НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Пересечение плоскостей

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Пересечение плоскостей Слайд-фильм z V A" y A ''' A x W z o x A' H y 2013 г.

3. 5. 1. Прямая линия, пересекающая плоскость 2 31 Поставлена задача: Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью a. Определить видимость прямой. Решение задачи выполняется в три этапа. Алгоритм решения задачи 1 2 3 Заключить данную прямую во Построить линию пересечения Найти точку пересечения вспомогательную плоскость- вспомогательной плоскости- полученной линии пересечения с посредник (проецирующую или посредника с заданной прямой уровня) Символическая запись алгоритма aÌS(S') m=SÇa(ABC) K=mÇa Определить видимость прямой a по правилу конкурирующих точек

32 Геометрические образы (пл. АВС, прямая а) спроецированы на плоскость П. a B А теперь посмотрите как выполняются эти A этапы алгоритма на пространственном рисунке и проецировании всех элементов задачи на плоскости П. C Выполняем 1 -й этап алгоритма aÌS(S') a' B' A' C' H

33 Выполняем 2 -й этап алгоритма a B m=SÇa(ABC) 1 A m 2 C a '- = '- m = ' B' A' 1' 2' C' П

34 Выполняем 3 -й этап алгоритма a B K=m Ça 1 A m K 2 C Точка К - искомая точка пересечения данной прямой а с плоскостью АВС. a '- = '- m = ' B' A' 1' K' 2' C' H

35 Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К пересечения прямой а с плоскостью a. Возможны три варианта условия данной задачи: - прямая а - общего положения, плоскость a - проецирующая (или уровня); - прямая а - проецирующая, плоскость a - общего положения; - прямая а - общего положения, плоскость a - общего положения. Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя алгоритма, так как один из заданных образов частного положения.

36 В первом случае плоскость a (АВС) - горизонтально проецирующая. C 2 Поэтому горизонтальная проекция К 1 искомой точки К определяется как точка A 2 пересечения линейной проекции А'В'С' K 2 плоскости a с горионтальной проекцией а 1 a 2 данной прямой а. B 2 Фронтальная проекция К 2 точки К строится из условия принадлежности точки К прямой а. a 1 C 1 B 1 K 1 A 1

37 Во втором случае прямая а - фронтально- проецирующая. Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырож- денной проекцией a" º К". Построение горизонтальной проекции К' точки К выполняется из условия принад- лежности точки К плоскости a: точка К принадлежит плоскости a, так как она принадлежит ее прямой A 1 (К' находится как точка пересечения прямой A' 1' с прямой а' ). Видимость прямой а в этих задачах решает- ся просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).

38 В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а с a 2 плоскостью a (c//d) выполнено по описан- ному алгоритму. c 2 1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость- посредник S(S 1); 2) строят прямую m пересечения плоскостей d 2 a (c//d) и S(S 1). На чертеже это отразится записью (a 1º S 1º m 1 ). Фронтальную проекцию m 2 строят из условия ее c 1 принадлежности данной плоскости a(m и a имеют общие точки 1 и 2); 3) находят точку K 2 , как результат пересече- d 1 ния a 2 с m 2, а K 1 строят по принадлежности прямой m 1. Точка K(K 2, K 1) - искомая точка a 1 пересечения прямой a с плоскостью a (c//d).

39 Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу 22 конкурирующих точек. Так, на плоскости Н a 2 m 2 видимость определена с помощью горизон- тально конкурирующих точек 1 и 3(11º 31), c 2 32 K 2 где точка 1 принадлежит плоскости a а точка 3 - прямой a. Точка 3 расположена над 12 точкой 1, поэтому точка 3 и прямая a в этом d 2 участке на плоскости П 1 будет видима. На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары c 1 фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восхо- 21 дящей плоскости видимость одинаковая на K 1 плоскостях П 1 и П 2). d 1 _ 11_ 31 Данная задача после определения види- _ _ a 1 _ S 1 _ m 1 _ _ мости прямой а имеет вид данного рисунка.

42 Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC), плоскость b задана (DEK). Точки M и N, определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK, т. е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму. Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.

43 Z B 2 D 2 П 2 Здесь вы видите аксонометри- ческое изображение решения M 2 E 2 задачи на определение линии C 2 N 2 MN пересечения двух плос- A 2 костей ABC и DEK. B K 2 O D E X M N C A K B 1 E 1 M 1 K 1 C 1 A 1 Y N 1 D 1 П 1

44 1 -й этап решения Для построения точки M использована D 2 горизонтально проецирующая плоскость - B 2 посредник ( 1), в которую заключена сторона 12 AB ∆ ABC (AB Ì a). 1. Обозначаем горизонтально проецирующую M 2 C 2 плоскость - E 2 2 -й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она A 2 задана точками 1 и 2) плоскости-посредника 22 ( 1) и плоскости DEK. K 2 2. Ставим точки пересечения на плоскости П 1 B 1 - 11 и 21 и переносим их на П 2 на одноименные E 1 21 стороны треугольника- 12 и 22 Соединяем точки 12 и 22 тонкой линией. K 1 3 -й этап решения M 1 Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB. 11 3. Пересечение проекций прямых 1222 и А 2 В 2 C 1 обозначаем М 2 и переносим её на A 1 горизонтальную проекцию прямой А 1 В 1 - М 1 1 D 1 Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

45 Для построения точки N использована D 2 горизонтально проецирующая плоскость B 2 32 ( 1 ), в которую заключена сторона AC 12 ∆ABC. 42 Построение аналогично предыдущим. M 2 N 2 C 2 E 2 1. Обозначаем горизонтально 52 проецирующую плоскость 1 2. Ставим точки пересечения 3 1 и 4 1. A 2 22 3. Переноси точки 3 1 и 4 1 на K 2 фронтальную проекцию на B 1 одноименные стороны треугольника - E 1 21 32 и 42. 3. Пересечение проекций прямых 3242 и K 1 D 2 K 2 обозначаем N 2 и переносим её на M 1 горизонтальную проекцию прямой D 1 K 1 - 11 N 1. 1 N 1 Обращаем внимание, что фактически 41 C 1 видимым стало пересечение ∆ABC A 1 31 прямой DK, а не АС! Если повторить 1 D 1 решение заключив в проецирующую плоскость DK, то ответ будет таким же.

Направление взгляда 46 для определения видимости на П 1 Определение видимости D 2 B 2 Определение видимости на плоскости П 1 32 12 выполнено с помощью горизонтально 42 конкурирующих точек. Смотрим на M 2 N 2 C 2 горизонтальную проекцию E 2 скрещивающихся прямых АС и DК. На _ 52 62 _ 72 _ 82 прямой АС есть точка 4, на проекции A 2 прямой DK ставим точку 8 (41 º 81). 22 Точка 4 расположена над точкой 8 K 2 (42 и 82), поэтому на плоскости П 1 часть E 1 71 B 1 треугольника DEK, расположенная в 21 сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от K 1 линии пересечения в сторону точки 8. M 1 С помощью пары фронтально конку- 11 рирующих точек 6 и 7 (62º 72) определена 1 61 N 1 _ видимость на плоскости П 2. _ C 1 A 1 41_ 81 Невидимые линии проводим тонкой 31 штриховой линией, а видимые толстой 1 D 1 основной.

47 4. 1. Способ замены плоскостей проекций Этот способ состоит в том, что заданная V фигура неподвижна, а одна из основных V 1 плоскостей V или H заменяется новой дополнительной плоскостью V 1 или H 1, A" " расположенной параллельно или пер- A 1 пендикулярно заданной геометрической фигуре. Точка A задана в системе V/H. Плоскость V замерена новой плоскостью V 1 перепендикулярной H. Плоскость H является общей в системе V/H и H/V 1, то координата z. A остается неизменной. x Следовательно, расстояние от новой A' фронтальной проекции до новой оси x 1 равно расстоянию от заменяемой H x 1 проекции до оси x.

42 Для получения плоского чертежа точки А плоскость V 1 вращают вокруг оси x 1 до совмещения с плоскостью H. Новая фронтальная проекция A 1" точки А окажется на общем перпендикуляре к новой оси x 1 с оставшейся без изменения ее проекции A'. V 1 A" A " A 1 x " A 1 A' V 1 H x 1

Решение четырех основных задач способом замены 44 плоскостей проекций Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы V прямая общего положения оказалась A" 1 параллельной одной из плоскостей A проекций A" V 1 a" 1 a" a B" H 1 A' a' B" B x 1 B' x Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задачи, можно построить на новой плоскости проекций V 1 , расположив ее параллельно самой прямой и перпенди- кулярно плоскости H, т. е. от системы плоскостей V/H с осью проекций x следует перейти к системе H/V 1 с новой осью x 1.

a'1 45 B" B'1 = н. в. a" A" b A'1 x. V H 1 H B" A' x 1 V x 1 H a' V 1 B' A"1 a" V = н. в. 1 x H A' a' B" 1 B' а) б) На плоском чертеже новая ось x 1 проведена параллельно a', новые линии связи A'A 1" и B'B 1" проведены перпендикулярно оси x 1. Новые фронтальные проекции A 1" и B 1" точек A и B получают, измерив от оси x на поле V координаты высот z. A и z. B, отложив их от оси x 1 на новое поле V 1. Новая проекция a 1" дает натуральную величину отрезка AB и угол a наклона его к плоскости H. Угол наклона прямой a к плоскости V можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости H 1 V, где H 1// a.

Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения 47 в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей. B'1 B" _ A'1 _ f 1' b " h f" ' A" C 1 A" C" x. V V H 1 H C" B' x 1 C' x. V 1 _ A"1 _ h" 1 H h' A' f' a A' B" 1 C' B' H V 1 x 1 а) б) Для этого в плоскости ABC проведена горизонталь h. Новая плоскость проекций V 1 расположена перпендикулярно H. Горизонталь на поле V 1 изобразится точкой, а вся плоскость прямой линией C 1"A 1" B 1" с углом a, который определяет угол наклона плоскости ABC к плоскости H (рис. а). Построив изображение плоскости в системе V/H 1, где H 1 расположена перпендикулярно фронтали f (рис. б) плоскости, можно определить угол b наклона ABC к плоскости V.

Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в новой 48 системе плоскостей проекций заняла положение плоскости уровня. ' B 1 B" = н. в. A" A'1 ' C 1 C" A" x V H 1 H B" V 1 x C" B' C' A' x. V H C" 1 x 1 V 1 C' A"1 = н. в. B' B" 1 а) б) Решение этой задачи позволяет определять натуральные величины плоских фигур и углов. Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим (рис. а), то новое изображение строят в системе V/H 1, а если горизонтально проецирующем (рис. б), то в системе H/V 1. Новая ось проекций x 1 будет параллельна линейной проекции заданной плоскости.