B 1 Для определения видимости плоскостей на П 1 возьмем пару горизонтально конкурирующих точек 6 и 7 на пересечении горизонтальных проекций сторон треугольников. Из совпадающих горизонтальных проекций точек видимой будет точка 7 на прямой АВ , ближайшая к наблюдателю

Пересечение двух треугольников B 2 72 A 2 D 2 A 1 D 1 M 2 12 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 C 2 (42) 52 62 E 2 11 41 N 1 M 1 E 1 (6 7 1) 1 F 1 C 1 5131 21 B 1 Невидимая на П 1 точка 6 лежит на прямой DE и определяет невидимую нижнюю часть проекции DFЕ. Выше линии пересечения МN расположена видимая часть плоскости DFЕ с вершиной F

Пересечение двух треугольников B 2 72 A 2 D 2 A 1 12 M 2 22 T 2 P 2 F 2 32 N 2 C 2 (42) 52 62 E 2 11 41 N 1 M 1 D 1 (61) 71 F 1 E 1 C 1 5131 21 B 1 Плоскости треугольников считаются непрозрачными, поэтому сторона AB будет видимой, т. е. располагаться над плоскость DFЕ. Наоборот, сторона АС будет невидимой, т. е. проходить под плоскостью DFЕ. Видимость горизонтальной проекции определена

Задания в тестовой форме 1. Взаимная параллельность прямой и плоскости определяется … а) точкой на плоскости б) двумя параллельными прямыми в) одной прямой на плоскости 2. Количество прямых, параллельных плоскости, которое можно провести через данную точку пространства … а) одну б) бесчисленное множество в) две 3. Взаимная параллельность двух плоскостей определяется … а) двумя пересекающимися прямыми б) двумя параллельными прямыми

Задания в тестовой форме 4. Для определения точки пересечения прямой с плоскостью, вспомогательную плоскость следует провести … а) параллельно данной прямой б) через точку на прямой в) через прямую 5. 1 Прямая АВ параллельна плоскости , заданной пересекающимися прямыми m и n на рис. … m 2 B 2 n 2 A 1 m 1 n 1 B 1 2 m 2 A 2 3 n 2 B 2 n 1 m 1 A 1 m 2 A 2 n 1 A 1 B 2 m 1 B 1

Задания в тестовой форме 6. Взаимное положение ( ; ; плоскости ( 3) ? А 3 A 2 B В 3 2 B 1 3 A 2 B 2 А 3 (В 3) А 2 (В 2) B A 3 3 B 1 A 1 a)АВ ? ( 3) и 3 3 A 1 ) прямой АВ б)АВ ? ( 3) в)АВ ? ( 3)

Задания в тестовой форме 7. Прямая АВ пересекает плоскость ( MNK) на рис. … 1 N 2 2 A 2 M 2 B 2 M 1 K 2 A 2 B 1 A 1 N 1 К 1 N 2 M 1 A 1 N 1 3 B 2 K 2 N 2 M 2 (A 2) A 1 N 1 B 2 K 2 К 1 M 1 B 1 К 1

Задания в тестовой форме 8. Взаимное положение плоскостей (m n) и (k l) … m 2 12 2 n 2 22 n 1 1 Т m 1 11 1 21 k 2 32 2 l 2 42 31 41 k 1 1 l 1 а) плоскости и пересекаются б) плоскости и параллельны в) для решения необходимо провести еще одну вспомогательную плоскость

Задания в тестовой форме 9. Плоскость проекций, на которой сразу видна точка пересечения прямой общего положения с фронтальной плоскостью уровня … а) фронтальная б) горизонтальная в) профильная 10. Линия пересечения двух фронтально проецирующих плоскостей … а) горизонтально проецирующая б) фронтально проецирующая в) фронтальная уровня г) общего положения