Начертательная геометрия Тема 3 Проекции плоскости Цель: изучить

Начертательная геометрия Тема 3 Проекции плоскости Цель: изучить общие закономерности проецировании плоскостей, принадлежность точки и прямой плоскости

Кинематический способ образования плоскости B C A D АВ CD образующая направляющая Плоскость может быть образована параллельным перемещением прямой АВ (образующей) по неподвижной прямой СD (направляющей). Плоскость безгранична и бесконечна, делит пространство на две части

Проекции плоскости Пространственная модель П 2 А 2 x С 2 A Способы определения (А, В, С) В 2 C B С 1 B 1 А 1 Плоскость однозначно определяется тремя произвольными точками А, В и С, не лежащими на одной прямой

Проекции плоскости Пространственная модель П 2 x m 2 A m (А, В, С) (m, В) В 2 C Способы определения B O m 1 B 1 Плоскость однозначно может быть определена прямой, проходящей через две произвольные точки плоскости, и точкой вне этой прямой

Проекции плоскости Пространственная модель П 2 x m 2 A m (А, В, С) (m, В) (m n ) n 2 В 2 Cn B m m 1 1 Способы определения B n 1 1 Плоскость однозначно может быть определена с помощью двух пересекающихся прямых

Проекции плоскости Пространственная модель П 2 x m 2 A m (А, В, С) (m, В) (m n ) (m n) n 2 В 2 C B n m m 1 1 Способы определения B n 1 1 Плоскость однозначно может быть определена с помощью двух параллельных прямых

Способы задания плоскости 2 1 А 2 С 2 2 В 2 С 1 1 А 1 В 1 (А, В, С) В 2 3 m 2 2 m 2 4 n 2 2 m 2 2 n 2 m 1 1 В 1 (В, m) n 1 m n 1 1 1 (n m) m 1 1 (n m) На комплексном чертеже плоскость можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;

Способы задания плоскости 5 С 2 2 В 2 А 2 С 1 А 1 1 В 1 ( АВС) 5) проекциями плоской фигуры. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадлежащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках

Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью: Горизонтально проецирующая плоскость П 1 Фронтально проецирующая плоскость П 2 Профильно проецирующая плоскость П 3 Плоскость, параллельная плоскости проекций, называется плоскостью уровня (дважды проецирующей): Горизонтальная плоскость П 1 Фронтальная плоскость П 2 Профильная плоскость П 3

Горизонтально проецирующая плоскость ( П 1) Пространственная модель z Комплексный чертеж П 2 x C 2 П 3 1 В 2 А 2 x П 1 y А 1 В 1 C 1 1 Горизонтальная проекция плоскости вырождается в прямую. Углы наклона данной плоскости к фронтальной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 1 не искажаются

Фронтально проецирующая плоскость ( П 2) Пространственная модель z Комплексный чертеж П 2 x 2 А 2 П 3 П 1 В 2 C 2 2 x C 1 А 1 В 1 y Фронтальная проекция плоскости проецируется в прямую. На П 2 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на этой прямой. Углы наклона данной плоскости к горизонтальной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 2 не искажаются

Профильно проецирующая плоскость ( П 3) Пространственная модель z Комплексный чертеж z П 2 x А 3 А 2 В 2 П 3 x 3 А 1 В 1 П 1 y C 2 В 3 C 3 3 C 1 y 1 Профильная проекция плоскости проецируется в прямую. На П 3 проекции трех произвольных точек плоскости принадлежат этой прямой. Углы наклона данной плоскости к горизонтальной ( ) и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П 3 не искажаются. y 3

Горизонтальная плоскость уровня ( П 1) Пространственная модель z Комплексный чертеж П 2 2 А 2 В 2 2 П x н. в. 3 3 x В 1 А 1 П 1 C 2 н. в. C 1 y Треугольник (АВС), задающий плоскость , проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций

Фронтальная плоскость уровня ( П 2) Пространственная модель z Комплексный чертеж н. в. П 2 x А 2 П н. в. C 2 В 2 3 3 x 1 1 А 1 В 1 C 1 П 1 y Треугольник (АВС), задающий плоскость , изображается в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций

Профильная плоскость уровня ( П 3) Пространственная модель z П 2 x 2 Комплексный чертеж 2 н. в. П 3 x П 1 1 y В 2 C 2 А 1 В 1 C 1 1 z В 3 А 3 н. в. C 3 y 1 Треугольник (АВС), задающий плоскость , проецируется в натуральную величину на профильную плоскость проекций

Принадлежность прямой плоскости 1 2 12 m а 2 2 2 n 2 m 2 n 1 m 1 22 21 2 b 2 12 1 а 1 11 m 1 (n m) (1 m) ; (2 n) а (1 И 2) а 11 1 (n m) b 1 (1 m) ; 1 b b n b Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости

Принадлежность точки плоскости 12 А 2 2 D 2 32 22 11 А 1 С 2 ( АВС) D 1 В 1 1, 2 - ? (1 АС) 2 В 2 С 2 1 1 31 1 1 2 D 2 - ? , если D П 1: (D 1 ИA 1) С 1 В 1 П 2: = 3 1 3 2 C 2 B 2 А 2 И 32 D 2 А 23 2 Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением: 1) при чтении чертежа; 2) при построении точки, лежащей в данной плоскости

Принадлежность прямой и точки плоскости К 2 2 А 2 М 2 В 2 N 2 x А 1 x М 1 1 N 1 П 1 A 1 1 А N 1 M 1 1 MN К 1 А 1 В 1 П 2 К 2 2 К А 2 В 2 2 АВ Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее вырожденной проекцией. Это собирательное свойство проецирующих плоскостей

Главные линии плоскости Горизонталей плоскости бесчисленной множество, все они параллельны между собой С 2 z П 2 x hh h 12 А 2 П 3 h 2 В 2 С 1 x o 11 h 1 П 1 y В 1 А 1 Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В и 1 )

Главные линии плоскости Фронталей плоскости бесчисленное множество, все они параллельны между собой z П 2 fo x П 1 f 22 А 2 П 3 f 12 x 21 11 h 1 y С 2 f 2 h 2 В 2 С 1 f 1 В 1 А 1 Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки (например, В и 2 )

Задания в тестовой форме 1. Количество точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяющих положение плоскости … а) три б) две в) бесчисленное множество 2. 1 Соответствие номеров рисунков способам задания плоскости: m 2 n 2 2 m 2 3 n 2 m 2 А 2 n 1 m 1 а) параллельными прямыми – рис. ? в) пересекающимися прямыми – рис. ? г) прямой и точкой вне ее – рис. ? m 1 А 1

Задания в тестовой форме 3. Плоскость общего положения изображается на основных плоскостях проекций … а) без искажения б) с искажением 4. Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в виде … а) прямой б) двух параллельных прямых в) окружности 5. Плоскость, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в … а) натуральную величину б) прямую 6. Собирательным свойством обладают плоскости … а) общего положения б) проецирующие в) плоскости проекций

Задания в тестовой форме 7. Соответствие номера рисунка названию плоскости и положению ее в пространстве: C 2 1 2 3 В 2 А 2 C 1 x В 1 А 1 1 В 1 C 1 В 2 О 2 C 2 В 3 4 5 В 2 6 А 2 C 3 О 1 В 1 C 2 А 3 C 1 А 1 а) рис. ? – горизонтально проецирующая б) рис. ? – фронтально проецирующая в) рис. ? – профильно проецирующая г) рис. ? – горизонтальная уровня д) рис. ? – фронтальная уровня е) рис. ? – профильная уровня рис. ? – П 1 з) рис. ? – П 2 и) рис. ? – П 3 к) рис. ? – П 1 л) рис. ? – П 2 м) рис. ? – П 3 ж)

Задания в тестовой форме 8. Принадлежность точек ( или ) плоскости (AB CD) : N 2 M 2 A 2 L 2 (D 2 ) K 2 B 2 C 2 N 1 A 1 D 1 (C 1 ) L 1 M 1 K 1 B 1 а) М ? б) K ? в) N ? г) L ?

Задания в тестовой форме 9. Принадлежность прямой АВ ( или ) плоскости : k 2 l 2 A 2 В 2 k 1 A 1 В 1 A 2 m 2 В 2 D 2 n 2 l 1 A 1 B 2 E 2 F 2 А 2 A 2 B 1 F 1 n 1 m D 1 А 1 1 E 1 В 2 n 2 m 1 A 1 В 1 n 1 a)АВ? (k l) б)АВ? (m в)АВ? ( DEFг)АВ? (m АВ АВ n) ) n)

Задания в тестовой форме 10. Горизонталь, принадлежащая фронтальной плоскости уровня, является … а) горизонтально проецирующей прямой б) профильно проецирующей прямой в) фронтально проецирующей прямой 11. Плоскость, которую можно провести через фронтально проецирующую прямую, - это плоскость … а) профильно проецирующая б) горизонтальная уровня в) общего положения 12. Горизонталь, принадлежащая фронтально проецирующей плоскости занимает положение… а) фронтально проецирующее б) общее в) горизонтально проецирующее