Начертательная геометрия Тема 2 Проекции прямой Цель сформировать

Начертательная геометрия Тема 2 Проекции прямой Цель: сформировать понятие о свойствах прямых линий, их классификации и взаимном положении

Проекции прямой Пространственная модель П 2 А 2 m В 2 A B x O А 1 П 1 B 1 Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой, или точка и заданное направление прямой.

Проекции прямой Пространственная модель П 2 А 2 m Комплексный чертеж В 2 m 2 A А 2 O П 1 m 2 B x А 1 B 2 B 1 m 1 x А 1 B 1 m 1 Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m 1 – через А 1 и В 1 ; фронтальная проекция прямой m 2 – через А 2 и В 2

Положение прямой относительно плоскостей проекций z П 2 В 2 B А 2 x : . в Н. A B 1 н. в. – натуральная величина отрезка; В 3 – угол наклона П 3 отрезка к плоcкости П 1 ; А 3 – угол наклона А 1 П 1 y отрезка к плоcкости П 2 ; – угол наклона отрезка к плоcкости В зависимости от характеристик отрезка прямая может занимать по отношению к плоскостям проекций общее или частное положения П 3

Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций B 2 А 2 B 3 А 1 B 1 На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним

Прямые частного положения Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня: Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h П 1 Фронтальная прямая уровня (фронталь) f П 2 Профильная прямая p П Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей 3 проекций, называется проецирующей прямой: Горизонтально проецирующая прямая П 1 Фронтально проецирующая прямая П 2 Прямая уровня про-ецируется без искажения на ту плоскость проекций, Профильно проецирующая прямая которой она парал-лельна. Одна из проекций проецирующей прямой П 3 вырождается в точку

x Прямые уровня: горизонталь (h П 1) Пространственная модель П 2 Комплексный чертеж А 2 h 2 В 2 A А 1 П 1 h B h 1 z=const B 1 z=const x А 1 h 1 н. в. B 1 Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости проекций П 1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А 2 В 2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизонтали А 1 В 1 , углы и изображаются в натуральную

Прямые уровня: фронталь (f П 2) Пространственная модель В 2 А 2 x f 2 y=const f B A П 1 А 2 f 2 f 1 А 1 В 2 н. в. x П 2 Комплексный чертеж B 1 А 1 f 1 y=const B 1 Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П 2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А 1 В 1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А 2 В 2 , углы и изображаются в натуральную величину на П 2

Прямые уровня: профильная прямая (р П 3) Пространственная модель z П 2 x В 2 В 3 р2 B р x=const 3 П А 2 3 р А 3 B 1 р1 A П 1 А 1 Комплексный чертеж z В 2 р2 А 2 x y В 3 B 1 р1 А 1 O н. в. р3 А 3 y 3 x=const y 1 Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П 3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А 1 В 1 и фронтальная А 2 В 2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А 3 В 3 , углы и имеют натуральную величину

Горизонтально проецирующая прямая ( П 1) Пространственная модель П 2 Комплексный чертеж В 2 н. в. B А 2 A (А 1 ) B 1 П 1 x x (А 1 ) B 1 Прямая перпендикулярна П 1 , поэтому ее горизонтальная проекция А 1 В 1 вырождается в точку. Относительно П 2 и П 3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А 2 В 2 перпендикулярна оси координат х

Фронтально проецирующая прямая ( П 2) Пространственная модель Комплексный чертеж П 2 (В 2 ) А 2 B A B 1 П 1 x x А 1 н. в. B 1 А 1 Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и параллельна П 1 и П 3. Фронтальная проекция А 2 В 2 вырождается в точку. На П 1 и П 3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А 1 В 1 перпендикулярна оси координат х

Профильно проецирующая прямая ( П 3) Пространственная модель z Комплексный чертеж z П 2 В 2 B 2 А 2 (A 3) B 3 А 2 (А н. в. )В 3 3 B B 1 П 1 A А 1 x x П 3 н. в. B 1 А 1 O y 3 y 1 y Прямая перпендикулярна П 3 , ее профильная проекция А 3 В 3 вырождается в точку. Относительно П 1 и П 2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны

Следы прямой Пространственная модель П 2 N В 2 А 2 Комплексный чертеж АВ П 1 АВ = М П 2 =N В 2 А 2 B x x M A B 1 А 1 B 1 П 1 След прямой – есть точка пересечения прямой с соответствующей плоскостью проекций. Точка М – это горизонтальный след прямой АВ , она имеет аппликату z. М = 0. Точка N – это фронтальный след прямой АВ, который имеет ординату y. N = 0.

Следы прямой Пространственная модель П 2 Комплексный чертеж N В 2 М 2 B x x А 2 A B 1 А 1 M M 1 М 1 А 1 B 1 П 1 Для построения горизонтального следа прямой АВ найдем на ней точку М с координатой z =0. Пересечение фронтальной проекции прямой А 2 В 2 с осью х определяет фронтальную проекцию следа M 2. Горизонтальная проекция следа М 1 принадлежит горизонтальной проекции прямой

Следы прямой Пространственная модель Комплексный чертеж N 2 N П 2 В 2 М 2 B A N 1 B 1 А 1 M M 1 x x А 2 М 1 А 1 B 1 N 1 П 1 Для построения фронтального следа прямой АВ найдем на ней точку N с координатой y = 0. Пересечение горизонтальной проекции прямой А 1 В 1 с осью х определяет горизонтальную проекцию следа N 1. Фронтальная проекция следа N 2 принадлежит фронтальной проекции прямой

Определение положения прямой Метод прямоугольного треугольника В 2 z A x П 1 B z К B 1 А y 1 x н. в. y А 2 А 1 x x y B 1 x Длина проекции А 1 В 1 отрезка АВ есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами x и y. Отрезок АВ – гипотенуза прямоугольного треугольника АВК , один катет которого АК = А 1 В 1 , а другой равен разности расстояний z концов отрезка А и В от плоскости проекций П 1

Определение характеристик отрезка Метод прямоугольного треугольника В 2 АВ + x 2 + y 2 = А 1 В 1 2 x 2+ y 2 н. в. A x П 1 B z К B 1 А y 1 z 2 x z x 2= y x А 2 x А 1 н. в. B 0 y B 1 z На горизонтальной проекции А 1 В 1 отрезка АВ построим прямоугольный треугольник А 1 В 0 , второй катет которого равен z. Гипотенуза А 1 В 0 треугольника равна натуральной величине отрезка АВ , а угол есть угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости

Определение характеристик отрезка Метод прямоугольного треугольника АВ + x 2 + y 2 = А 1 В 1 2 x 2+ y 2 A x П 1 B z К B 1 А y 1 x y В 2 н. в. А 0 z x y н. в. z 2 x 2= А 2 x А 1 н. в. B 0 y B 1 z Для определения угла на фронтальной проекции А 2 В 2 строят прямоугольный треугольник В 2 А 0 , второй катет которого равен y. Гипотенуза А 0 В 2 треугольника равна натуральной величине отрезка АВ , а угол есть угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций

Взаимное положение двух прямых Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку x x АВ СD = K(К 1 , К 2) D 2 П 2 А 1 В 1 С 1 D 1 = D 2 В 2 K 1 А 2 В 2 С 2 D 2 = K 2 K 2 C 2 А 2 B А 2 C 2 K C C 1 D AC 1 B 1 А 1 K 1 D 1 П 1 D 1 Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересечения соответствующих проекций прямых: на П 1 - это точка К 1 ; на П 2 точка К 2. Точки пересечения К 1 и К 2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи

Взаимное положение двух прямых Параллельные прямые не имеют общих точек x m 2 n m m n m 1 n 1 m 2 n 2 n 1 m 2 n 2 x П 2 n 1 m 1 Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости

Взаимное положение двух прямых Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой 1 m m 1 n 1 m 2 x m n 2 n n 2 m 2 (12 ) 22 n 2 x n 2 П 2 (12 ) 22 m 1 11 m 11 1 21 n 1 Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т. к. прямые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т. к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки,

Проецирование плоских углов Плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны плоскости проекций C B АВ А 1 В 1 B 1 BC C 1 A н. в. x П 1 C 1 B 1 1 н. в. А 1 = 1 y Проекции сторон угла равны натуральным величинам. При проецировании величина угла не искажается

Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения B A x М 1 B 1 А 1 N 1 П 1 1 Дано: C C 1 y =90 АВ П 1 ; BC П 1 1 = =90 Доказать: Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А 1 В 1 в точке М 1. Через точку М 1 проведем прямую М 1 N 1 В 1 C 1. Т. к. BC П 1 , то BC В 1 С 1. Значит, М 1 N 1 ВС и BM 1 N 1 =90 . По

Теорема о проецировании прямого угла Дано: bh = 90 b 2 Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина h 2 x h 1 н. в. b 1 Одна из сторон прямого угла является горизонталью (h П 1 ), поэтому на П 1 угол b 1 h 1 будет прямым. На П 2 показаны возможные положения фронтальной проекции прямой общего положения b

Теорема о проецировании прямого угла Задача: C 2 н. в. D 2 f 2 x С 1 f 1 D 1 Построить проекции перпендикуляра, проведенного из точки С к прямой f C 2 D 2 f 2 D 2 D 1 C 1 Прямая f является фронталью и проецируется на П 2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С 2 D 2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f. Определяем основание перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С 1 D 1

Принадлежность точки прямой Пространственная модель П 2 К 2 N 2 x М 2 а 2 К N N 1 К 1 а 1 П 1 а Комплексный чертеж N a M a K a K 1 a 1 ; M K 2 a 2 M 1 N 2 К 2 N 1 а 1 М 2 а 2 К 1 M 1 Согласно свойствам проецирования, если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой. И наоборот, если проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой, то в пространстве точка принадлежит прямой

Задания в тестовой форме 1. Количество точек, определяющее положение прямой в пространстве … а) одна б) две в) бесчисленное множество 2. Проекция отрезка на плоскость проекций, которой он параллелен … а) искажается б) является точкой в) равна длине отрезка 3. Проекцией прямой на плоскость проекций, которой она перпендикулярна, является … а) прямая б) точка 4. Прямая общего положения … к основным плоскостям проекций. а) перпендикулярна б) находится под углом

Задания в тестовой форме 5. Соответствие прямой ее названию и положению в пространстве: E 2 F 2 x E 1 F 1 C 2 D 1 C 1 ? – горизонталь б) ? – фронталь с) ? – профильная прямая а) В 2 A 2 B 1 А 1 ? – е) ? – ж) ? – д) П 1 П 2 П 3

Задания в тестовой форме 6. Соответствие прямой ее названию и положению в пространстве: z E 2 В 2 (A 2) x А 1 B 1 F 2 C 2 D 2 C (D 1) 1 E 3 (F 3 ) O y 1 ? – горизонтально-проецирующая б) ? – фронтально-проецирующая с) ? – профильно-проецирующая а) y 3 д) ? – П 1 е) ? – П 2 ж) ? – П 3

Задания в тестовой форме. 7. Взаимное положение прямых: m n 2 2 m 1 n 1 а) m и n ? А 2 B 2 А 1 B 1 б) AB и CD ? d 2 c 2 d 1 c 1 г) c и d ? C 2 D 1 C 1 k 2 k 1 l 2 l 1 д) k и l ? a 2 b 2 a 1 b 1 в) a и b ? f 2 f 1 e 2 e 1 е) e и f ?

Задания в тестовой форме 8. Перпендикуляром к прямой f является отрезок … M 2 K 2 а) MN б) MK в) оба N 2 f 1 K 1 N 1 M 1 9. Принадлежность точек ( или ) прямой f : М ? f б) K ? f в) N ? f а)

Задания в тестовой форме 10. Прямая параллельная одной из основных плоскостей проекций называется прямой _______. 11. Способ определения натуральной величины отрезка называется способом _______ треугольника. 12. Прямые в пространстве могут быть: параллельными, пересекающимися и ____. 13. Точки пересечения одноименных проекций двух пересекающихся прямых лежат на одной линии ______. 14. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из основных плоскостей проекций, называется прямой _______ положения.