Начертательная геометрия Тема 1 Метод проекций. Проекция точки.

Начертательная геометрия Тема 1 Метод проекций. Проекция точки. Цель: Изучить методы изображения геометрических образов на плоскости проекций и графические способы решения пространственных задач на чертеже.

Метод проекций Пространство Способ отображения пространства Геометрические образы: Прямая задача Обратная задача расширенное евклидово Параллельное и центральное проецирование • точка; • прямая; • плоскость • кривая линия; • поверхность Построить проекции геометрического образа на плоскости Прочитать чертеж, определить формы, размеры и расположение геометрического образа в пространстве Основной метод начертательной геометрии. Используется для построения изображения геометрических образов трехмерного пространства на плоскости чертежа

Метод проекций Центральное проецирование S A А П П – плоскость проекций; А – произвольная точка пространства; S – – проецирующий SA центр проекций; луч; А – проекция точки А на плоскость А = SA П проекций П При центральном проецировании проецирующие лучи проходят через центр проекций – точку S. Проекция А точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П . Центральные проекции наиболее приближены к естественному зрительному восприятию

Метод проекций Параллельное проецирование s l A А П П – плоскость проекций; А – произвольная точка пространства; s – направление lпроецирования; луч; – проецирующий А – проекция точки А на плоскость проекций П А = l П , l s При параллельном проецировании центр проекций бесконечно удален, тогда все проецирующие лучи будут параллельны некоторому заданному направлению s. Проекция A точки А есть пересечение проецирующего луча l с плоскостью проекций П

Классификация проекций Центральные (конические) S B A Параллельные (цилиндрические) ортогональные, s П косоугольные, s П В В А А С B s C C П B A С A C А В С При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей образует коническую поверхность. При параллельном проецировании совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую поверхность. s

Общие свойства центрального и параллельного проецирования • Проекция точки есть точка • Проекция прямой линии, в общем случае, прямая • Каждая точка и линия в пространстве имеют свою единственную проекцию • Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции данной прямой • Для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию

Свойства параллельного проецирования • Отношение длин отрезков прямой равно отношению длин их проекций • Отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения • Проекции параллельных прямых параллельны • Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций • При параллельном переносе плоскости проекций величина проекций не меняется

Ортогональное проецирование Прямая задача – построить проекции геометрического образа на плоскости A s А 1 При ортогональном проецировании проецирующие лучи s перпендикулярны плоскости проекций П 1 и параллельны между собой П 1 Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее единственное изображение – проекция А 1. Проецирование на одну плоскость проекций дает решение прямой задачи

Ортогональное проецирование Обратная задача – Прочитать чертеж, определить формы, размеры и расположение геометрического образа в пространстве В" В' В В 1 П 1 Обратная задача – по чертежу представить положение точки в пространстве. Произвольной точке В 1 , являющейся проекцией точки В, в пространстве будет соответствовать множество точек В, В', …, лежащих на одном проецирующем луче. Задача не имеет единственного решения.

Метод Монжа П 2 В 2" В 2 ' В 2 В" В' В В 1 П 1 Чертеж, состоящий из двух (или более) связанных между собой ортогональных проекций геометрического образа называют комплексным чертежом или эпюром Монжа. П 1 П 2 Рассматриваются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. На второй плоскости проекций каждая из точек В, В ', В " имеет свое изображение. По двум проекциям точки можно однозначно определить ее положение в пространстве, т. е. обратная задача решена

Метод Монжа Метод ортогонального проецирования: • плоскости проекций перпендикулярны между собой; • проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо задать на чертеже минимум две ее ортогональные проекции

Точка в системе двух плоскостей проекций Пространственная модель Комплексный чертеж П 2 O x П 1 x П 2 П 1 П 1 П 2 П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 – фронтальная плоскость проекций. Плоскости проекций пересекаются по оси координат Оx. Вращением вокруг оси Ох плоскость П 1 совмещают с плоскостью П 2. Совмещенное положение плоскостей проекций образует комплексный чертеж

Точка в системе двух плоскостей проекций Пространственная модель Комплексный чертеж П 2 А 2 A x Аx x O П 2 П 1 А 1 П 1 АА 1 П 1 АА 2 А 1 - ; горизонтальная и А 2 - фронтальная проекции точки А. ПАА и АА перпендикулярны соответствующим 2 Проецирующие лучи 1 2 плоскостям проекций. Точка пересечения проецирующей плоскости с осью Оx обозначена Ах

Точка в системе двух плоскостей проекций Пространственная модель Комплексный чертеж П 2 А 2 A Аx x O А 1 П 1 А 1 П 1 x Аx А 1 На комплексном чертеже горизонтальная А 1 и фронтальная А 2 проекции точки А соединяются вертикальной линией проекционной связи, которая перпендикулярна оси Ох. Геометрический образ всегда находится между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная модель z П 2 П 3 O x П 1 П 2 П 3 y Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П 1 - горизонтальная; П 2 - фронтальная; П 3 - профильная. Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz декартовой системы координат

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная модель z Комплексный чертеж П 2 П 3 П 2 O x П 1 z y 3 x П 1 y O П 1 П 3 y 1 Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель разрезают по оси Оy и совмещают все три плоскости проекций в одну: П 1 поворачивают вокруг оси Оx, П 3 поворачивают вокруг оси Оz до их совпадения с П 2. Ось Оу распадается на две оси y 1 и y 3

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная модель z П 2 А 2 A x Аx z Аz П 3 O А 1 Комплексный чертеж А 3 Аy П 2 x O П 3 П 1 y 1 АА 1 П 1 АА 2 П 2 АА 3 П 3 y ; Проецирующие лучи АА 1 , АА 2 , АА 3 проводят перпендикулярно ; соответствующим плоскостям проекций и получают проекции точки А: горизонтальную А 1 , фронтальную А 2 , профильную А 3. Точки пересечения проецирующих плоскостей с соответствующими осями y 3

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная модель z Комплексный чертеж П 2 А 2 A Аx x Аz А 2 А 3 П 3 А 3 O y 3 Аy А 1 П 1 z П 3 А 1 П 1 y x Аz Аx А 1 Аy O 1 А 3 Аy 3 y 1 На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны осям координат. Линия А 1 А 2 Ох расположена вертикально, а А 2 А 3 Оz -горизонтально. При построении линии связи от А 1 к А 3 необходимо соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy : Ax A 1 = Az A 3

Безосный чертеж П 2 А 2 Чертеж без указания осей называется безосным А А 2 А 1 x П 1 x А 1 Плоскости проекций принимаются неопределенными и могут перемещаться параллельно самим себе. На комплексном чертеже положение осей не указывается.

Прямоугольные координаты точки z П 2 А 2 x y Аz A x. A Аx A А 1 A(x. A , y. A , z. A ) z. A O П 3 x. A = AA 3 y. A = AA 2 z. A = AA 1 А 3 Аy П 1 y Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки есть число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA

Прямоугольные координаты точки z А 2 z. A O x x. A y A А 1 y A z. A x y. A А 1 O x. A А 3 z. A y 3 y 1 На комплексном чертеже численные значения координат откладываются вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA , фронтальная - XA и ZA , профильная - YA и ZA.

Конкурирующие точки Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче. П 2 В 2 B 2 А 2 В A 2 z A В 1 (A 1) z x В 1 (A 1) П 1 z. B > z. A Горизонтально конкурирующие точки А и В лежат на одном горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные проекции совпадают. Точка В выше точки А. Направление взгляда на горизонтальную плоскость проекций сверху вниз, поэтому

Конкурирующие точки Видима та точка, у которой больше координата П 2 В 2 (A 2 ) A y В A 1 П 1 В 2 (A 2) x А 1 B 1 y y. B > y. A Фронтально конкурирующие точки А и В отличаются только координатой y , лежат на одном фронтально-проецирующем луче, поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю расположена точка В, ее фронтальная проекция В 2 будет видимой

Задания в тестовой форме. 1. 2. 3. 4. 5. Наиболее наглядными являются … проекции. а) центральные б) параллельные При параллельном проецировании центр проекций расположен … а) на плоскости проекций б) в бесконечности Количество плоскостей проекций, необходимое для обратимости чертежа … а) одна б) две в) три Способ проецирования, используемый в методе Монжа … а) центральный б) ортогональный в) косоугольный Минимальное количество проекций точки, задаваемое на комплексном чертеже … а) одна б) две в) три

Задания в тестовой форме. 6. Координаты, определяющие горизонтальную проекцию точки … а) x и y б) y и z в) x и z 7. Координаты, определяющие фронтальную проекцию точки … а) x и y б) y и z в) x и z 8. Координаты, определяющие профильную проекцию точки … а) x и y б) y и z в) x и z 9. Количество одинаковых координат у конкурирующих точек … а) все б) одна в) две

Задания в тестовой форме C 2 А 2 x D 2 C 1 В 1 B 2 D 1 А 1 10. Соответствие точек (A, B, C, D ) их положению относительно плоскостей проекций: П 1 , П 2 , П 3 б) ? П 1 с) ? П 2 а) ? д) ? Ox

Задания в тестовой форме E 2 В 2 (A 2) x А 1 B 1 F 2 z C 2 D 2 C (D 1) 1 E 3 (F 3 ) O y 3 y 1 11. Соответствие пар конкурирующих точек их названиям: ? – горизонтально конкурирующие б) ? – фронтально конкурирующие с) ? – профильно конкурирующие а)