Начертательная геометрия Тема 12 Развертки поверхностей Цель изучить

Начертательная геометрия Тема 12 Развертки поверхностей Цель: изучить способы построения разверток и сформировать навыки построения разверток различных поверхностей

Основные положения Развертыванием называется такое преобразование, при котором все точки поверхности совмещаются с плоскостью. Развертка - плоская фигура, получаемая в результате данного преобразования. Поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые. Развертываемые совмещаются с плоскостью без разрывов и складок Для неразвертываемых строятся приближенные развертки

Свойства развертки • Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке • Параллельные прямые поверхности будут параллельными и на развертке • На развертке сохраняются натуральные величины: длин отрезков поверхности; величин углов между линиями поверхности; величин площадей фигур на поверхности

Классификация Развертываемые поверхности Рекомендуемые способы Неразвертываемые поверхности Граные Способ триангуляции Поверхности с плоскостью параллелизма Конические Торсовые Способ описанных цилиндров Способ описанных конусов Цилиндрические (призматические) Способ нормального сечения Способ раскатки Тор Сфера

d Развертки прямых круговых конуса и цилиндра R Н d Для данных поверхностей строятся точные развертки. Боковая поверхность цилиндра – прямоугольник. Боковая поверхность конуса – круговой сектор

Способ триангуляции • Криволинейная поверхность заменяется многогранной. Каждая грань – треугольник. • Определяются натуральные величины сторон каждого из треугольников • Выполняется развертка последовательным построением треугольников в натуральную величину Применяется для линейчатых поверхностей. Если поверхность криволинейная, ее можно заменить многогранной

14. ПО А 1 Требуется построить развертку боковой поверхности наклонного конуса с круговым основанием и нанести на нее заданную точку А. Для использования способа триангуляции следует заменить коническую поверхности на многогранник.

14. ПО 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 Разбиваем основание конуса - окружность на 12 равных частей, дуги заменяем стягивающими хордами (1 -2, 2 -3 и т. д. ), обозначив их на обеих проекциях. При этом хорды на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения.

14. ПО 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 Соединив концы построенных хорд с вершиной S, получаем вписанную в конус пирамиду с ребрами S 1, S 2, … S 7 (на чертеже показана только симметричная половина пирамиды)

14. ПО н. в. 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 51 41 31 21 61 Определим натуральные элементы треугольников – граней пирамиды (1 S 2, 2 S 3, …). Образующие 1 S и 7 S будучи фронталями уже имеют натуральную величину. Для определения натуральной величины других образующих повернем их проекции на П 1, сделав параллельными оси х.

14. ПО н. в. 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 62 52 42 32 22 61 51 41 31 21 61 Выполнив построения на П 2, соответствующие способу вращения вокруг проецирующей оси, находим натуральные величины недостающих сторон треугольников. Ранее уже было отмечено, что стороны - хорды окружности на П 1 проецируются в натуральную величину.

14. ПО н. в. S 0 н. в. 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 62 52 42 32 22 61 51 41 31 21 10 20 После определения всех натуральных элементов вписанной в конус пирамиды начинаем выполнять развертку последовательным построением всех ее граней - треугольников (способом засечек). На чертеже показано построение первого треугольника 10 S 020.

14. ПО н. в. S 0 н. в. 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 62 52 42 32 22 70 60 61 51 41 31 50 21 40 10 20 30 Аналогично построению первого треугольника строим остальные (2 0 S 030, 30 S 040, … 60 S 070), составляющие симметричную половину вписанной в конус пирамиды.

14. ПО н. в. S 0 н. в. 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 62 52 42 32 22 70 60 61 51 41 31 50 21 40 10 20 30 Заменяем ломаную линию 1020 … 70 плавной кривой и получаем симметричную относительно S 010 половину развертки боковой поверхности конуса.

14. ПО н. в. S 0 н. в. А 2 12 22 32 42 52 62 72 11 71 А 21 1 31 41 51 61 А 2 62 52 42 32 22 70 60 61 51 41 31 50 А 21 40 0 10 20 30 Точку А, заданную на поверхности, легко построить на развертке. Для этого в треугольнике 2 S 3 через точку А проводим дополнительную прямую и, определив ее натуральную величину, находим расположение этой прямой вместе с точкой А 0 на развертке.

Способ нормального сечения • Определяются натуральные величины образующих, если они заданы в общем положении. • Строится нормальное сечение (там, где образующие имеют истинную величину) • Определяется натуральная величина нормального сечения • Строится развертка: периметр нормального сечение «развертывается» в прямую; через его вершины перпендикулярно линии проводятся образующие Применяется для призматических и цилиндрических поверхностей. Нормальное сечение перпендикулярно образующим и определяет расстояние между ними

15. ПО a 2 b 2 c 2 А 2 c 1 a 1 b 1 Боковые ребра призмы обозначены a, b и c. На П 2 эти ребра имеют натуральную величину (являются фронталями). Поэтому нормальное сечение можно провести на исходном чертеже без его преобразования перпендикулярно проекциям - натуральным величинам ребер.

a 2 15. ПО b 2 c 2 12 А 2 22 32 P 2 31 c 1 11 a 1 b 1 21 На П 2 проводим проекцию плоскости Р 2 перпендикулярно проекциям ребер - натуральным величинам. Для построения нормального сечения фиксируем точки пересечения проекции Р 2 с проекциями ребер призмы как 12, 22 и 32. Проекции 11, 21, 31 располагаем на a 1, b 1, c 1 соответственно.

a 2 15. ПО b 2 12 c 2 22 А 2 32 P 2 12 22 31 c 1 11 a 1 11 b 1 32 21 31 н. в. 21 Для построения развертки призмы необходима натуральная величина нормального сечения, которой нет на исходном чертеже. Применив способ плоско-параллельного перемещения, найдем проекцию треугольника - натуральную величину 11 21 31.

a 2 15. ПО b 2 12 c 2 22 А 2 32 P 2 10 12 22 31 c 1 11 a 1 11 b 1 32 21 20 30 10 31 н. в. 21 Развертку начинаем строить, развернув натуральное нормальное сечение в прямую линию с обозначением узловых точек 10, 20, 30 и еще раз 10. Через узловые точки проводим натуральные ребра призмы перпендикулярно линии нормального сечения, перенеся равные отрезки ребер с П 2.

a 2 15. ПО b 2 12 А 2 c 2 22 32 P 2 10 12 22 31 c 1 11 a 1 11 b 1 32 21 20 30 31 н. в. 21 Достраиваем натуральные основания призмы способом засечек и получаем ее полную развертку. 10

a 2 15. ПО b 2 12 А 2 c 2 22 32 P 2 10 12 22 31 c 1 11 a 1 11 b 1 32 21 3 20 30 10 А 0 1 н. в. 21 Точку А, заданную на поверхности, легко построить на развертке. Для этого на нужной грани через точку А проводим дополнительную прямую и, определив ее место на натуральной величине нормального сечения, находим расположение этой прямой вместе с точкой А 0 на развертке.

Способ описанных цилиндров • Криволинейную поверхность делят на доли (части) с помощью плоскостей • Ось симметрии доли делят на равное количество частей • Поверхность доли заменяют цилиндрической, которая касается криволинейной поверхности доли по оси симметрии • Строится условная развертка доли как линейчатой цилиндрической поверхности Применяется для построения условных разверток так называемых неразвертываемых криволинейных поверхностей, например сферы и тора.

16. ПО Следует построить условную развертку заданной сферы на подготовленном месте.

16. ПО 1 VI V IV I II III 1 P 1 Разделим поверхность сферы меридиональными плоскостями 1, P 1 и 1 на шесть равных (для удобства построения) долей. Именно эти доли сферы будем заменять в дальнейшем описанными цилиндрами с нормальным сечением – окружностью в меридиональной плоскости.

22 12 16. ПО 32 42 52 62 72 1 41 31 VI V 21 I 11 IV II III P 1 1 Главный фронтальный меридиан сферы (его левую половину) также разделим на равные участки точками 12, 22, 32, 42, 52, 62 и 72. На П 1 (при наличии симметрии) достаточно отметить первые четыре точки 1 1, 21, 31, и 41.

22 12 16. ПО 32 42 52 62 72 1 41 31 VI V 21 I 11 IV II III P 1 1 Через точки деления главного меридиана 2 и 3 проводим параллели. На П 1 для каждой доли сферы это будут дуги, равные 1/6 части окружности соответствующего радиуса.

22 12 16. ПО 32 42 52 72 62 С 1 В 1 41 31 1 А 1 VI V 21 I 11 IV II III P 1 1 Заменяем криволинейные доли сферы на цилиндрические участки. Для этого на П 1 через точки 41, 31 и 21 проводим образующие цилиндра, касательные к экватору и параллелям. На чертеже одна из шести долей сферы, замененная на участок цилиндра, затушевана.

22 12 16. ПО 32 10 42 А 0 В 0 52 72 62 С 1 1 В 1 41 31 С 0 20 30 40 А 1 VI V 21 I 11 IV II III P 1 1 Используя алгоритм способа нормальных сечений, строим развертку одной симметричной четверти доли сферы, замененной на участок цилиндра с нормальным сечением 10203040 и образующими С 040, В 030, А 020.

22 12 16. ПО 32 10 42 А 0 В 0 52 72 62 С 1 В 1 41 31 С 0 1 20 30 40 I II III А 1 VI V 21 I 11 IV II III P 1 1 Достраиваем развертки полных ( трех из шести ) долей сферы.

Задания в тестовой форме 1. Разверткой поверхности называется … а) плоская фигура б) отсек поверхности в) одна из проекций поверхности 2. Относительное положение, которое занимают образующие у развертываемых поверхностей … а) пересекаются б) скрещиваются 3. Поверхности, относящиеся к развертываемым … 1 2 3

Задания в тестовой форме 4. Способы построения условных разверток неразвертывающейся поверхностей … а) способ триангуляции б) способ нормального сечения в) способ вспомогательных цилиндров 5. свойства поверхности, которые сохраняются на её развертке … а) наклон образующих к П 1 б) параллельность образующих в) равенство площадей внутри замкнутых линий 6. Криволинейная поверхность в способе триангуляции заменяется … а) конической поверхностью б) многогранной поверхностью в) прямым круговым цилиндром

Задания в тестовой форме 7. Нормальным сечением называется … а) плоскость, перпендикулярная образующим призмы б) плоскость, перпендикулярная основанию цилиндра в) плоскость, параллельная оси вращения конуса 8. Способом вспомогательных цилиндров строят развертку поверхностей … 1 2 3

Задания в тестовой форме 9. Разверткой поверхности называется фигура, полученная в результате совмещения поверхности с ____. 10. Если поверхность путем преобразования можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, то такую поверхность называют ____ поверхностью.